立足基礎(chǔ)知識(shí)，重視“通性通法”

陳謹(jǐn)師

2014年高考是重慶市2010年高中新課改后的第二次高考，試題遵循《考試說(shuō)明》中“發(fā)揮數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用，既重視考查中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，又注意考查進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能”要求，兼顧數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、方法、思維、應(yīng)用和潛能等方面的考查。試題總體上體現(xiàn)了“穩(wěn)定和創(chuàng)新”，與2013年試題持平。試卷延續(xù)了近幾年高考數(shù)學(xué)命題的風(fēng)格，內(nèi)容豐富，與教材聯(lián)系緊密，難易梯度明顯，試卷整體難度適中；試題無(wú)偏題怪題，主干知識(shí)覆蓋面較廣。試題在題型設(shè)置、試卷結(jié)構(gòu)、難度控制等方面都保持了穩(wěn)定，形成平穩(wěn)發(fā)展的穩(wěn)定格局。總的來(lái)講，今年試題平穩(wěn)中有創(chuàng)新，科學(xué)中有美感，理論性中有應(yīng)用，既有利于高等學(xué)校選拔，又有利于中學(xué)素質(zhì)教育的實(shí)施，促進(jìn)了數(shù)學(xué)教育改革的發(fā)展。

一、特色解讀

（一）考點(diǎn)覆蓋面廣，注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的考查

選擇題從第1題至第10題，考點(diǎn)依次為復(fù)數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計(jì)、函數(shù)、算法框圖、簡(jiǎn)易邏輯、簡(jiǎn)單幾何體、雙曲線、不等式、函數(shù)與方程；填空題從第11題至第16題，考點(diǎn)依次為集合、初等函數(shù)、三角函數(shù)、直線與圓、概率；解答題從第16題至第21題，考點(diǎn)依次為數(shù)列、概率、三角、導(dǎo)數(shù)、立體幾何、解析幾何。試卷所考查的知識(shí)點(diǎn)覆蓋面廣，內(nèi)容豐富，注重了數(shù)學(xué)本質(zhì)及數(shù)學(xué)核心概念，數(shù)學(xué)通性通法及知識(shí)形成過(guò)程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的考查，例如：第7題、第20題考查了空間想象能力和觀察分析問(wèn)題的能力；第15題體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的思想；第3題、第17題考查了數(shù)據(jù)處理能力；第17題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具性和應(yīng)用性。

（二）試題難易適中，兼顧能力立意

試題總體上由易到難，結(jié)構(gòu)合理，層次分明，有利于穩(wěn)定學(xué)生考試情緒、正常發(fā)揮水平。選擇題第1題至第7題，填空題第11題和第12題，難度都很低，隨后的題目難度逐步加大，比如選擇題最后兩題和解答題的最后兩題，區(qū)分度就加大了，對(duì)學(xué)生綜合應(yīng)用能力的要求較高，充分體現(xiàn)考試不是簡(jiǎn)單計(jì)算，而是需要考生運(yùn)用構(gòu)建、聯(lián)想、推理等進(jìn)行答題。

（三）注重知識(shí)與方法的交匯

今年試題仍然以構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的主干知識(shí)為主體，為了對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查達(dá)到“既全面又突出重點(diǎn)”的考試要求，在強(qiáng)化了對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)考查的同時(shí)，也注重了知識(shí)與方法的交匯，加強(qiáng)了知識(shí)之間的交叉、滲透和組合，體現(xiàn)了知識(shí)的綜合性。例如：第9題對(duì)數(shù)運(yùn)算結(jié)合均值不等式，第15題幾何概型結(jié)合線性規(guī)劃，第12題對(duì)數(shù)結(jié)合二次函數(shù)，第17題統(tǒng)計(jì)結(jié)合概率，第18題解三角形結(jié)合三角運(yùn)算，第19題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，第21題圓與橢圓。

（四）試題“生活化”

數(shù)學(xué)源于生活，又貼近、服務(wù)于生活。今年的數(shù)學(xué)試題非常“生活化”，需要考生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的各種問(wèn)題。比如：第3題對(duì)初、高中學(xué)生進(jìn)行分層抽樣，第7題的幾何體也是考生平時(shí)常見(jiàn)的，第15題的背景是每位考生平時(shí)最為熟悉的，第17題是關(guān)于20位學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的統(tǒng)計(jì)分析問(wèn)題。新《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“教學(xué)應(yīng)該充分利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生把已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中去，以體會(huì)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值。”試題的“生活化”是大勢(shì)所趨，體現(xiàn)了課改精神。

