APOS理論下的指數函數概念教學

[摘 " " " " "要] "APOS理論是美國數學教育家杜賓斯基等人提出的有關概念學習的一種理論。該理論認為數學概念的建構可以分成四個階段：操作、過程、對象、圖式。以指數函數為例，按照APOS理論四個階段進行教學，首先，創設問題情境幫助學生進行操作;然后通過分析函數變量x與y之間的對應關系以及讓學生自我舉例，進行由外向內重復操作的過程;接著通過壓縮重復操作的過程為一個整體得到對象;最后，對操作、過程、對象以及學生自己大腦中原有的相關問題進行整合，形成指數函數概念的心理圖式。

[關 " 鍵 " "詞] "APOS理論;指數函數;概念教學

[中圖分類號] "G712 " " " " [文獻標志碼] "A " [文章編號] "2096-0603（2015）20-0070-02

一、引言

指數函數是基本初等函數中非常重要的一個函數，不僅與冪函數關系密切，而且對于對數函數的學習又有著直接的影響，在整個函數教學中起著承前啟后的作用。但是，在實際教學中存在著僅讓學生記住形式化的概念，而沒有把概念形成的過程給暴露出來的現象，忽視了學生在學習概念時的心理建構過程，導致不少學生只知道一個表面的公式y=a^x（agt;0且a≠1）。

如何幫助學生在學習指數函數概念時進行知識的心理建構呢？APOS理論就是一種能夠幫助學生建構數學概念知識的有效工具。

二、APOS理論下的指數函數概念教學

APOS理論是美國數學教育家杜賓斯基等人的研究成果。該理論通過對皮亞杰關于數學學習的“自反抽象”理論的拓展研究，提出了建構數學概念的方法和途徑。根據APOS理論，學習指數函數概念時，可以分成四個階段：（1）操作階段（Action）;（2）過程階段（Process）;（3）對象階段（Object）;（4）圖式階段（Scheme）。“APOS”理論的名稱來源就是將這四個階段的英文首字母連在一起。

（一）操作階段（或叫活動Action階段）

“活動”是指學生經過一項一項的記憶性的外部指令來對一個客觀的數學知識點進行變換。這里所說的活動是指所有的數學學習活動，不但涉及外部指令性的行為活動，也包括內在的思維活動。

在指數函數概念教學的第一階段，可以創設一些現實生活中的問題情境，讓學生在情境活動中感受函數變量之間的關系。

活動1：某細胞分裂時，由一個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個……如果細胞分裂x次，相應的細胞個數為y，如何描述這兩個變量之間的關系？

活動2：某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年，這種物質剩余的質量是原來的56%。如果經過x年，該物質剩余的質量為y，如何描述這兩個變量之間的關系？

在活動開始時，教師應明確即將研究的對象是函數變量之間的關系。學生通過分析問題情境中的函數變量之間的關系，從而形成對指數函數變量之間的操作。

（二）過程（Process）階段

當經過多次的重復“活動”之后，學生已經熟悉這種操作，外部的物理操作就會由外向內轉化為心理操作，這種轉化就叫做“過程”（Process）。

在第二階段，教師引導學生對前面的兩個情境問題進一步分析思考。如表1、表2中，教師可引導學生轉化y的形態，分析x與y之間的對應關系：1→2¹，2→2²，3→2³…以及1→0.56¹，2→0.56²，3→0.56³…在這個重復操作的過程中，學生在操作中進行反思，又在反思中進行操作，在心理上逐漸內化和壓縮，由此提煉出該函數關系的特質，推斷出該函數的關系式。

在得出函數關系式y=2^x（x∈N₊）和y=0.56^x（xgt;0），教師可利用Excel軟件將兩個函數的定義域擴充到一切實數，即y=2^x（x∈R）和y=0.56^x（x∈R）。

