絕對節點坐標法下的梁結構動力學分析

摘 要：文章以絕對節點坐標法為研究工具，推導了絕對節點坐標下的動力學方程，并借助Matlab編程工具，將上述理論運用于帶滑塊的柔性梁擺動系統的動力學分析過程中，驗證了絕對節點坐標法理論的有效性，為較為復雜的空間柔性結構動力學分析提供了依據。

關鍵詞：絕對節點坐標法；梁；動力學分析

引言

近年來，不少學者對柔性梁的幾何非線性的問題進行了深入研究。由于傳統的對柔性多體系統動力學特性的描述方法存在著不少不足之處，為了建立精確的動力學模型，Shabana等提出了絕對節點坐標法，這一方法的提出更利于多體動力學理論與有限元理論結合，進而使得對動力學問題的研究能夠更容易的進行。

絕對節點坐標法是研究多體系統動力學問題的重要方法之一。絕對節點坐標法中各個單元上的任一點都定義在全局坐標系下，進而使得任意一點的絕對位移表達簡單，且這種方法下系統的質量矩陣為常量矩陣，不含科氏力和。這種方法下建立的多體動力學模型更精確，且在研究中建立的動力學方程也更容易求解。

文章在研究梁的問題時采用經典的歐拉-伯努利梁理論，即不考慮剪切變形和轉動慣量，認為變形時只有彎曲變形，且變形時梁的任意一點的橫截面仍與中軸線垂直。

1 帶滑塊梁的動力學分析

1.1 絕對節點坐標法

絕對節點坐標法中的單元坐標都定義在全局坐標系下，利用斜率矢量來代替轉角坐標，不考慮單元的剪切變形。

圖1 一維兩節點梁單元

圖2 帶滑塊的柔性梁自由落體

借助圖1對一維梁單元用絕對節點坐標法來研究其特性。設梁的長度為l，X為沿梁單元的軸線坐標，則X的取值為[0，l]。i點和j

點對應的坐標分量為 。在此我們選用廣

義坐標 來表示一維二節點梁

單元變形。

假設梁單元中的任一點的絕對位置為r，則r可表示為式（1）：

r=Nq （1）

1.2 動力學分析

如圖2，滑塊和梁通過鉸接連接，梁長為0.3m，梁截面面積為1.6e-03m2，梁的彈性模量是70GPa，其密度為5540Kg/m3，截面慣性矩為2.133e-007m4，重力加速為9.81m/s2滑塊限制在水平面上運動，桿梁以如圖為初始位置做自由落體運動。

首先，在這種情況下因為滑塊的加入，不能直接采用單根桿的相關公式。經過分析，這里認為滑塊的質心與滑塊和梁鉸接的點重合，因此將這一結構簡化為在梁的左端點加入質量塊的質量，與前面單根梁的區別在于梁單元中的動能表達式不同，進而引起所推導出的廣義質量矩陣不同，其他均相同。此結構的動能表達式為：

（2）

其中 為x=0

處的形函數。

在單元體積內積分并對廣義坐標求偏導，得出絕對節點坐標下的單元力為：

（3）

其中K是剛度矩陣，求和公式中的1，2，3為別對應X，Y，Z。

可以得出均布重力在絕對節點坐標下的表達式為：

（4）

最后，我們結合所建立的動力學微分方程：

（5）

在基于絕對坐標法下，通過matlab編程，將梁劃分為2個單元，進行簡單柔性動力學仿真。計算時間設置為2秒，計算采用ode45解微分方程。仿真分析所得端點位移和速度圖如下：

從圖3可以看出，鉸接點隨時間作往復運動，這就印證了系統的能量守恒。

圖3到8反映出在上述彈性模量下，梁的剛性運動起到主要作用，柔性作用較不明顯。上述采用絕對節點坐標法仿真的結果類同于剛性桿的擺動的位移以及速度曲線（這里可經過簡單的分析得出，將不進行贅述），驗證了絕對節點坐標法的有效性。

2 結束語

文章引入了絕對節點坐標法，基于此方法進行了動力學理論的推導。文中分析了帶滑塊的柔性梁擺動系統，運用了絕對節點坐標法，并借助Matlab編程工具實現了該理論。通過對帶滑塊的柔性梁系統的動力學仿真，驗證了絕對節點坐標法的有效性和編制程序的穩定性，這將為絕對節點坐標法下的更為復雜的桁架結構的動力學分析提供了有效的分析工具。在對這一梁系統研究時認為滑塊的質心與滑塊和梁鉸接的點重合，將這一結構簡化為在梁的左端點加入質量塊的質量，并從仿真結果中得出系統能量是守恒的，進而得出這一觀點的正確性和有效性。

參考文獻

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