貝努里概型

摘要：貝努里概型是一種既簡單又非常重要的概型，這種概型是概率論中最早研究的模型之一，也是得到最多研究的模型之一。在概率論中對概率分布的學習、概率的近似計算有著非常重要的作用。它在現實生活生產中和在自然科學試驗中也有著直接的應用，并在其中發揮著重要的作用，為其解決問題提供了理論支持。我們就貝努里概型及其應用展開了解。

關鍵詞： 貝努里概型 貝努里試驗

中圖分類號： O21文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）01（a）-0000-00

伯努利家族在數學與科學上的地位正如巴赫家族在音樂領域的地位一樣的顯赫。這個非凡的瑞士家族在三代時間里產生了十余位數學家和物理學家，其中有八位數學家，其中三位是杰出的，他們是雅可布、約翰、丹尼爾。而貝努里概型就是雅可布.貝努里提出來的。

貝努里概型是一種既簡單又非常重要的概型，這種概型是概率論中最早研究的模型之一，也是得到最多研究的模型之一。在概率論中對概率分布的學習、概率的近似計算有著非常重要的作用。它在現實生活生產中和在自然科學試驗中也有著直接的應用，并在其中發揮著重要的作用，為其解決問題提供了理論支持。而且，揭示這種簡單概型的規律，對于以后研究更復雜的概型有著一定的指導意義和理論支撐。下面我們就貝努里概型及其應用展開了解。

1 預備知識

在許多概率問題中，試驗中某事件 是否發生受到的關注較多。例如，在產品調查中注意的是抽到次品還是抽到正品；在擲硬幣時注意的是出現正面還是反面等，在這類問題中試驗產生的結果只有兩個，即 和 。像這樣只有兩個可能結果的試驗成為貝努里試驗，投幣試驗就是最簡單的貝努里概型。在相同的條件下，將同一個試驗獨立重復進行 次，這種隨機試驗稱為 重貝努里試驗。現在我們來看看 重貝努里試驗的定義。

1.1貝努里概型的定義

關于 重貝努里概型的定義，盡管在各種教材的敘述不盡相同，但都是指滿足下列條件的一系列實驗：

（1） 次試驗時獨立的，即每次試驗的結果都與其它各次試驗的結果無關；

（2）每次試驗只有兩個結果 和 ，且它們出現的概率 ， 在每次試驗中是不變的。

則稱這種試驗為 重貝努里（ ）試驗，簡稱貝努里試驗或貝努里概型。

在 重貝努里試驗中，事件 恰好發生 次的概率為：

例1 （巴拿赫（ 火柴盒問題）某人隨身帶有兩盒火柴，吸煙時從任一盒中取一根火柴，經過若干時間后，發現一盒火柴已經用完。如果最初兩盒火柴中各有 根火柴，求這時另一盒中還有 根的概率。

解 我們不妨把使用一次火柴看作一次試驗，每次試驗的結果只有兩個：取于甲盒（記為 ）和取于乙盒（記為 ），由于使用時從任一盒中取，因此 .假如甲盒已空乙盒還剩 根火柴，則在此之前已經取過 次，其中恰好有 次取于甲盒，有 次取于乙盒，二 次必取于甲盒，因此這種情況的概率為：

假如乙盒已空而甲盒還剩 根火柴，同樣的道理可得這種情況的概率為：

因此一盒火柴已經用完而令一盒中還剩 根的概率為：

我們知道進行貝努里試驗時隨機變量只取有限個，所以貝努里概型就是離散型概率分布，而貝努里概型與四種重要的離散概率分布之一——二項分布之間有著重要聯系，可以說二項分布是貝努里概型背后的影子。

1.2貝努里概型和二項分布

在 重貝努里試驗中，設 表示 重貝努里試驗中事件 發生的次數，則 的可能取值為 我們知：

而 恰好是二項式 的展開式的第 項，稱此分布列為二項分布，記為 。

特別當 時，我們稱二項分布為 分布或兩點分布，它描述了一次伯努利試驗中事件 發生的次數，“拋硬幣”試驗等都可以用 分布的隨機變量來表述。現結合下面的例題來闡明它們之間的關系。

