基于動(dòng)力學(xué)探究黑匣子降落點(diǎn)問(wèn)題

摘 要：本文研究了飛機(jī)在發(fā)生事故時(shí)突然失去動(dòng)力后拋方式黑匣子落水點(diǎn)位置問(wèn)題。考慮到飛機(jī)在降落過(guò)程中受到空氣氣流的影響，首先對(duì)飛機(jī)與黑匣子在失去動(dòng)力后墜落過(guò)程進(jìn)行受力分析，由微分方程組、常數(shù)變異法等建立飛機(jī)墜落軌跡模型，并通過(guò)歐拉待定指數(shù)法求解微分方程組函數(shù)，得出黑匣子相對(duì)事故點(diǎn)在各個(gè)方向降落距離公式，并通過(guò) 編程求解出各個(gè)方向降落距離，最后通過(guò)地球表面上的空間轉(zhuǎn)動(dòng)參照系與地心坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式建立空間轉(zhuǎn)換模型，并用 編程求解出黑匣子落水點(diǎn)經(jīng)緯度，確定黑匣子最終降落點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：動(dòng)力學(xué) 微分方程組 歐拉待定指數(shù)函數(shù) 阻力系數(shù) 常數(shù)變異法

中圖分類號(hào)：O313 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2015）01（a）-0000-00

作者簡(jiǎn)介：晉良平（1980--），男，漢族，四川簡(jiǎn)陽(yáng)人，四川理工學(xué)院講師，碩士研究生，主要從事大學(xué)物理和人工智能方面研究。

1 問(wèn)題分析

飛機(jī)在發(fā)生事故時(shí)突然失去動(dòng)力后，由于慣性仍然具有失去動(dòng)力之前的速度。在失去動(dòng)力之后，考慮到飛機(jī)受到空氣阻力和大氣層風(fēng)力的影響，與此同時(shí)地球自轉(zhuǎn)也會(huì)產(chǎn)生一定的影響。于是通過(guò)計(jì)算空氣阻力、風(fēng)力和地球自轉(zhuǎn)情況下，任意拋射角的拋射體的解析解，然后再通過(guò)在地球表面所建立的空間直角坐標(biāo)系與地心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系式，以拋射體與地心的距離為地球半徑作為落地點(diǎn)的條件，來(lái)計(jì)算最終的落地時(shí)間和落地位置。即為飛機(jī)最終的落地時(shí)間和落地位置。

2 模型建立

本文首先通過(guò)斜拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在地球表面建立空間直角坐標(biāo)系，將墜落的飛機(jī)看做拋射體，計(jì)算出考慮空氣阻力和科氏力情況下任意拋射體的解析解，從而建立了飛機(jī)墜落過(guò)程中的斜拋運(yùn)動(dòng)模型。然后建立了在地球表面所建立的空間直角坐標(biāo)系與地心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系式，建立空間轉(zhuǎn)換模型，以拋射體與地心的距離為地球半徑 作為落地點(diǎn)的條件來(lái)計(jì)算飛行時(shí)間。

2.1 飛機(jī)墜落過(guò)程中斜拋運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

飛行器運(yùn)動(dòng)方程即飛行器運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型的建立，離不開(kāi)坐標(biāo)系。與其他學(xué)科相比，飛行動(dòng)力學(xué)中使用的坐標(biāo)系的數(shù)目是很多的，其中由于涉及的力、力矩和運(yùn)動(dòng)變量很多且規(guī)律復(fù)雜。所以，選取地球（視為球體）為主要參照，在地球表面建立空間直角坐標(biāo)系，以地球上緯度為 的一點(diǎn) 為原點(diǎn)，建立固定坐標(biāo)系 如下圖（1）所示

圖（1） 斜拋運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系

其中： 切經(jīng)線（圈）向南； 切緯線（圈）向東； 垂直地面向上；圖中 為地軸地球自轉(zhuǎn)角速度 沿著該軸：

其中： （24小時(shí)地球自轉(zhuǎn)一圈所得）

假設(shè)飛機(jī)質(zhì)量為 ，以初速度 從 點(diǎn)沿任意方向拋出。空氣阻力為： ，其中 為阻力系數(shù)。

由于受到空氣氣流等阻力的影響，當(dāng)速度減小到某一個(gè)最小的數(shù)值，剛夠以最大升力系數(shù)才能維持水平飛行時(shí)，無(wú)動(dòng)力飛行就結(jié)束了。對(duì)于每一個(gè)高度，就可以找到飛機(jī)可能到達(dá)的最大區(qū)域。這個(gè)區(qū)域的外輪廓將稱為水平無(wú)動(dòng)力飛行的終跡。

本文假設(shè)給出一架飛機(jī)在高空中飛行時(shí)突然發(fā)生事故，飛機(jī)墜落過(guò)程的開(kāi)始即為無(wú)動(dòng)力飛行，但是由于受到空氣氣流等阻力的影響，通過(guò)對(duì)飛機(jī)墜落過(guò)程的分析，得出飛機(jī)墜落過(guò)程中受力分析如下圖（2）