緊接著，教師可提問：

問題1：大家注意觀察這兩個函數的特征，并仿效它的函數形態再舉幾個例子。

在過程階段數學的知識點表現為一系列可操作的步驟，更直觀，更容易學習仿效，學生可以由過程入手通過實施活動來感悟知識點中所包含信息的具體關系。問題1中學生一般都會舉出諸如y=3^x、y=0.5^x之類的例子，學生自我列舉指數函數，是學生自主反思的過程，是操作完成由外到內轉化的過程，此時學生就無需再通過外來指令的刺激來進行活動，而是可以在內在思維中實施操作，進而提煉出指數函數概念的特質。這個過程中，學生可能會舉出y=（-2）^x之類的錯誤例子，教師可以把它放到對象階段來處理。

（三）對象（Object）階段

當學生能夠自由地把“過程”作為一個整體進行轉換和操作的時候，在他心中這個過程就變成了一種心理“對象（Object）”。這一階段，是對“活動”與“過程”的壓縮、升華，它將前面提煉出的抽象的概念特質賦予具體化的符號和定義，使其形式化、精確化，成為一個最終的“對象”。此時，學生就可以控制該對象來進行各種與這個對象相關的數學運算。

在第三階段，教師可以進行提問：

問題2：大家能把剛才舉例中的函數形式用一般形式表示嗎？

在問題2中，它的指向很明確，在前面思考的基礎之上，學生較容易抽象出指數函數的一般形式y=a^x。

問題3：對于y=a^x，x是自變量，底數a是常數。前面所舉的例子的不同之處是底數不同，那么你覺得底數能取哪些值？底數的取值范圍是什么？

在問題3中，教師引導學生關注并思考底數的取值范圍，可以用前面學生舉出的一些錯誤例子為切入點，得出底數agt;0且a≠1。

皮亞杰曾指出，個體需要把過程作為一個整體，然后通過重復操作的作用，再壓縮重復操作的過程就會得到過程的最終對象。通過上面兩個問題，教師引導學生思考，把內心經歷的過程壓縮、凝練、升華成一個“整體”，從而完成對指數函數這一“對象”的心理構建，并把該“對象”的特質以嚴謹、精煉的數學語言概括出來：形如y=a^x（agt;0且a≠1）的函數叫做指數函數，其中x為自變量，a為常數。

（四）圖式（Scheme）階段

當學生對操作、過程、對象以及自己大腦中原有的相關問題進行整合就會產生新的問題，這些問題的作用和特點就是可以確定某些問題是否屬于這個圖式，并以此做出各種反應。在這種不間斷的建構過程中，學生的認知能力和思維狀況已經在不知不覺中上升到了更高的層次，也就是對相關的知識點進行了更深層次的構建和心理表征。

在第四階段，教師可以通過例題、練習來幫助學生形成指數函數概念的初級圖式。

例題：下列函數中，是指數函數的是（ "）

練習：下列函數中，是指數函數的是（ "）

A.y=2^x-1 " B.y=（-5）^-x

C.y=3^-x " D.y=4x³

在此基礎上，可以利用Excel或幾何畫板等軟件順勢推出指數函數的圖象，進而研究它的性質，并與其他常見函數的圖象、性質作對比，從而進一步完善前面形成的初級圖式。最后形成的指數函數的圖式應包含指數函數概念形成的過程、形式化的定義、指數函數的圖象與性質、相關的函數實例以及和其他概念的聯系與區別。根據 APOS 理論，可知不同數學概念的建構大部分是辨證的螺旋上升的結果，而并非線性的。

三、結束語

APOS理論揭示了數學概念形成發展的各個階段，充分展現了概念形成的層次性、過程性和整體性。教師運用APOS理論進行數學概念的教學，可以充分調動學生學習的主觀能動性，避免講解概念枯燥單調的局面，解決學生學習概念的思維障礙，深化學生對概念本質的理解，幫助學生建構更完整、更系統的數學知識體系。

參考文獻：

[1]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論[M].北京：高等教育出版社，2004.

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