例2 某種藥品的過敏反應率為 ，今有 人使用此藥品，求這 人中至少有 人發生過敏反應的概率。

解 以 表示 人中發生過敏反應的人數，那么 服從二項分布 ，故所求概率為：

這個概率很接近于 。這表明雖然藥品的過敏反應很低，但如果 人使用此藥品，則至少 人發生過敏反應是幾乎可以肯定的。這個事實說明，一個事件盡管在一次試驗中發生的概率很小，但只要試驗的次數很多，而且試驗是獨立進行的，那么這一事件發生幾乎是肯定的，這告訴人們決不能輕視小事件。

貝努里概型還與概率論中的另一重要的概率模型——古典概型有著千絲萬縷的聯系，它們好像一對雙胞胎兄弟，咋一看貌似長一樣，但究其根源卻有著本質的區別，下面我們就來看看貝努里概型與古典概型之間的聯系。

1.3貝努里概型和古典概型

古典概型是概率論中最早被研究的概率模型，是一類較簡單的隨機試驗。

定義 如果一個隨機試驗滿足下述兩個條件：

（1）有限性 它的基本事件空間只有有限個基本事件；

（2）等可能性 每個基本事件出現的可能性相等；

則稱這種隨機試驗為古典隨機試驗， 即古典概型。

貝努里概型、古典概型各有各的定義、條件及計算方法。但在有些問題的計算上可以看作是古典概型也可以視為貝努里概型，所以在分析問題的時候要首先根據問題的內容來正確區別所屬概型， 然后再選擇不同的方法計算， 這樣才能得出正確的結論。現結合下面的例題來闡明它們之間的聯系。

例3 拋一枚均勻硬幣， 正面或反面出現的概率都是 ， 反復這樣的投擲， 數列 定義如下：

，第 次投擲出現正面，

，第 次投擲出現反面，

設 。試分別求滿足下列條件的概率：

（1） ；

（2） 且 。

解法一 可視為古典概型

（1）當 時，在試驗中，正面是5次、反面是3次。有利事件數 ，基本事件數 ，故所求概率為：

（2）當 時，當前兩次是兩正或兩反，又 ，故后六次中出現3反或5正1反，故基本事件數 ，有利事件數 ，所以概率為：

.

解法二 可視為貝努里概型

（1）概率為：

（2）將后六次任意投擲一枚硬幣視為貝努里概型，則

由以上討論可見， 同一問題有時可用兩種概型來解決.這樣有利于開拓思想， 啟發思維， 提高能力， 同時一題多解也是檢驗答案是否正確的有效方法。但并不是所有題都可以用上述兩種解法解答的。現結合下面的兩個例題來闡明它們之間的區別。

例4 袋中有 個白球， 個黑球，從中任意取出 球（不放回），求取出球的顏色順序為黑白黑的概率。

解 這是古典概型，可直接按古典概率的公式求解，由于是不放回抽取，故不是獨立試驗，因此不屬于貝努里概型。

設 ={任意取出3球， 順序為黑白黑}， 則

設某人投籃時投中的概率是 ， 試求該人投籃8 次中恰好命中3 次的概率.

顯然這是一個貝努里概型， 所求概率為：

因為該人每次投中的概率 為無理數，而古典概率定義 必為有理數， 因此這樣的試驗不是古典概型.改 為有理數，則就完全相反了。

順便指出，我們進行 次貝努里試驗，當 很大時，計算貝努里概型中的數值是很困難的，現在我們令 ，則 且 ，可以得到 。而我們從泊松分布的定義知： 是泊松分布的分布列，那么我們可以把泊松分布看做貝努里概型的近似計算。

定理3.1.1（泊松定理） 設 重貝努里試驗中，事件 在一次試驗中出現的概率為 （與試驗次數 有關），若 （ 為常數），則對固定的 ，有

這個定理叫做泊松定理。即在泊松分布中當 充分大、 較小，且乘積 適中，（一般來說， ）時有：

現結合下面的例題來體會利用泊松分布對二項分布進行近似計算：

例5 有 名同年齡段且同社會階層的人參加了某保險公司的一項人壽保險，每個投保人在年初需交納 元保費，而在這一年中，若投保人死亡，則受益人可以從保險公司獲得 元保費。據生命表知，這類人的年死亡率為 。問保險公司在這項業務上至少獲利 元的概率。

解 設 為 名投保人在一年中死亡的人數，則 服從二項分布 。由于 很小，所以可用 的泊松分布 作近似計算。由題意知，“保險公司在這項業務上至少獲利 元”就相當于 ，于是所求概率為：

由此可以看出，保險公司在這項業務上至少獲利 元的可能性非常之大。

結束語

參考文獻

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