初探數(shù)列遞推公式求通項公式

遞推是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個非常重要的概念和方法，遞推數(shù)列問題內(nèi)在聯(lián)系密切，蘊(yùn)含著不少精妙的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。新教材將數(shù)列放在高一講授，并明確給出“遞推公式”的概念：如果已知數(shù)列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an-1（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫做數(shù)列的遞推公式。對于由遞推式所確定的數(shù)列通項公式問題，往往將遞推關(guān)系式變形轉(zhuǎn)化為我們熟知的等差數(shù)列或等比數(shù)列，從而使問題簡單明了。這類問題是高考數(shù)列命題的熱點題型，下面介紹常見遞推數(shù)列求通項公式的基本求法。

案例一：若數(shù)列{an}滿足下列條件，求{an}的通項公式。

例1.若a1=1，an+1=2an+3，求{an}的通項公式。

分析：拼湊法（構(gòu)造法）an+1=2an+3？圯（an+1+3）=2（an+3）

所以數(shù)列{an+1+3}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列？圯an+3=4×2n-1？圯an=2n+1-3

歸納：通過前兩小題解法中，我們?nèi)菀卓闯鼋忸}的關(guān)鍵是怎么去拼湊，那么可不可以歸納出一般形式的結(jié)論呢？

形如：Aan+1=Ban+C，A、B、C均為非零常數(shù)（A≠B）

令：A（an+1+x）=B（an+x）？圯Aan+1+Ax=Ban+Bx

？圯x（B-A）？圯x=■？圯A（an+1+■）=B（an+■）

所以數(shù)列{an+1+■}是以a1+■為首項，■為公比的等比數(shù)列

案例二：若數(shù)列{an}滿足下列條件，求{an}的通項公式。

例2.a1=2，an+1=an+n+1，

分析：此題n+1是一個變量，而前幾題均是常量，這時該怎么辦呢？可不可以把變量變?yōu)槌Ａ磕兀吭诘仁絻蛇呁瑫r除以2n+1，即可使變量為常量了。

an+1=an+n+1？圯an+1-an=n+1？圯an-an-1=n…？圯a3-a2=3？圯a2-a1=2

可利用累加法將上式左邊所有項相加，右邊所有項相加得：

？圯an-a1=2+3+4+…+n？圯an=■，（n≥2）

當(dāng)n=1時，代入上式得：a1=2即：an=■，（n≥1）

注意在應(yīng)用累加法求出an時，還要驗證n=1的情況，看是否可以合在一起寫。反思：此題應(yīng)運了累加法，那么是否也存在累積法或累和或累除法呢？

案例三：若數(shù)列{an}滿足下列條件，記Sn為{an}的前n項和，求{an}的通項公式。

例3.若Sn=2an+2n，求數(shù)列{an}的通項公式

分析：此題中有Sn又有an，似乎有點區(qū)別，怎么辦？那么，可不可以建立一個橋梁把它們聯(lián)系到一起？由此可聯(lián)想到an=Sn-Sn-1，則有：an=Sn-Sn-1=2（an-an-1）+2，即an=2an-1-2 "①

令an+？姿=2（an-1+？姿）則an=2an-1+？姿，與①比較得？姿=-2，

{an-2}是以a1-2=-4為首項，以2為公比的等比數(shù)列。

an-2=（-4）·2n-1=-2n+1，故an=-2n+1+2

此時是否需要驗證n=1呢？

在高三的復(fù)習(xí)過程中，注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，抓住易錯點、關(guān)鍵點，讓學(xué)生學(xué)會多角度看待問題，習(xí)慣歸納總結(jié)，把所學(xué)知識構(gòu)成一個或多個知識網(wǎng)絡(luò)，由淺入深，層層深入，去發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)規(guī)律。

編輯 楊兆東