初中數學教學中函數與方程思想的轉化

摘 要：函數和方程思想是初中數學中的基本思想，在解題的過程中使用比較多。首先提出要在教學中滲透數學思想方法，然后通過舉例分析了用函數解決方程問題和用方程解決函數問題，細致地描述了函數和方程思想間的轉化及給學生學習數學帶來的方便之處。通過掌握函數思想和方程思想并靈活轉化使用，既可以提高初中生對數學的興趣，也可以提高其數學成績，還可以為其高中學好數學奠定良好基礎。

關鍵詞：數學思想;函數;方程思想

在初中數學中，函數思想和方程思想是常見的數學基本思想。學生在解題的過程中經常會遇到二者之間的相互轉化問題。其中方程思想是將實際問題轉化為不等式、方程或二者混合的數學模型進行解決。函數思想則是將比較抽象的數學問題轉化為函數，通過利用函數的圖象及形式來分析、轉化并解決問題。二者相互聯系、相互滲透，因此掌握好函數思想和方程思想的相互轉化對于學好初中數學有十分重要的意義。

一、在教學中滲透數學思想方法

初中數學不僅僅要求學生學習解題過程，還要求學生能對實際問題進行分析，通過將實際問題轉化為特有的數學模型進行解決。這就要求在初中教學中滲透數學思想方法。數學思想是將實際生活中的各種空間形式和數量關系經大腦處理后，形成對應的數學問題的結果。初中階段的數學思想有類比思想、函數與方程思想、類別思想、數形結合思想、分類討論思想和劃歸思想等。

其中，分類討論思想比較簡單，就是在解決問題的時候，通過變換某個量來討論其產生的不同結果，各個擊破學生的疑惑點，使其思路更加清晰。包括三角形分類、絕對值分類、有理數分類。還包括函數和方程式中由于字母的不同取值所造成的不同結果分類，通過對這些問題進行分類討論可形成系統的思想，便于解題;化歸思想就是化繁為簡，將未知問題用已知的問題解決，可通過化動為靜、配方法、待定系數法和整體代入法，將抽象的問題具體化進行解決;數形結合思想指的就是將抽象的數學公式用直觀的圖形和圖像表示出來，將幾何與代數結合起來便于理解記憶及對實際問題的解決;類比思想就是比較不同數學對象的類似之處來推斷別的相同之處，便于規律性問題的解決;函數和方程思想即是將不容易解決的方程問題轉化為函數，利用函數的圖象和性質進行解決。或者是將函數圖象所表達的比較抽象的數學問題轉化為方程進行解決。

二、用函數解決方程問題

在初中數學中，函數思想在解決實際問題中發揮著重要的作用，突出表現在最值問題和尋求最佳方案的問題上。在解決實際問題的時候可利用函數思想抽象出數學模型，在此基礎上建立函數解析式，則復雜的實際問題就轉變為簡單的數學問題。如果兩個二元方程的未知數存在一一對應關系，則其可以用函數思想解決。同時，也可將一元方程兩端視為函數，將兩函數圖象交點橫坐標視為方程的解。由于初中學生接觸的知識有限，在解決不等式的過程中直接進行求解很困難，所以可將不等式轉化為函數問題進行解決。通過將不等式轉化為函數問題可利用函數的性質以及圖象來直觀了解最值或參數的取值范圍，最終解決不等式問題。

例如，求解K值為多少時，方程x2-3x+k=0的兩個根取值分別為大于1和小于1的數？針對此種問題的求解，初中生很難直接求出K的值，可通過將函數思想與數形結合思想聯系起來，將方程左邊的x2-3x+k=0看作二次函數，其根即為函數y=x2-3x+k=0的自變量的值。通過構建圖象可知函數y=x2-3x+k的圖象為一拋物線，其與直線y=0的焦點即為所求的自變量值。由x2系數為1gt;0，可知拋物線的開口朝上，若想使方程x2-3x+k=0的根分別為大于1和小于1的數，則應保證當x=1時，y<0。將x=1代入方程式可以得到k<2。

