一個新三維混沌系統的動力學分析與仿真研究

摘 要：文章提出一個新的三維自治混沌系統，分析了系統的平衡點穩定性，計算出系統的Lyapunov指數，給出了系統變量的時域圖、混沌吸引子相圖和Lyapunov指數譜，理論分析證實新系統是混沌系統。并對此新系統進行了電路仿真實驗，所采用的是電子工作平臺electronic workbench（EWB）仿真軟件，仿真結果再次表明新系統是混沌系統。

關鍵詞：混沌吸引子；三維自治混沌系統；Lyapunov指數；EWB

引言

第一個混沌吸引子是1963年被Lorenz發現的，發現于一個三維自治混沌系統，此后，非線性科學研究的熱點中便包含了對混沌理論的研究、新混沌系統的構造和混沌控制及其應用。許多新的混沌與超混沌系統被相繼提出[1-7]，例如，chen系統的發現，此系統是一個在混沌系統反控制中與Lorenz系統并不拓撲等價的系統，是陳關榮等人發現的[1]；呂金虎等進一步發現了LV系統和鏈接Lorenz系統、Chen系統以及LV系統的統一混沌系統[2，3]；國內發布了有關新的離散與連續混沌系統的報道[4，5]；同時，還報道了兩個不同的四維超混沌系統。新混沌與超混沌系統的提出與實現[6，7]，為混沌理論的深入研究和混沌的應用，特別是在混沌保密通信系統和微弱信號檢測以及電力系統諧波抑制等領域的應用方面，提供技術支持，并為此奠定了理論基礎。

在文章提出的系統之上，進行基本動力學特性的理論分析與數值仿真，諸如平衡點穩定性、混沌吸引子、耗散性和維數與Lyapunov指數等；并把該系統轉化為實際的物理電路模型，所采用的是模塊化設計法，并采用電子工作平臺EWB軟件對新的混沌系統進行電路仿真實驗來進行驗證。

1 新混沌系統及其基本動力學特性分析

文章提出的新三維混沌系統其狀態方程為：

（1）

其中x，y，z為狀態變量，a，b，c，d為系統參數，該系統存在一個非線性項y2，是一個三維二次自治系統。

系統中有一個混沌吸引子的條件是當a=2，b=0.18，c=2，d=2時， 對該系統采用MATLAB工具進行數值仿真實驗，即可得到三維空間xyz相圖、y變量的時域波形和y-z平面相圖，例三維空間相圖如圖1（a）所示。

（a）混沌吸引子三維空間的相圖 （b） Lyapunov指數譜

圖1

為求系統的平衡點，令：

（2）

解方程組可求得系統的兩個平衡點為P1（0，0，0）和P2（-1.91，-1.91，-3.82），在平衡點處，對應的Jacobian矩陣分別為：

（3）

由特征方程det[？姿I-J]=0，得J（P1），J（P2）的特征值分別為：

可見？姿1，？姿1'為負實根，？姿2，？姿3和？姿'2，？姿'3是共軛復根，并且這兩對復根均有正實部，故P1，P2平衡點是不穩定的鞍焦點且指標均為2。

系統（1）之散度：

（4）

當b=0.18，c=2時，？犖V<0，因此系統（1）為耗散系統，即當t→∞時，小體積元-包含系統軌線以指數（-b-c+1）的速率收縮至零，所有系統軌線的漸近運動將會被固定在一個吸引子之內，其被限制于一個體積為零的集合。

混沌吸引子的相鄰軌線之間具有一定的作用，它們具有彼此相排斥的趨勢，此趨勢會以指數的速率分離，對這種作用的描述采用Lyapunov指數，對Lyapunov指數的計算我們采用Jacobian矩陣法，可得此系統的分別為：？姿L1=0.2041，？姿L2=0，？姿L3=-1.3858，Lyapunov指數譜如圖1（b）所示。可得Lyapunov維數：