圖（2） 飛機(jī)墜落受力圖

根據(jù)上圖的受力分析，設(shè)飛機(jī)質(zhì)量為 ，初速度為 ，發(fā)生故障的地點(diǎn)為 點(diǎn)，沿任意方向飛行。為簡(jiǎn)化問(wèn)題，可以認(rèn)為所受的空氣阻力為：

其中 為阻力常數(shù)，從而得出飛機(jī)墜落的運(yùn)動(dòng)方程：

其中： 分別為 的導(dǎo)數(shù)， 分別為 二階導(dǎo)數(shù)； 分別為沿 軸的風(fēng)力分力。 、 分別為飛機(jī)所受風(fēng)力和自轉(zhuǎn)力。 為飛機(jī)飛行的速度。 、 、 、 分別為風(fēng)力與 軸夾角、自轉(zhuǎn)力與 軸夾角、飛機(jī)速度與 軸的夾角

2.2 空間轉(zhuǎn)換模型

利用地球表面上的空間轉(zhuǎn)動(dòng)參照系與地心坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式，以拋射體與地心的距離為地球半徑作為落地點(diǎn)的條件，來(lái)計(jì)算最終的落地時(shí)間和落地位置。

選取地心為原點(diǎn) ，建立地心坐標(biāo)系 ，同時(shí)以地球表面為參照，建立空間轉(zhuǎn)動(dòng)參照系 。 切經(jīng)線（圈）向南； 切緯線（圈）向東； 垂直地面向上，圖中 是地軸，地球自轉(zhuǎn)角速度 沿著該軸：

地球自轉(zhuǎn)角速度的量值約為：

（24小時(shí)地球自轉(zhuǎn)一圈得到）。

設(shè)點(diǎn)A在 體系中的坐標(biāo)值為 。得到地球表面地球坐標(biāo)系與地心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換圖如下圖（3）所示：

圖3 地球表面地球坐標(biāo)系與地心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換圖

（1）、第一次坐標(biāo)變換，將 體系繞坐標(biāo)軸 轉(zhuǎn)動(dòng)角度 ，變?yōu)?新的坐標(biāo)體系，則A的坐標(biāo)值變?yōu)槿缦拢?/p>

（2）、第二次坐標(biāo)變換，將 體系繞坐標(biāo) 轉(zhuǎn)動(dòng)角度 ，變?yōu)?新的坐標(biāo)體系，則坐標(biāo)值變?yōu)槿缦拢?/p>

（3）、第三次坐標(biāo)變換，將 體系平移，變成 新的坐標(biāo)體系，則坐標(biāo)值變?yōu)槿缦拢?/p>

（4）于是得到點(diǎn)A在 體系中的坐標(biāo)為：

3 模型求解

由前文公式可求得：

（4）

其中：

通過(guò)求解上述 的表達(dá)式，通過(guò) 編程求解，得到在地球自轉(zhuǎn)和空氣阻力情況下，將飛機(jī)墜落看作斜拋運(yùn)動(dòng)，對(duì)上述物體運(yùn)動(dòng)方程以及積分方程式求解，得到飛機(jī)墜落的數(shù)據(jù)為：

緯度 、經(jīng)度 、高度 ，初速度 、空氣阻力系數(shù)為 ：

通過(guò) 編程求解，得到黑匣子落地點(diǎn)的坐標(biāo)方位為：

、 、

于是得到飛機(jī)墜落的軌跡為拋射體在地球表面的斜拋運(yùn)動(dòng)軌跡，同時(shí)由于受空氣氣流的影響，得到黑匣子落水點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的經(jīng)緯度為：經(jīng)度72、緯度26。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文盡可能多的考慮影響失去動(dòng)力后飛機(jī)墜落過(guò)程軌跡和黑匣子落水點(diǎn)的因素（空氣阻力、地球自轉(zhuǎn)、大氣層風(fēng)力等），很好利用地球表面上的空間轉(zhuǎn)動(dòng)參照系與地心坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式，將拋射距離轉(zhuǎn)換成經(jīng)緯度，建立了求解墜落飛機(jī)的落地點(diǎn)和落地時(shí)間的模型。建立的模型對(duì)于一些特殊情況，代入特殊數(shù)據(jù)依然可以得出結(jié)果。但是本文所建模型考慮的是常規(guī)情況，對(duì)于特殊風(fēng)向、特殊海洋狀況等，通過(guò)查詢各種相關(guān)資料，得出不同的地礦、不同的天氣、不同的溫度、不同的濕度等情況，都將有一些特殊影響，所以本文模型對(duì)于一些特殊地礦的飛機(jī)墜落情況不適用。在今后學(xué)習(xí)過(guò)程中仍需繼續(xù)探究。但是在求解的過(guò)程，盡量保證了結(jié)果的準(zhǔn)確性。

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