單負材料光子晶體的零有效相位帶隙特性研究

摘 要：構造一個由兩種不同類型的單負材料（ENG和MNG）周期排列所組成的一維光子晶體。利用傳輸矩陣理論研究該晶體的帶隙結構，通過色散關系確定零？準eff帶位置。結果出現一個特殊的禁帶零？準eff帶，該禁帶的寬度與材料的厚度有關，而與晶格常數、入射角無關。

關鍵詞：光子晶體；零？準eff帶；單負材料

引言

光子晶體是由周期性的電介質結構材料構成的，其主要的兩個主要特征是光子帶隙和光子局域。傳統的正折射率材料所組成的光子晶體的帶隙受到晶格常數、入射角、介質厚度的等因素的影響。近年對特異材料也就是折射率為負的材料成為研究的熱點。

1 晶體模型與計算方法

設光子晶體是由A和B兩種單負材料周期性交替排列構成，設 平面為入射面，其中xoy平面與光子晶體的表面相平行，z軸為其法線方向。將光子晶體置于空氣中，假設N為其周期數，這樣的光子晶體結構簡寫為（AB）20。A為負介電常數材料（ENG），B為負磁導率材料（MNG）。其厚度分別為d1和d2，相對介電常數和相對磁導率參數為：

2 單負材料光子晶體的帶結構

對于有A、 B兩種單負材料構成的光子晶體（AB）20，利用傳輸矩陣理論研究其透射譜。計算中，取介質A的厚度d1=20mm、介質B的厚度d2=5mm。當光垂直入射時，TE模、TM模的透射譜完全相同，見圖1（a）。

圖1 （AB）20的帶隙及色散曲線

在圖1（a）圖中出現了三個帶隙，其中兩個帶隙出現在頻率較大的區間，此時的頻率對應的是在普通介質組成的光子晶體中中存在的。而出現在較低的頻率上的帶隙是由單負材料構成的光子晶體。在單負材料雖然在這一頻段，每一層介質都是單負特性，電磁波在單一介質材料中傳輸時是倏逝波，但是由于在不同的單負材料層中這種倏逝波的特性不同，通過不同介質層中不同倏逝波之間的相互作用，還是可以形成通帶，（1～3）、（7.5～10）GHz段電磁波能夠穿過晶體，僅在（3～7.5）GHz段出現了帶隙。

此外，我們還可以利用色散關系式來研究光子晶體的帶隙結構。令色散關系式等式右邊的值為：

其隨頻率ω的變化關系如圖1（b）所示。當f的絕對值大于1時，對應的色散關系式cos（Kd）=f中傳播常數K就無實數解，也就是說，在該頻率帶內電磁波無法穿過晶體結構，表現出禁帶。如圖1（b）中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區域，f的絕對值大于1，所對應的頻率范圍就是禁帶域。如果f的絕對值小于等于1時，對應的色散關系式cos（Kd）=f中的K就有實數解，即該頻率帶內的電磁波可以穿過晶體結構，是允帶。

利用這一方法得到的帶結構，如圖1中的箭頭所示。

3 零？準eff帶

在圖3中5GHz附近的禁帶，稱為零有效相位（？準eff）帶，這是一個與傳統Bragg反射帶不同的特殊禁帶。

3.1 零？準eff帶的偏振特性

當光以入射角？茲斜入射到光子晶體（AB）20上時，不同偏振態的電磁波其透射譜會發生變化。

圖2 入射角對TE模帶隙的影響

圖3 入射角對TM模帶隙的影響

圖2給出了入射角不同時一維光子晶體（AB）20TE模的帶隙變化，而圖3描述的則是TM模的帶隙變化。數值模擬時，取介質A的厚度d1=20mm、介質B的厚度d2=5mm。當入射角是0°時，TE模的帶隙位置出現在頻率2.94GHz～7.50GHz之間，而TM模則大約在頻率2.87～7.44GHz之間，TM模也出現了這種透射率幾乎為零的禁帶，并且當入射角發生變化時帶隙的位置幾乎不發生變化。當入射角為60°時帶隙的位置在2.92GHz～7.53GHz之間。而圖2描述的入射角對一維光子晶體（AB）20模的帶隙變化。從圖中可以看出大約在頻2.87～7.44GHz也出現了這種透射率幾乎為零的禁帶，并且當入射角發生變化時帶隙的位置幾乎不發生變化。

由圖2和圖3，可以看出這種單負材料組成的光子晶體中存在著一個特殊的禁帶，入射角對帶隙的位置影響不大，并且帶隙的中心位置大約位于5GHz，而傳統的Bragg帶隙位置對入射角的變化非常敏感。

圖4 入射角對TE模Bragg帶隙的影響

在圖4中，除了上面所說的這種特殊帶隙、正常Bragg反射帶外，還有一個禁帶：就是在10GHz附近出現的反射帶。這個反射帶稱為斜角帶[2]，它只出現在電磁波斜入射的情況下，而且位置始終在10GHz附近?？梢娢覀兦懊嫜芯康膱D4中的帶隙與傳統的Bragg帶隙不一樣。這種單負材料組成的光子晶體中存在著一個特殊的禁帶，入射角對帶隙的位置影響不大，并且帶隙的中心大約位于5 GHz。進一步研究發現在禁帶中心滿足|kz1d1|=|kz2d2|，即有效相位為零。因此，被稱為零有效位相帶隙[3]。該特殊帶隙形成的原因是倏逝模之間的相互作用，是由局域共振機制產生。

3.2 晶格常數對零？準eff帶的影響

為了研究晶格常數對零？準eff帶隙的影響，我們仍然選?。ˋB）20光子晶體為研究模型。只改變兩種介質中的結構參數，A和B的其它結構參數不變。當入射角為0°時，改變兩種介質中的結構參數研究帶隙有什么變化。數值模擬結果如圖5和圖6，其中圖5是模擬的單負材料構成的光子晶體中得的零？準eff帶，可以看出該禁帶中心位于5GHz，分析圖6可以得出帶寬依賴于d1/d2的比值，而與d1、d2的具體尺寸無關。隨著d1/d2比值的變化，零？準eff帶的帶寬隨之改變。并且從3.1的研究發現，這一零？準eff帶還與入射電磁波的入射方向無關，是一個全向反射帶。

可見晶格常數對零？準eff帶的影響均與傳統的Bragg帶不同，利用這些特性，可以制作優良的全反射鏡。

圖5 晶格常數對零？準eff帶的影響

圖6 晶格常數對正常帶隙的影響

4 結束語

利用傳輸矩陣理論研究了由兩種不同類型的單負材料構成的一維周期性結構的傳輸特性。結果表明在單負材料光子晶體中存在著一個特殊的禁帶-零帶。禁帶寬度取決于兩種單負材料的厚度比，而與晶格常數、入射角無關。提出利用色散關系確定禁帶位置的方法，為設計優良的全反射鏡提供了理論依據。

參考文獻

[1]Yu Ziming，Liao Shuzhi. Many narrow defectmodes in the transmission spectrum of 1-D defect photonic crystal[J].Laser Infrared，2010，40（4）.

[2]Aguanno G D， Mattiucci N， Scalora M， et al. Second-harmonic generation at angular incidence in a negative-positive index photonic band-gap structure[J].Phys Rev E，2006，74（2）： 026608.

[3]H.T.Jiang， H.Chen， H.Q.Li， et al. Properties of one-dimensional photonic crystals containing sing-negative materials[J].Phys. Rev. E. 2004，69（6）：066607.