貝努里概型

摘要：貝努里概型是一種既簡單又非常重要的概型，這種概型是概率論中最早研究的模型之一，也是得到最多研究的模型之一。在概率論中對概率分布的學(xué)習(xí)、概率的近似計算有著非常重要的作用。它在現(xiàn)實生活生產(chǎn)中和在自然科學(xué)試驗中也有著直接的應(yīng)用，并在其中發(fā)揮著重要的作用，為其解決問題提供了理論支持。我們就貝努里概型及其應(yīng)用展開了解。

關(guān)鍵詞： 貝努里概型 貝努里試驗

中圖分類號： O21文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）01（a）-0000-00

伯努利家族在數(shù)學(xué)與科學(xué)上的地位正如巴赫家族在音樂領(lǐng)域的地位一樣的顯赫。這個非凡的瑞士家族在三代時間里產(chǎn)生了十余位數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，其中有八位數(shù)學(xué)家，其中三位是杰出的，他們是雅可布、約翰、丹尼爾。而貝努里概型就是雅可布.貝努里提出來的。

貝努里概型是一種既簡單又非常重要的概型，這種概型是概率論中最早研究的模型之一，也是得到最多研究的模型之一。在概率論中對概率分布的學(xué)習(xí)、概率的近似計算有著非常重要的作用。它在現(xiàn)實生活生產(chǎn)中和在自然科學(xué)試驗中也有著直接的應(yīng)用，并在其中發(fā)揮著重要的作用，為其解決問題提供了理論支持。而且，揭示這種簡單概型的規(guī)律，對于以后研究更復(fù)雜的概型有著一定的指導(dǎo)意義和理論支撐。下面我們就貝努里概型及其應(yīng)用展開了解。

1 預(yù)備知識

在許多概率問題中，試驗中某事件 是否發(fā)生受到的關(guān)注較多。例如，在產(chǎn)品調(diào)查中注意的是抽到次品還是抽到正品；在擲硬幣時注意的是出現(xiàn)正面還是反面等，在這類問題中試驗產(chǎn)生的結(jié)果只有兩個，即 和 。像這樣只有兩個可能結(jié)果的試驗成為貝努里試驗，投幣試驗就是最簡單的貝努里概型。在相同的條件下，將同一個試驗獨立重復(fù)進行 次，這種隨機試驗稱為 重貝努里試驗。現(xiàn)在我們來看看 重貝努里試驗的定義。

1.1貝努里概型的定義

關(guān)于 重貝努里概型的定義，盡管在各種教材的敘述不盡相同，但都是指滿足下列條件的一系列實驗：

（1） 次試驗時獨立的，即每次試驗的結(jié)果都與其它各次試驗的結(jié)果無關(guān)；

（2）每次試驗只有兩個結(jié)果 和 ，且它們出現(xiàn)的概率 ， 在每次試驗中是不變的。

則稱這種試驗為 重貝努里（ ）試驗，簡稱貝努里試驗或貝努里概型。

在 重貝努里試驗中，事件 恰好發(fā)生 次的概率為：

例1 （巴拿赫（ 火柴盒問題）某人隨身帶有兩盒火柴，吸煙時從任一盒中取一根火柴，經(jīng)過若干時間后，發(fā)現(xiàn)一盒火柴已經(jīng)用完。如果最初兩盒火柴中各有 根火柴，求這時另一盒中還有 根的概率。

解 我們不妨把使用一次火柴看作一次試驗，每次試驗的結(jié)果只有兩個：取于甲盒（記為 ）和取于乙盒（記為 ），由于使用時從任一盒中取，因此 .假如甲盒已空乙盒還剩 根火柴，則在此之前已經(jīng)取過 次，其中恰好有 次取于甲盒，有 次取于乙盒，二 次必取于甲盒，因此這種情況的概率為：

假如乙盒已空而甲盒還剩 根火柴，同樣的道理可得這種情況的概率為：

因此一盒火柴已經(jīng)用完而令一盒中還剩 根的概率為：

我們知道進行貝努里試驗時隨機變量只取有限個，所以貝努里概型就是離散型概率分布，而貝努里概型與四種重要的離散概率分布之一——二項分布之間有著重要聯(lián)系，可以說二項分布是貝努里概型背后的影子。

1.2貝努里概型和二項分布

在 重貝努里試驗中，設(shè) 表示 重貝努里試驗中事件 發(fā)生的次數(shù)，則 的可能取值為 我們知：

而 恰好是二項式 的展開式的第 項，稱此分布列為二項分布，記為 。

特別當(dāng) 時，我們稱二項分布為 分布或兩點分布，它描述了一次伯努利試驗中事件 發(fā)生的次數(shù)，“拋硬幣”試驗等都可以用 分布的隨機變量來表述。現(xiàn)結(jié)合下面的例題來闡明它們之間的關(guān)系。

例2 某種藥品的過敏反應(yīng)率為 ，今有 人使用此藥品，求這 人中至少有 人發(fā)生過敏反應(yīng)的概率。

解 以 表示 人中發(fā)生過敏反應(yīng)的人數(shù)，那么 服從二項分布 ，故所求概率為：

這個概率很接近于 。這表明雖然藥品的過敏反應(yīng)很低，但如果 人使用此藥品，則至少 人發(fā)生過敏反應(yīng)是幾乎可以肯定的。這個事實說明，一個事件盡管在一次試驗中發(fā)生的概率很小，但只要試驗的次數(shù)很多，而且試驗是獨立進行的，那么這一事件發(fā)生幾乎是肯定的，這告訴人們決不能輕視小事件。