（5）

由上對該系統相圖、平衡點的穩定性、耗散性和Lyapunov指數與維數的理論分析結果得出，新系統為一混沌系統。

2 EWB電路仿真實驗

為了確定電路是否可行，若可行電路可以優化，現在對所提出新系統（1）來進行電路設計，模擬乘法器、線性電阻、運算放大器和電容器等是電路的主要組成的部分，將系統轉化為物理模型，轉換之后對電路進行仿真實驗，利用的是EWB仿真軟件。

電路的各組成部分中用以做積分運算和加減運算的是運算放大器，用以實現系統的非線性項部分y2的是模擬乘法器，連接三個x，y，z的狀態變量為一個整體。

設計過程中采用模塊化的設計方法，主要考慮以下幾個問題（1）有源器件的動態變化范圍是否小于狀態變量的取值變化范圍，若不小于就不用處理，否則需要采用比例壓縮變換操作。根據圖l，變量的動態范圍并未超出運算放大器TL082的線性范圍（-13.5V，+13.5V），故不需要做變量比例變換。（2）更適合用于模塊化設計的是反相加法或其運算電路，因為參數獨立可調、便于調試是該類電路的主要特點，這是與同相加法或減法運算電路相比較而言的。（3）混沌信號在時域的變化速率以及在頻域的頻譜分布范圍是由什么決定呢？是積分器的積分常數為1/R0C0時間尺度變化因子的大小。采用時間尺度變換和微分一積分轉換操作，將無量綱狀態方程轉換為實際電路方程。

我們取R0=100k？贅，C0=1？滋F，需要說明的是為了確保參數a=2，我們取電阻的值R=5k？贅，因為乘法器的輸出增益是0.1。用EWB對電路進行仿真實驗，其結果如圖2所示，（a）是y-z平面吸引子相圖，（b）是變量y的時域波形圖。

（a）y-z平面吸引子相圖 （b）變量y的時域波形

圖2 EWB電路仿真實驗結果

比較圖1和圖2，不難發現數值仿真與電路實驗所觀測到的平面上的相圖是基本一致的，即數值仿真與EWB仿真結果基本是一致的。文章所提出三維系統是一個物理可實現的新混沌系統，以上理論的分析過程以及電路的仿真實驗結果都可以證實。

3 結束語

文章提出了一個新的三維自治混沌系統，在該系統之上進行了基本的動力學特性分析：系統有兩個指標2的鞍焦點，都是不穩定的；經過計算，發現系統存在一個正的Lyapunov指數；數值模擬結果給出了系統的吸引子相圖、時域波形。最后通過EWB軟件得到電路的仿真實驗結果，此結果與數值模擬結果也是一致的。在文中所給出的參數條件下，電路仿真實驗和理論分析結果都表明新系統是處于混沌狀態，并且該系統物理可實現。為以后更多維混沌系統的研究提供了一定的基礎，為以后實際混沌電路的搭建做了基礎理論研究，同時也是為混沌信號的應用做鋪墊。

參考文獻

[1]Chen G R，Ueta T.Yet anothee chaotic attractor[J].Int J Bifurc chaos，1999，9（7）：1465-1466.

[2]Lv J H，Chen G R.A new chaotic attmctor comd[J]. Int J Bifurc chaos，2002，12（3）：659-661.

[3]LV J H，Chen G R，Cheng D Z，et a1.Bridge the gap between the Lorenz system and the CHEN system[J].Int J Bifurc chaos，2002，12（12）：2917-2926.

[4]寧國強，何小海，侯波，等.一種新的混沌擴頻序列的研究與應用[J].四川大學學報（自然科學版），2009，46（5）：1341-1346.

[5]劉凌，蘇燕辰，劉崇新.新三維混沌系統及其電路仿真實驗[J].物理學報，2007，56（4）：1966-1970.

[6]李春彪，劉保彬，鄭曉晨.一個新的超混沌系統及其線性反饋同步[J].計算機應用研究，2009，26（9）：3304-3306.

[7]王忠林，王光義.一個超混沌系統的設計與電路實現[J].電機與控制學報，2009，13（1）；193-198.

作者簡介：徐小云（1986-），女，碩士研究生，主要從事混沌理論與保密通信方面的研究。

徐禮國（1984-），男，碩士研究生，主要從事混沌理論與保密通信方面的研究。