二、亮點(diǎn)掃描

題一：（文7）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）

A.54 B.60 C.66 D.72

【命題立意】本題主要考查三視圖，幾何體的性質(zhì)特征及其表面積的計(jì)算，考查考生的空間想象能力和計(jì)算能力，難度中等。

【解題思路】結(jié)合正視圖、側(cè)視圖、俯視圖以及常見(jiàn)幾何體三視圖的特征，可以想象出該改幾何體是由一個(gè)三棱柱沿其上底面的一條棱切去一個(gè)三棱錐而得到，亦可看成一個(gè)三棱柱和三棱錐疊在一起的組合體。

【亮點(diǎn)評(píng)議】本題雖然是一道選擇題，卻考察了《簡(jiǎn)單幾何體》這一章節(jié)的大部分知識(shí)點(diǎn)，是《簡(jiǎn)單幾何體》這章的濃縮。“以點(diǎn)蓋面”是本題最大的亮點(diǎn)。

【變式訓(xùn)練】

變式一：某幾何體的三視圖如圖一所示，則該幾何體的表面積為 .

圖一 圖二

變式二：某幾何體的三視圖如圖二所示，則該幾何體的體積為_(kāi)________.

題二：（文9）若 則的最小值是（ ）

A. B. C. D.

【命題立意】本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算、基本不等式的性質(zhì)、最值求法，考查考生分析問(wèn)題及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，考查化歸轉(zhuǎn)化等思想。本題難度中等偏上。

【亮點(diǎn)評(píng)議】本題將對(duì)數(shù)運(yùn)算和不等式進(jìn)行有效結(jié)合，通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算最終轉(zhuǎn)化為學(xué)生較為熟悉的利用均值不等式求代數(shù)式最值的題型，創(chuàng)意不錯(cuò)。

【變式訓(xùn)練】

變式一：已知點(diǎn)P（a，b），（a>0，b>0）和直線l：x+2y=1上的

一點(diǎn)Q之間的最短距離為，則+的最小值是_______.

變式二：已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足21g（-2）=1g（2+3），則ab的最大值是______.

題三：（文10）已知函數(shù)，且

在（-1，1]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

【命題立意】本題主要考查分段函數(shù)的概念、函數(shù)圖象、函數(shù)的零點(diǎn)，考查考生分析問(wèn)題及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、方程等思想。本題難度中等偏上。

【亮點(diǎn)評(píng)議】本題題型并不新穎，所涉及的函數(shù)都是最常見(jiàn)的，最簡(jiǎn)單的，卻成為選擇題壓軸題，可見(jiàn)命題者用心良苦，用平凡造就出不平凡。

【變式訓(xùn)練】

變式一：已知函數(shù)的圖象與直線y=mx+m有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.

變式二：已知函數(shù)在（0，1）上有極大值點(diǎn)，在（1，2）有極小值點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）endprint

A. B. C. D.

題四：（文15） 某校早上8：00上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30—7：50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)間到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為_(kāi)______ （用數(shù)字作答）。

【命題立意】本題主要考查幾何概型的概率求法、二元一次不等式組所表示的區(qū)域等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生對(duì)幾何概型的理解應(yīng)用，同時(shí)也體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)變化的思想。

【解題思路】本題易判斷是幾何概型，涉及小張和小王的到校時(shí)間，易想到用雙變量x，y，從而根據(jù)題意得到x，y的約束條件，從而找到可行域，計(jì)算出概率。

【亮點(diǎn)評(píng)議】本題背景為考生所熟悉，對(duì)每位考生都很公平，且與課本例題聯(lián)系緊密。可見(jiàn)在高三復(fù)習(xí)中，“回歸課本”是多么的重要。

【變式訓(xùn)練】

變式一：在長(zhǎng)度為10的線段上任取2點(diǎn)，將線段分成三段，則這三段可以構(gòu)成三角形的概率是_______。

變式二：利用計(jì)算機(jī)在（0，1）內(nèi)產(chǎn)生兩個(gè)隨機(jī)數(shù)a和b，則函數(shù)f（x）=x2+ax+b有零點(diǎn)的概率是_______。

變式三：甲、乙兩艘輪船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘輪船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)任何時(shí)刻到達(dá)是等可能的.

