Thompson—Lampard定理：內(nèi)容及若干應(yīng)用

摘 要：著名計量學(xué)家Thompson和Lampard于1956年發(fā)現(xiàn)了，用于計算二維靜電學(xué)中具有一定對稱性的導(dǎo)體系統(tǒng)電容的一個奇特定理。該定理在精確計量學(xué)上具有重要的用途，然而國內(nèi)相關(guān)領(lǐng)域文獻很少涉及。對此定理進行簡要概述，然后就一般情況簡要給出其普適性證明及若干應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：Thompson-Lampard定理；黎曼映射定理；泊松積分

引言

Thompson-Lampard （TL）定理介紹[1]

我們首先引入一個二維對稱導(dǎo)體筒，其截面有一對稱軸ac（圖1），除此對稱性外，導(dǎo)體截面的幾何形狀是任意的。現(xiàn)用垂直于橫截面的兩個平面ac和bd將導(dǎo)體筒分成四個部分（其中bd面垂直于ac面，bd與ac垂足在ac線上可以任意移動），則TL定理斷定，筒的相對部分（如ab與cd）所構(gòu)成的單位長度正電容，必定取如下的一個常數(shù)：

如果令殼的ab段帶固定電壓V0，其余部分接地，所謂單位長度正電容指的是：cd段單位長度總電量的負(fù)值與電壓差V0的比值（為方便， 我們約定電容指代單位長度正電容）。注意，通常電荷也可分布在導(dǎo)體外表面，但通過殼外接地，可使電荷分布在ab，cd段內(nèi)表面，這是實際應(yīng)用中常采用的方法。

TL定理的奇特之處在于：任意的對稱導(dǎo)體筒的相對電容始終保持為一個常數(shù)，而不依賴對稱導(dǎo)體筒的幾何形狀細(xì)節(jié)以及截面bd與ac的垂足位置。當(dāng)截面變形并且bd與ac垂足沿ac任意滑動時，而cd段總電量始終保持不變（盡管電荷密度肯定變化）。

1 TL定理的證明：黎曼映射定理和泊松積分

TL定理的證明是二維拉普拉斯方程的狄利克雷問題，這個問題的格林函數(shù)求解法可以參見文獻[3]，但此法較為繁難；特別是，由于邊界形狀各異，若對于復(fù)雜形狀的邊界問題，該方法很難給出明確的結(jié)果。

由復(fù)變函數(shù)論可知，平面靜電場與復(fù)平面上的解析函數(shù)有一一對應(yīng)的關(guān)系[2]，即：對于單連通區(qū)域中的任意平面靜電場（x，y），通過積分總可以找到與之對應(yīng)的復(fù)位勢解析函數(shù)w=U（x，y）+iV（x，y），其中U代表電通量（垂直于場強方向的線積分），V為電勢，電容正比于兩者的比值[2]。

該變換的存在性由著名的黎曼映射定理保證[2]：任意一個單連通區(qū)域必可通過某個保角變換為另一個任意給定的單連通區(qū)域。例如，使用橢圓函數(shù)把方形區(qū)域映射為圓形，就是我們熟悉的一個特例。

對于圖1所示的對稱截面，總可以找到一個特定的解析函數(shù)使之變?yōu)槿鐖D2的單位圓。很容易看出，對稱軸ac現(xiàn)在變成單位圓直徑？琢？酌（令？琢？酌沿水平方向），b、d點分別對應(yīng)？茁、？啄點，夾角？孜的值由原來ab段的形狀和保角變換唯一確定（邊值條件變?yōu)椋孔粒孔露螏Ч潭妱軻0，其余三段接地）。

現(xiàn)在問題變?yōu)闃O為簡單的圓的拉普拉斯方程的狄利克雷問題，其電勢一般用如下泊松積分表述[2]：

2 TL定理的若干應(yīng)用

TL定理最初源于度量學(xué)的研究，用于精確定義絕對電學(xué)單位（法拉和歐姆）。美國國家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)局（NIST）運用這個定理設(shè)計了更精密的電容器，提高了國際電學(xué)計量標(biāo)準(zhǔn)。NIST設(shè)計的電容器如圖3所示。

圖3

理想的裝置如圖3（a）所示： 4個相同的半徑為a的長圓筒裝在一個邊長為4（a）的方筒中，對測量有用的是實線部分。這樣設(shè)計的好處很多，其一是相鄰圓筒相交處為尖縫，可盡量減小由圓筒間間隙造成的誤差。由于圓筒有一定的長度，所以C（L）=LC0。

實際實現(xiàn)的裝置如圖3（b）所示： 四圓筒正中心插入一接地的長度為z的屏蔽棒，棒的直徑足夠大，以致棒插入部分的圓筒內(nèi)壁無法積累電荷。此時電容為C（z，L）=（Leff-z）C0。

Leff為考慮邊緣效應(yīng)后的長度。圖中的各參數(shù)實際為：四圓筒電極的直徑為6.35cm，筒間相距0.36cm，屏蔽棒直徑為2.72cm，接地外筒的內(nèi)直徑為18.16cm。右上方圓筒帶固定電勢，其余三筒接地。

NIST的實驗是通過改變棒插入的長度z來獲得和測量更高的精確度。根據(jù)TL定理，當(dāng)z有一個變化量△z時，電容精準(zhǔn)的存在一個正比的變化量。

參考文獻

[1]THOMPSON A M， LAMPARD D G. A New Theorem in Electrostatics： Standards of Capacitiance[J].Nature，1956（177）：888.

[2]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1998：19-21+426+387.

[3]JACKSON J D. Classical Electrodynamics（Third Edition）[M].1998：38-40.

[4]VAN DER PAUW L J. A Method of Measuring Specific Resistivity and Hall Effect of Discs of Arbitrary Shape[J].Philips Res Pep，1958（13）：1-9.

[5]PETLEY B W.The Pundamental Physical Constants and the Frontier of Measuiement[M]. Hilger， Bri- stol，1985：142-145.

[6]CUTKOSKY R D. New NBS Measurements of the Absolute Farad and Ohm[J].IEEE Trans Instrum Meas，1974（IM-23）：305-309.

作者簡介：王玉平（1980，1-），女，河南濮陽人，新鄉(xiāng)學(xué)院，研究方向：基礎(chǔ)物理學(xué)，本科，講師。