貝努里概型還與概率論中的另一重要的概率模型——古典概型有著千絲萬縷的聯(lián)系，它們好像一對雙胞胎兄弟，咋一看貌似長一樣，但究其根源卻有著本質(zhì)的區(qū)別，下面我們就來看看貝努里概型與古典概型之間的聯(lián)系。

1.3貝努里概型和古典概型

古典概型是概率論中最早被研究的概率模型，是一類較簡單的隨機試驗。

定義 如果一個隨機試驗滿足下述兩個條件：

（1）有限性 它的基本事件空間只有有限個基本事件；

（2）等可能性 每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等；

則稱這種隨機試驗為古典隨機試驗， 即古典概型。

貝努里概型、古典概型各有各的定義、條件及計算方法。但在有些問題的計算上可以看作是古典概型也可以視為貝努里概型，所以在分析問題的時候要首先根據(jù)問題的內(nèi)容來正確區(qū)別所屬概型， 然后再選擇不同的方法計算， 這樣才能得出正確的結(jié)論。現(xiàn)結(jié)合下面的例題來闡明它們之間的聯(lián)系。

例3 拋一枚均勻硬幣， 正面或反面出現(xiàn)的概率都是 ， 反復(fù)這樣的投擲， 數(shù)列 定義如下：

，第 次投擲出現(xiàn)正面，

，第 次投擲出現(xiàn)反面，

設(shè) 。試分別求滿足下列條件的概率：

（1） ；

（2） 且 。

解法一 可視為古典概型

（1）當(dāng) 時，在試驗中，正面是5次、反面是3次。有利事件數(shù) ，基本事件數(shù) ，故所求概率為：

（2）當(dāng) 時，當(dāng)前兩次是兩正或兩反，又 ，故后六次中出現(xiàn)3反或5正1反，故基本事件數(shù) ，有利事件數(shù) ，所以概率為：

.

解法二 可視為貝努里概型

（1）概率為：

（2）將后六次任意投擲一枚硬幣視為貝努里概型，則

由以上討論可見， 同一問題有時可用兩種概型來解決.這樣有利于開拓思想， 啟發(fā)思維， 提高能力， 同時一題多解也是檢驗答案是否正確的有效方法。但并不是所有題都可以用上述兩種解法解答的。現(xiàn)結(jié)合下面的兩個例題來闡明它們之間的區(qū)別。

例4 袋中有 個白球， 個黑球，從中任意取出 球（不放回），求取出球的顏色順序為黑白黑的概率。

解 這是古典概型，可直接按古典概率的公式求解，由于是不放回抽取，故不是獨立試驗，因此不屬于貝努里概型。

設(shè) ={任意取出3球， 順序為黑白黑}， 則

設(shè)某人投籃時投中的概率是 ， 試求該人投籃8 次中恰好命中3 次的概率.

顯然這是一個貝努里概型， 所求概率為：

因為該人每次投中的概率 為無理數(shù)，而古典概率定義 必為有理數(shù)， 因此這樣的試驗不是古典概型.改 為有理數(shù)，則就完全相反了。

順便指出，我們進行 次貝努里試驗，當(dāng) 很大時，計算貝努里概型中的數(shù)值是很困難的，現(xiàn)在我們令 ，則 且 ，可以得到 。而我們從泊松分布的定義知： 是泊松分布的分布列，那么我們可以把泊松分布看做貝努里概型的近似計算。

定理3.1.1（泊松定理） 設(shè) 重貝努里試驗中，事件 在一次試驗中出現(xiàn)的概率為 （與試驗次數(shù) 有關(guān)），若 （ 為常數(shù)），則對固定的 ，有

這個定理叫做泊松定理。即在泊松分布中當(dāng) 充分大、 較小，且乘積 適中，（一般來說， ）時有：

現(xiàn)結(jié)合下面的例題來體會利用泊松分布對二項分布進行近似計算：

例5 有 名同年齡段且同社會階層的人參加了某保險公司的一項人壽保險，每個投保人在年初需交納 元保費，而在這一年中，若投保人死亡，則受益人可以從保險公司獲得 元保費。據(jù)生命表知，這類人的年死亡率為 。問保險公司在這項業(yè)務(wù)上至少獲利 元的概率。

解 設(shè) 為 名投保人在一年中死亡的人數(shù)，則 服從二項分布 。由于 很小，所以可用 的泊松分布 作近似計算。由題意知，“保險公司在這項業(yè)務(wù)上至少獲利 元”就相當(dāng)于 ，于是所求概率為：

由此可以看出，保險公司在這項業(yè)務(wù)上至少獲利 元的可能性非常之大。

結(jié)束語

參考文獻

[1] 惠存陽.貝努里概型教學(xué)淺談.延安教育學(xué)院學(xué)報，2004.69-70.

[2] 盧崇飛.貝努里概型.數(shù)學(xué)通報，1960 .23-25

[3] 錢敏平.貝努里學(xué)會第一屆世界大會情況簡介.數(shù)學(xué)通報，1994.284-286.

[4] 吳清和.談?wù)劰诺涓判秃拓惻锔判?高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2004.48-49.

[5] 王凱.在貝努里概型中有關(guān)一事件連續(xù)發(fā)生的概率問題.北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報，1993.68-70.