（1）如果甲船和乙船的停泊的時(shí)間都是4小時(shí) ，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率；

（2）如果甲船的停泊時(shí)間為4小時(shí)，乙船的停泊時(shí)間為2小時(shí)，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率.

題五：（文21）如題（21）圖，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，，，的面積為.

求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

是否存在圓心在y軸上的圓，使圓在x軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過(guò)不同的焦點(diǎn)，如果有，求圓的半徑。

【命題立意】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線與直線、直線與橢圓、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、探索求解能力；考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想.

【亮點(diǎn)評(píng)議】本題亮點(diǎn)在于利用對(duì)稱(chēng)性能很好地解決第二小題，打破了以往解決圓錐曲線題的固定模式，起到去模式化作用。

【變式訓(xùn)練】如圖，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)D在橢圓上，DF1⊥DF2，=.

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在開(kāi)口向上且以軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線，使拋物線在x軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且拋物線在這兩個(gè)交點(diǎn)處的切線相互垂直并分別過(guò)F1，F(xiàn)2. 若存在，求直線y=x被該拋物線截得的弦長(zhǎng)； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

復(fù)習(xí)啟示

通過(guò)對(duì)2014年重慶市的高考數(shù)學(xué)（文）試題的分析，我認(rèn)為在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)和復(fù)習(xí)中應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：

（一）突出主干知識(shí)結(jié)構(gòu)，扎實(shí)打好知識(shí)基礎(chǔ)，回歸教材

常規(guī)題型依然是高考試卷的主流，主干知識(shí)支撐了整個(gè)試卷，考查的幾乎都是現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中最基本、最重要的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法。高三復(fù)習(xí)應(yīng)改變以往片面追求“新、奇、怪”的極端做法，回歸教材，狠抓基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用知識(shí)處理分析問(wèn)題。研究高考試題，以高考試題為范例展開(kāi)發(fā)散思維，變式演練，以主干知識(shí)復(fù)習(xí)為核心，突出重點(diǎn)，目標(biāo)明確，通法通解，狠抓實(shí)練。數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成和發(fā)展，是一個(gè)知識(shí)積累、梳理的過(guò)程。在教學(xué)和復(fù)習(xí)中，應(yīng)注意各部分知識(shí)在各自發(fā)展過(guò)程中的縱向聯(lián)系，以及各部分知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，理清脈絡(luò)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，充分重視主干知識(shí)的支撐作用。

（二）重視知識(shí)的形成，深化和提高數(shù)學(xué)理性思維能力

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)要充分重視知識(shí)的形成過(guò)程，解數(shù)學(xué)題要著重研究解題的思維過(guò)程，弄清基本數(shù)學(xué)方法和基本數(shù)學(xué)思想在解題中的意義和作用，研究運(yùn)用不同的思維方法解決同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的多條途徑，注意猜想，歸納抽象，邏輯推理，演繹證明，運(yùn)算求解等理性思維能力。

（三）規(guī)范解答

能否考高分，規(guī)范解答至關(guān)重要。在平時(shí)復(fù)習(xí)中，建議做好以下幾點(diǎn)：保持良好的答題心態(tài)；用好考前5分鐘；合理分配答題時(shí)間；做題順序先易后難；會(huì)做的題目要集中精力解答，語(yǔ)言表述要規(guī)范，避免無(wú)謂失分；碰到拿不準(zhǔn)的題要把會(huì)做的寫(xiě)出來(lái)，不要留尾巴；碰到難題既不能輕易放棄，也不要抓住不放；草稿紙的使用要得當(dāng)；注意填涂答題卡。

（四）調(diào)整心態(tài)，增強(qiáng)應(yīng)變

適當(dāng)?shù)刈⒅貙W(xué)生的心理素質(zhì)的培養(yǎng)，使他們經(jīng)受挫折和失敗的考驗(yàn)，增強(qiáng)抵抗壓力的能力，增強(qiáng)適應(yīng)各種題型的應(yīng)變能力。endprint