升潛條件下矩形窄縫通道絕熱層流流動(dòng)解析解

周 磊，葛 超，昝元鋒，閆 曉，陳炳德

(1.中國核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院 中核核反應(yīng)堆熱工水力技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610041；2.中核核電運(yùn)行管理有限公司，浙江 嘉興 314300)

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升潛條件下矩形窄縫通道絕熱層流流動(dòng)解析解

周 磊1，葛 超2，昝元鋒1，閆 曉1，陳炳德1

(1.中國核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院 中核核反應(yīng)堆熱工水力技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610041；2.中核核電運(yùn)行管理有限公司，浙江 嘉興 314300)

本文采用數(shù)學(xué)分析方法對(duì)矩形窄縫通道內(nèi)絕熱層流流動(dòng)進(jìn)行了研究。通過合理簡(jiǎn)化得到了分析對(duì)象的控制方程，基于固定流量和固定通道壓降兩種不同的邊界條件，求解得出方程的解析解，從而可定量分析升潛條件對(duì)速度分布、壓降、摩阻系數(shù)等的影響規(guī)律。

升潛條件；矩形窄縫；絕熱層流；解析解

和陸基反應(yīng)堆不同，由于自身機(jī)動(dòng)和風(fēng)、浪、涌的影響，船用反應(yīng)堆處于瞬變的時(shí)空?qǐng)觯艿竭\(yùn)動(dòng)附加力的影響。升潛作為一種典型的海洋條件，對(duì)熱工水力特性的影響是一值得學(xué)術(shù)界和工程界關(guān)注的問題。國外的一些先進(jìn)反應(yīng)堆采用了板型燃料元件以便減小裝置體積、提高堆芯功率密度，其冷卻劑流道為矩形窄縫。絕熱層流流動(dòng)物理過程較簡(jiǎn)單，從而有望獲得解析解來作為實(shí)驗(yàn)對(duì)比和程序驗(yàn)證的基準(zhǔn)，也可為其他復(fù)雜熱工問題提供定性參考。

文獻(xiàn)[1]對(duì)豎直和水平放置、搖擺運(yùn)動(dòng)條件下的圓管單相水摩擦阻力特性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)在搖擺條件下豎直管內(nèi)單相摩擦阻力系數(shù)不僅是雷諾數(shù)的函數(shù)，而且還受管徑、搖擺周期以及搖擺角度的影響。文獻(xiàn)[2]針對(duì)科氏加速度對(duì)阻力特性的影響進(jìn)行了研究，研究結(jié)果表明垂直于流動(dòng)方向的附加科氏慣性力對(duì)流動(dòng)阻力的影響可以忽略。文獻(xiàn)[3]通過實(shí)驗(yàn)的方法研究了升潛和搖擺條件下矩形窄縫通道的絕熱單相流動(dòng)阻力特性，并采用CFX對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了模擬。文獻(xiàn)[4]采用實(shí)驗(yàn)、理論和大渦模擬等手段對(duì)典型海洋條件下加熱矩形窄縫通道的單相流動(dòng)阻力特性進(jìn)行了研究，其中在理論研究方面，基于軸向一維流體動(dòng)力學(xué)主導(dǎo)機(jī)制，分別在層流和湍流流態(tài)下，通過解析方法和零方程模型結(jié)合壁面函數(shù)方法求解海洋條件下矩形窄縫通道內(nèi)層流和湍流速度及溫度分布，初步建立海洋條件下矩形窄縫通道內(nèi)單相流動(dòng)及傳熱理論模型。文獻(xiàn)[5]對(duì)于固定流量的矩形窄縫通道，分別求得了絕熱和加熱條件下單相層流流動(dòng)的理論解和阻力系數(shù)。

以上研究主要是實(shí)驗(yàn)研究和數(shù)值模擬，理論求解相對(duì)較少，且研究僅針對(duì)固定流量這一種邊界條件，使得研究結(jié)論局限較大。本文在已有研究的基礎(chǔ)上，基于固定流量和固定壓差兩種邊界條件，研究升潛條件下矩形窄縫通道絕熱層流流動(dòng)的解析解，為相關(guān)的實(shí)驗(yàn)分析和程序開發(fā)提供參考。

1 基本假設(shè)和方程簡(jiǎn)化

為獲得有意義的解析解，作出以下假設(shè)。

1) 流體不可壓縮

絕熱條件下流體為等溫流動(dòng)，密度不發(fā)生改變；層流流速遠(yuǎn)低于聲速，此時(shí)液體的壓縮性可完全忽略。

2) 流動(dòng)簡(jiǎn)化為二維流動(dòng)，即不考慮在寬邊方向上的變化

矩形窄縫通道及其坐標(biāo)系的設(shè)置如圖1所示。矩形窄縫通道的間隙一般不大于3 mm，而通道寬邊尺寸遠(yuǎn)大于窄邊，因而作出以上假設(shè)是合理的，并能使問題得到簡(jiǎn)化。

