讓學生的學習與最近發(fā)展區(qū)“連網(wǎng)”

摘 要：在數(shù)學高效課堂的總結發(fā)言中，經(jīng)常聽到一些經(jīng)驗豐富的老教師說：“既讓暫差生吃飽，也要讓尖子生吃好。”細細思量，感覺這種說法似乎不可能;因為學生的基礎是“橫看成嶺側成峰”，學生的能力也是“遠近高低各不同”。當你在講解基礎知識時，尖子生就會不耐煩，認為這么簡單的知識反復講沒什么意義。當你講解難度較大的題目時，暫差生的眼光瞬間就會變得“癡呆”起來，覺得“蜀道之難”難不可攀！

關鍵詞：分組教學;“連網(wǎng)”;橫向變式教學

著名教育家維果茨基認為：學習最近發(fā)展區(qū)域就是學習者現(xiàn)有的水平與將要達到的潛在水平的一個過渡區(qū)域。一個人的原有水平對后續(xù)學習具有決定性的影響，這種影響遠遠超過其他任何因素的影響。學生對數(shù)學定義、定理、公式、法則、解題步驟等的理解與運用，決定了課堂教學起點、坡度、密度、難度和預期目標。不同學生的“學習最近發(fā)展區(qū)”肯定不同，因此教師的教學必然存在脫節(jié)現(xiàn)象，每一塊內(nèi)容只適合特定部分的學生群體。

但是，如果我們將學生的“學習最近發(fā)展區(qū)”連成網(wǎng)，像那閃爍的霓虹燈般組成聯(lián)通電路，當一個小燈泡亮起時，下一個小燈泡也閃亮了，那么，群燈燦爛交相輝映。

下面，筆者嘗試從理論與實踐相結合的角度來闡釋這個問題。

一、“分組教學”讓組內(nèi)學生之間“連網(wǎng)”

在筆者的課堂教學中，一個班級被平均分成六個小組，每個小組八個人;從數(shù)學成績來看，這八個成員中既有尖子生、也有暫差生、還有中等生。當一個數(shù)學問題被提出來之后，小組成員按成績從低到高逐個對條件進行分析，然后總結出解題方法;接下來進行提升與拓展;最后是組與組之間進行對比、辯論及教師點評。如此，一個小組里層次不同的學生，在“學習最近發(fā)展區(qū)”上就連成了一張小網(wǎng)。

在學生自主參與活動中，層次較低的學生有充分展示的舞臺，并且在層次略高同學的幫助下得到提升，在層次最高學生的指導下解決整個題目。而尖子生也在老師的點評下得到了升華。

這里介紹一個“分組教學”學習片段：

例1.如圖1，△ABC中，OA=OB=OC，求"·"=

圖1

學生1：這道題條件不夠，沒有與"，"相關的條件。

（本道題從表面上看，確實相關條件不足）

學生2："·"="·"·cos<"，">，給的條件用不上。

（比“學生1”有進步，能把相關的知識羅列出來）

學生3：如果OA=OB=OC=1，對解題有沒有幫助呢？

（雖然還不能解決問題，但把一般條件特殊化，如果可以找出規(guī)律，也不失為一種好方法，比前面層次略高）

學生4："="+"，"="+"，代入"·"有沒用呢？

（貌似把簡單式子復雜化，但卻與題目條件產(chǎn)生聯(lián)系了！）

學生5："·"=（"+"）·（"+"）="2+"·（"+"）+"·"=1+"·"+（-1）=0

（運算能力不錯，借助前面特殊值解決了問題）

學生6：如果OA=OB=OC=a，

那么"·"=（"+"）·（"+"）="2+"·（"+"）+"·"=a2+"·"+（-a2）=0

（再由特殊到一般，本道題終于圓滿解決了）

學生7：如果"·"=0，那么"⊥"，∠ACB=90°嗎？以點O為圓心，OA、OB、OC恰好是半徑，直徑AB所對的圓周角是直角，果然如此！

（呵呵，不愧是數(shù)學尖子生，能把所學知識聯(lián)系起來分析問題）

學生8：如果把條件改為：OA=OB=2，OC=1，結果如何？亦或改為：OA=2，OB=3，OC=1，結果又是什么呢？

（糟糕，搶老師的飯碗來了——能對題目進行拓展了！）

老師：學生的合作學習異常精彩，從一般到特殊，再從特殊到一般，最后還能對題目進行總結、拓展與提升，我見證了學生的成長。在學生8所改的條件（OA=2，OB=3，OC=1）下，各組討論看看，把答案算出來;若不能，還需附加什么條件，附加條件后把答案算出來;然后，對這類題型進行總結。

在“分組教學”中，學生的“學習最近發(fā)展區(qū)”就像一張張互相銜接的“多米諾骨牌”，隨著“發(fā)展區(qū)”層次的遞升，一個個問題被順利解決，不同層次的學生在合作學習中都有了提高。

