有限元方法在無線能量傳輸模式數值計算中的應用

摘 要：我們發現，不論到什么程度，長時間的電磁共振現象和漸變消散的場模式可用于在一定距離上傳輸能量，而且外界物體的存在對它幾乎沒什么影響。其原理是通過基于在強耦合的機制下的兩個共振線圈來實現，通過對建立的模型在數值上應用有限元的方法進行分析，我們可以建立一個這樣的非輻射機制，在中程的距離上通過“強耦合”進行無線能量傳輸。

關鍵詞：遠程傳輸；信息；科技

1 介紹

早期都是依靠電線進行傳輸的，目前應用較多的是用銅、鋁等金屬做成的導線。電能的導線傳輸有很多不足之處：從大的方面說，輸電線、電線桿、能量轉換器等復雜的輸電設備，耗費了大量的空間、材料、金錢，并且犧牲了很大的安全性和效率；從小的日常生活方面說，大量的充電器、導線、接口、插座等電能轉換設備，給我們的生活帶來了極多的不方便，并帶來了很多的安全隱患。

輻射式傳輸，雖然非常適合于信息的傳送，但也引起了許多電能傳輸的應用困難。如果全向發射，電能傳輸的效率會非常低。而單向發射需要不受干擾的傳輸空間和先進的追蹤裝置。最近的一篇論文發表了關于利用共振體耦合通過非輻射的方式傳輸中等能量的可行性分析。更直觀地說，就是兩個擁有相同諧振頻率的共振體會更有效地交換能量，相比之下，只有極少的能量耗散在其它非共振體。在耦合共振系統中（如：聲、電磁、磁、核）總有一套普遍的強耦合操作機制。用這種方式實現的中等電能傳輸幾乎能夠全向發射，并且高效，磁共振非常適合以上應用，因為大多數物質不與磁場發生反應，所以與周圍物體的作用就被大大抑制。我們已經能夠通過探測非輻射（近場）磁共振在兆赫頻率級的感應，識別在兩個耦合磁共振中的強耦合域。匆匆一看，這種電能傳輸裝置好像是普通磁感應的再現。然而，要注意到普通的非共振感應對于中等電能供應是非常低效的。

有限元是那些集合在一起能夠表示實際連續域的離散單元。有限元的概念早在幾個世紀前就已產生并得到了應用，例如用多邊形（有限個直線單元）逼近圓來求得圓的周長，但作為一種方法而被提出，則是最近的事。有限元法最初被稱為矩陣近似方法，應用于航空器的結構強度計算，并由于其方便性、實用性和有效性而引起從事力學研究的科學家的濃厚興趣。經過短短數十年的努力，隨著計算機技術的快速發展和普及，有限元方法迅速從結構工程強度分析計算擴展到幾乎所有的科學技術領域，成為一種豐富多彩、應用廣泛并且實用高效的數值分析方法。有限元不僅計算精度高，而且能適應各種復雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。在本實驗中我們采用有限元法對模型進行數值分析，得到了滿意的結果。

2 原理及仿真

前面提到的能量傳輸裝置的耦合率和耦合范圍沒有考慮能量消耗，對于這里的諧振能量傳輸，著名的耦合摸理論是一種適當的分析結構。兩個諧振物體的場可以被近似為：

F（r，t）≈a1（t）F1（r）+a2（t）F2（r）

場的幅度分別應滿足下面的低階方程：

兩個物體之間能量交換所用的時間很短，幾乎是完美的，如果耦合率比任何損耗的速率都大很多。任何無線傳輸能量的指標可以表示為：

我們期望的最佳的系統（強耦合系統）是：

因此，要滿足能量傳輸需要的高Q=ω/2Γ則損耗速率Γ必須很小。中程非輻射耦合只能通過亞波長的共振物體來實現。一般亞波長的共振經常伴隨著高輻射Q。下面介紹一種電磁共振系統—容性加載的導電金屬環。圖1為一個半徑為r的金屬環兩頭接一對平行放置的小圓盤，中間填充空氣。連同與諧振模式相關的小環軸向平行的磁場。

其參數分別為：半徑r，線直徑a，電容片間距d，相對介電常數ε，電感L，電容C，線圈面積A。共振系統中的損耗有兩部分組成：歐姆損耗Rabs和線圈中的輻射到自由空間的損耗Rrad。

我們可以用兩種獨立的方法來分析這種RLC電路的模式計算問題。

數值上，采用三維有限元頻域仿真（可以在頻域解決Maxwell方程），導體的邊界可以用一個復數阻抗來模擬；從解析出發，有以下參數：

電感公式：L=？滋0r[1n（8r/a）-2]

電容公式：C=？著？著0A/d

同時需滿足亞波長的限制，已及準靜態公式：Rabs≈？濁·r/a

輻射阻抗：Rrad≈？仔/6·？濁0（r/？姿）4

由以上數據可以得出：諧振頻率：？棕=1/■

相關品質因數：Qrad=？棕L/Rrad Qabs=？棕L/Rabs

通過調整電容值，進而到諧振頻率，總的品質因數對于一定的頻率具有最大值。

對于中心距離為D的兩個線圈1和2，它們的能量傳輸率：數值上，FEFD模式仿真和解析兩種方法對于κ給出的結果很一致。圖2為兩個相同半徑的金屬環中心距離為D，兩頭分別接一對平行放置的小圓盤組成的系統，連同與諧振模式相關的小環軸向平行的磁場。

通過以上數據，我們可以得出用有限元仿真得出的結果和解析的結果非常一致，可見這里采用有限元的方法是可行的，而且是恰當的。同時，磁耦合共振子：一個包含了兩個磁共振子的系統，這兩個共振子的耦合區大部分都位于它們的磁場內。這樣，即使兩者之間的距離幾倍于共振體的尺寸，它們也能識別這個系統內的強耦合區。有耦合模理論可知，這種諧振耦合感應的品質因素比傳統的非諧振機制的品質因數要高很多。這也是為什么利用諧振可以實現中程的能量傳輸，而一般的電磁感應現象實現的都是近距離的能量傳輸。

3 能量傳輸的效率

下面我們考慮一個組合的系統，源是s，裝置是d，中間有一個外界物體e，接下來考慮基于諧振的能量傳輸的效率，由耦合模理論可知，我們關心的平均功率功率包括：有效的傳輸功率Pwork，輻射的功率Prad，源及負載吸收的功率Ps/d，外界物體吸收的功率Pe。則進入系統的總的時間平均年的功率是：Ptotal=Pwork+Prad+Ps/d+Pe，于是工作效率為：？濁=■。由此，我們可以看出，影響效率的因素很多，我們應研究影響磁耦合共振的無線電能傳輸的各種因素（比如線圈特點、材質、結構、傳輸距離、發射極與接受極之間的布局特點的影響），得到實驗數據，分析各影響因素；綜合平衡各因素尋求最高效率，并降低該種輸電方式的成本。

4 結束語

我們在這里介紹一種基于“強耦合”共振機制的中程無線非輻射能量傳輸。同時，在數值分析上，我們采用了有限元的仿真，結果和解析的結果保持了很好的一致性。可以看出，采用共振這種方式比傳統的感應方式效率要高很多，同時，受外界物體的影響很小。這種無線傳輸能量的技術有很好的應用前景，要使它能更好地被人們利用，還需要進一步的研究。

參考文獻

[1]Matthew N.O.Sadiku“Numerical Techniques in Electromagnetic”（CRC Press，July21，2000）.