圖1 矩形窄縫通道示意圖Fig.1 Schematic graph for narrow rectangular gap

3) 平行流動(dòng)，無二次橫流

本文分析的對(duì)象是窄間隙通道內(nèi)的絕熱流動(dòng)，升潛條件只改變豎直方向體積力的大小，在橫向上既無體積力分量，也無流體密度梯度，因此不存在橫向流動(dòng)。

二維不可壓縮流動(dòng)的控制方程[6]為：

(1)

(2)

(3)

其中：v為流體速度，m/s；t為時(shí)間，s；p為壓力，Pa；ρ為流體密度，kg/m3；ν為運(yùn)動(dòng)黏度，L2/s；f為單位質(zhì)量流體受到的外力，m/s2。升潛條件下流體只受到豎直方向的外力，因此：

(4)

其中：g為重力加速度；a(t)為升潛加速度。

根據(jù)假設(shè)3有：

(5)

由此質(zhì)量守恒方程變?yōu)椋?/p>

(6)

而x方向(橫向)的動(dòng)量方程可簡(jiǎn)化為：

(7)

即壓力與x無關(guān)，僅與z有關(guān)。在z方向(流向)動(dòng)量方程可簡(jiǎn)化為：

(8)

下文中，以符號(hào)u代替vz以便書寫更簡(jiǎn)潔。因式(6)指出速度與z無關(guān)，可知u=u(x,t)。

2 豎直靜止條件的基準(zhǔn)解

靜止條件下的解可作為比較的基準(zhǔn)，同時(shí)也可作為瞬態(tài)求解的初始條件，因此求解是必要的。另外，靜止條件下定流量或定壓差邊界條件是不獨(dú)立的，求解一種即可。

壁面無滑移條件為：

(9)

其中，s為窄縫寬度的一半。

(10)

根據(jù)z方向動(dòng)量方程(式(8))可得到：

(11)

式(11)左邊是z的函數(shù)，右邊是x的函數(shù)，因此兩邊都只能是常數(shù)c，即：

(12)

積分之，流速為二次多項(xiàng)式：

(13)

根據(jù)平均流速的定義：

(14)

得到常數(shù)c為：

(15)

從而速度的解為：

(16)

式(16)為拋物型的速度分布。通過式(12)積分還可得出壓力：

(17)

通道的總壓降為：

(18)

其中：pi、po分別為通道進(jìn)、出口壓力，Pa；μ為動(dòng)力黏度，Pa·s；L為通道長度，m。

式(18)第1項(xiàng)為摩擦壓降，第2項(xiàng)為重力壓降。式(18)表明對(duì)于特定的通道，壓降與流量或平均流速存在唯一對(duì)應(yīng)關(guān)系。根據(jù)摩阻系數(shù)的定義：

(19)

其中：Δpf為摩擦壓降，Pa；λ為摩阻系數(shù)；De為通道水力直徑，m，其定義為：

De=4a/ξ≈4s

(20)

其中：a為通道截面積，m2；ξ為通道濕周，m。

由式(18)可得出：

(21)

(22)

根據(jù)壁面摩擦應(yīng)力也可計(jì)算摩阻系數(shù)：

(23)

3 升潛條件方程求解

和靜態(tài)條件不同，升潛條件引入了時(shí)變性的附加力。因此根據(jù)給定的邊界條件的不同，解將可能存在明顯的不同。

3.1 定流量或平均流速

在強(qiáng)迫循環(huán)條件下，流量受到泵等動(dòng)力源的驅(qū)動(dòng)，由于液體的壓縮性很小，所以通過測(cè)量段的流量或平均流速是固定的。這就是定流量或平均流速的情況。此時(shí)因流速與時(shí)間無關(guān)，控制方程變?yōu)椋?/p>

(24)

(25)

對(duì)壓力作如下變換：

(26)

則可發(fā)現(xiàn)關(guān)于流速u和變量pE的方程在形式上和靜態(tài)條件完全相同，從而可解出：

(27)

(28)

(29)

其中，a(t)=amsinωt，am和ω分別為最大升潛加速度和角頻率。

可見在固定流量條件下，升潛運(yùn)動(dòng)僅改變了通道的壓降，使其和升潛運(yùn)動(dòng)呈同周期變化。這是由于合成重力發(fā)生改變使得提升壓降發(fā)生變化的緣故。升潛運(yùn)動(dòng)不改變速度分布形狀和摩阻系數(shù)。

3.2 給定壓差

對(duì)一些由海水冷卻的開式回路，或測(cè)量段入口有一理想的穩(wěn)壓器穩(wěn)定壓力、出口直接和大氣空間相連，均可看作等壓差邊界。因升潛運(yùn)動(dòng)使得重力壓降隨時(shí)間作周期性改變，而通道壓降保持不變，因此流速必然是瞬態(tài)變化，是與時(shí)間有關(guān)的變量。

此時(shí)軸向動(dòng)量方程轉(zhuǎn)化為：

(30)

由于方程和定解條件均是線性的，因此若u1和u2分別滿足下述方程，那么它們的和必然滿足式(30)[7]：

(31)