二、“橫向變式教學”讓學生的不同知識塊之間“連網(wǎng)”

不同層次的學生在同一個知識點上有認知差異，需要把學習最近發(fā)展區(qū)“連網(wǎng)”，讓學生之間知識與能力共享、提高。同一個學生在不同的知識點也會存在深深的溝塹，使學生不能從整體上對知識進行綜合運用;通過“橫向變式教學”可以把學生不同知識塊中的最近發(fā)展區(qū)進行“連網(wǎng)”，從而完善知識體系。

例2.如圖2，設F1、F2是橢圓"+"=1的左、右焦點，P為橢圓上任意一點，點M坐標為（6，4），求PM+PF1的最大值。

圖2

（通過“分組教學”，各組同學很快就完成本道題的解答，如下）

PM+PF1=PM+2a-PF2=PM-PF2+2a，

所以，只需求出PM-PF2的最大值，

如圖（PM-PF2）max=MF2，

所以，（PM-PF2）max=MF2+2a=15。

老師：同學們，如果我們把橢圓改為雙曲線，試試看，會出現(xiàn)什么結果。

學生：如圖3，設F1、F2是橢圓"-"=1的左、右焦點，P為雙曲線右支上任意一點，點M坐標為（6，4），求PM+PF1的最小值。

老師：題目雖然改成功了，但解題卻沒有挑戰(zhàn)性;若把點M坐標改為（2，4），試試看，有什么結果？

學生：此時，PM+PF1=PM+2a+PF2=PM+PF2+2a

只需求出PM+PF2的最小值即可。

老師：如果我們把題目改為拋物線，又會出現(xiàn)什么情況呢？

學生：設F是拋物線y2=4x的焦點，P為拋物線上任意一點，點M坐標為（6，4），求PM+PF的最小值。

圖3

通過“橫向變式教學”，讓學生把“橢圓、雙曲線、拋物線”三塊知識中的一些共同性質“連網(wǎng)”，對“圓錐曲線”的統(tǒng)一性質有了更深刻的認識。這對學生類比、分析、歸納能力的提高有莫大的幫助，應用到實際生活當中，能輕易地發(fā)現(xiàn)一些現(xiàn)象之間的共同本質。

三、“縱向變式教學”讓學生在進階道路上的關鍵點“連網(wǎng)”

在攀登數(shù)學高峰的過程中，學生時常會遇到不可跨越的鴻溝，找不到合適的落腳點;此時，老師應在鴻溝上架設橋梁，在險峰處建立“腳手架”，讓學生有立足之地，從而讓不同層級的學習最近發(fā)展區(qū)“連網(wǎng)”，順利登上進階之路。

例3.如圖4，已知橢圓"+"=1上一點M，直線l1與l2都經(jīng)過點M，且與橢圓的另一個交點分別為A、B，若l1與l2的斜率分別為1和-1;求kAB=？

圖4

（本題雖然運算過程有點復雜，但解題思路還是比較清晰的，故在學生的努力下，還是算出了正確答案）

老師：只要同學們有足夠的耐心和細心，本道題還是能求出正確答案的。如果我們把條件一般化，看看中原逐鹿，鹿死誰手。

變式一：已知橢圓"+nbsp;=1上一點M（2"，1），直線l1與l2都經(jīng)過點M，且與橢圓的另一個交點分別為A、B，若l1與l2的斜率分別為k、-k;求kAB=？

（把兩條直線的斜率改變?yōu)閗和-k之后，運算難度顯然有些加大，從學生那凝重的眼神可以看出，要給出正確的解答不是那么容易）

老師：千山萬水腳下過，一道道難關被攻克，當你費盡艱辛征服后，是否有種感覺“天下英雄誰敵手”？下面舉一反三，我們再看一個變式。

變式二：如圖5，橢圓"+"=1上一點M（2，1），直線l∥OM，且與橢圓交于A、B兩點，MA、MB分別交x軸于C、D;求證：△MCD是等腰三角形。

圖5

在老師的鼓勵下，學生從最初的學習最近發(fā)展區(qū)上升到了新的學習最近發(fā)展區(qū)，然后以之為基礎，再攀升到更高的一個學習最近發(fā)展區(qū);如此循環(huán)往復，不斷深化學生的思維層次。讓學生產(chǎn)生一種“會當臨絕頂，一覽眾山小”的豪邁。

在數(shù)學課堂教學中，讓學生的學習最近發(fā)展區(qū)“多重連網(wǎng)”，不僅能讓暫差生吃飽，也能讓尖子生吃好，實現(xiàn)不同層次學生的共同提升;同時可以拓展學生的知識面，使學生多角度、全方位地審視問題，在處理綜合性問題上更加游刃有余;還可以提高學生的思維層次，讓學生跳一跳就能摘到桃子，享受到征服數(shù)學高峰的樂趣，在面對難題時，養(yǎng)成一個自設臺階、獨立探索、勇于創(chuàng)新的良好學習習慣。

編輯 楊兆東