再如，在解x2+3x-4gt;0時，如果利用方程的常規解法則初中生不會，但是如果將該不等式轉化為函數，利用函數的圖象形式進行求解即可迎刃而解。在此題中，將方程轉化為y=x2+3x-4，根據二次函數圖象性質可得y=x2+3x-4的圖象拋物線，求其與y=0的交點，然后由圖象可知使得ygt;0的x的取值范圍即為不等式的結。在求 x2+2x-10=3的近似解時，常規解法很難得到近似解。此時，可求二次函數y=x2+2x-10所形成的拋物線與一次函數y=3形成的直線交點，由交點的橫縱坐標即可近似求出。由此可知，利用函數思想來解決不等式問題直觀明了、思路獨特、方法新穎，可以使復雜的問題簡單化，提高初中生對數學的學習興趣。

三、用方程思想解決函數問題

初中數學中經常會遇到解決實際問題的題型，通過現實生活中遇到的實際問題，使學生自動將其轉化為數學模型進行解決。初中數學中經常會遇到有函數圖象的問題，學生在看圖的時候經常會有不懂的地方。這時，可通過與方程結合起來，將函數圖象所表示的實際問題用方程式表達出來，將復雜的現實問題思考轉化為簡單的解方程問題，可大大簡化工作量。例如在行程問題中，有如下題型：甲車和乙車以每小時60千米的速度從M地出發將貨物運到N地。但是當甲車和乙車出發一段時間后，M地的人發現甲車遺漏部分貨物，然后派丙車帶著甲車遺漏的貨物追甲車，規定丙車追上甲車將貨物給甲車后原路返回，三輛車在行駛過程中距離M地的距離與時間的圖象如圖所示：

■

根據圖象探究如下問題：

（1）圖中B點的實際意義;

（2）丙車在甲車出發多久后追上甲車？距離M地多遠？

（3）乙車和丙車迎面相遇的時候距離M地有多遠？

在這道題中，如果初中生根據圖象列方程式會不知如何下手，此時可根據題中描述的數量關系畫出示意圖，然后再列方程，解方程。首先對B點的實際意義進行探究。途中B點表示丙車和乙車相遇。且B點的橫坐標為40，表示的是40分鐘，甲車從原點出發，故B點表示丙車在甲車出發后40分鐘時追上乙車。而B點的縱坐標表示的是距離，由乙車的速度為每分鐘60千米，可知B點的坐標為（40，30），因此，B點的縱坐標表示的是丙車追上乙車時距離M地的距離為30千米。由此整理可知，B點的實際意義為丙車在距離M地30千米的距離追上乙車，耗時40分鐘。然后再對第二問進行探究。由第一問的分析可知丙車的速度為每小時90千米，此時即可列方程組：設丙車x小時后追上甲車，則方程為60x=90（x-■），得出x=1，由此可知丙車是1小時后追上甲車。距離M的距離為60千米。最后再探究第三問。由第二問知甲車行駛一個小時后丙車追上，此時，乙車行駛時間為50分鐘，其行駛的路程為50千米。而丙車距離M地的距離為60千米，既二者相距10千米。由乙車速度為每小時60千米，丙車速度為每小時90千米，且兩車會車行駛，設其會車行駛用x小時相遇，則可得（60+90）x=10，解得x=1/15小時=4分鐘，由此可知乙車從離開M地到與丙車迎面相遇的總共行駛時間為54分鐘，然后根據乙車的行駛速度和時間可得其與丙車迎面相遇時距離M地的距離為54千米。根據將實際問題轉化為方程的思想進行解決，可以避免使學生迷惑，從而輕松解決問題。

總之，函數思想和方程思想之間的相互轉化在初中數學中會有很多類型，老師和學生應在解題的過程中應注意對各類型問題進行歸納。在此過程中培養學生的數學思想方法意識，使其在以后的做題中靈活轉化函數和方程思想，這對培養學生的數學興趣和提高成績都有積極的作用。初中正是打基礎的關鍵時刻，通過掌握方程思想和函數思想并靈活運用轉化二者的用法，對以后學習高中數學有重要意義。

參考文獻：

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[2]劉昭慧.在初中數學教學中方程函數思想的運用[J].數理化學習：教育理論，2013，4（1）：15-17.

編輯 段麗君