(32)

對(duì)于式(31)，形式上和豎直靜止條件下的方程完全相同，因此其定解為：

(33)

可將式(33)作為初始條件。

對(duì)于式(32)，可采用分離變量法，令u2=Υ(f(x)eiωt)(其中，Υ表示取復(fù)數(shù)的實(shí)部，f(x)為空間坐標(biāo)的函數(shù))，將其代入式(32)可得：

(34)

其中，f″為f(x)的二階導(dǎo)數(shù)。

式(34)是一個(gè)二階非齊次線性常微分方程，它的解是特解加上齊次方程的通解構(gòu)成。該方程的特解為：

(35)

根據(jù)常微分方程理論，齊次方程的通解[7]為：

(36)

其中，k1、k2分別為待定系數(shù)。

根據(jù)無滑移邊界條件可解出：

(37)

故式(30)的復(fù)數(shù)解為：

(38)

利用公式：

sinh(a+ib)=sinha·cosb+isinb·cosha

(39)

cosh(a+ib)=cosha·cosb+isinb·sinha

(40)

可得到流速為：

(41)

其中：

(42)

(43)

再利用初始條件得到：

(44)

最終得到速度為：

(45)

可以驗(yàn)證，它確實(shí)滿足邊界條件和初始條件。根據(jù)解的唯一性，證實(shí)它就是方程的解。式(45)第1項(xiàng)是重力作用下的泊肅葉流動(dòng)，它只能提供等壓降。第2項(xiàng)是附加力引起的波動(dòng)速度，產(chǎn)生波動(dòng)性的壓降，且波動(dòng)幅度和橫向坐標(biāo)x有關(guān)。

在壁面上(x=s)對(duì)上式求導(dǎo)數(shù)可得到剪切應(yīng)力，進(jìn)而求得摩阻系數(shù)為：

(46)

式(46)中，雷諾數(shù)是按照時(shí)間平均的流速定義的。定義升潛加速度數(shù)Nhea和無量綱窄縫寬度數(shù)Ngeo如下：

(47)

(48)

它們分別表征升潛運(yùn)動(dòng)附加力和慣性力的相對(duì)大小以及黏性作用的橫向衰減效應(yīng)。則升潛條件下摩阻系數(shù)可表示為：

(49)

由式(49)可見摩阻系數(shù)也是波動(dòng)的，它的波動(dòng)中心就是靜態(tài)條件下的摩阻系數(shù)，而波動(dòng)幅度與升潛加速度數(shù)及通道間隙有關(guān)。

綜上，在固定通道壓降的情況下，速度分布和摩阻系數(shù)均發(fā)生改變，從而摩擦壓降和重力壓降均波動(dòng)變化，但總壓降保持不變。

4 結(jié)論

本文對(duì)升潛條件下矩形窄縫通道內(nèi)絕熱層流流動(dòng)進(jìn)行了理論研究，主要結(jié)論如下。

1) 根據(jù)矩形窄縫通道和絕熱流動(dòng)的特征，可將流動(dòng)過程簡(jiǎn)化為二維不可壓縮平行流動(dòng)。

2) 求得了靜態(tài)條件下的理論解，速度分布是拋物型分布曲線，結(jié)果和已有研究相符。

3) 求得了升潛條件下兩種不同邊界條件的理論解。當(dāng)給定通道平均流速時(shí)，升潛條件不改變速度分布形狀和摩阻系數(shù)，只引起通道內(nèi)重力壓降和總壓降的周期性變化；當(dāng)固定通道的壓差時(shí)，周期性變化的運(yùn)動(dòng)附加力將引起流量的波動(dòng)，從而使得摩阻系數(shù)也發(fā)生周期性的變化，這一點(diǎn)在工程應(yīng)用中尤其應(yīng)引起注意。

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Analytical Solution of Adiabatic Laminar Flow in Narrow Rectangular Gap under Heaving Condition

ZHOU Lei1, GE Chao2, ZAN Yuan-feng1, YAN Xiao1, CHEN Bing-de1

(1.CNNCKeyLaboratoryonNuclearReactorThermal-hydraulicsTechnology,NuclearPowerInstituteofChina,Chengdu610041,China;2.NuclearPowerOperationandManagementCo.,Ltd.,Jiaxing314300,China)

Adiabatic laminar flow in narrow rectangular gap under heaving condition was analytically studied in this paper. First of all, reasonable assumptions were made and the governing equations of flow were hence simplified. Then analytical solutions were derived based on fixed inlet flow rate and fixed pressure drop boundary conditions. Thus the influences of heaving condition on velocity profile, pressure drop and frictional coefficient can be studied quantitatively.

heaving condition; narrow rectangular gap; adiabatic laminar flow; analytical solution

2014-03-21;

2014-11-11

周 磊(1984—)，男，四川南充人，副研究員，博士，核能科學(xué)與工程專業(yè)

TL333

A

1000-6931(2015)07-1215-05

10.7538/yzk.2015.49.07.1215