始于“數”“形”并舉探究解題方法

☉江蘇省石莊高級中學 祝林娟

始于“數”“形”并舉探究解題方法

☉江蘇省石莊高級中學 祝林娟

數學學習進入到高中階段之后，對于學生的要求發生了質的改變.在以往的學習過程當中，學生的學習重心都放在對于具體數學知識點的關注與把握之上，而在高中數學學習當中，則要求學生在熟練掌握知識內容的同時，從中提煉出解決相應問題的思想方法，并將其應用于整個類型的問題探究當中.在眾多數學思想方法中，數形結合可謂是適用最為廣泛與靈活的.它主要是通過打通數字與圖形之間的聯系，使二者相互輔助、彼此依托，有效降低解題難度.本文將通過對高考試題的分析來闡述數形結合的應用.

一、數形結合在直線與圓中的運用

解析幾何中，由于坐標系的建立，使“形”和“數”互相聯系，互相轉化，在已知公共點的個數求未知數的取值范圍時，則往往將曲線化為熟悉的形式，然后利用數形結合的思想進行求解.

例1（2014年全國卷Ⅱ理科第16題）（1）設點M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是_________.

（2）若過點A（4，0）的直線l與曲線（x-2）2+y2=1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是_________.

分析：（1）本題是與三角函數相結合的題型，同時再結合圖像分析解決.

（2）可結合圖像分析要求直線l的斜率，則臨界值是直線l和圓相切的位置.

解：（1）建立三角不等式，利用兩點間的距離公式找到x0的取值范圍.如圖1，過點M作圓O的切線，切點為N，連接ON，M點的縱坐標為1，MN與圓O相切于點N.設∠OMN=θ，則θ≥

圖1

又M（x0，1），則x0≤1，即x0的取值范圍是［-1，1］.

（2）由圖2可以看出，（x-2）2+y2= 1所表示的是一個圓，且該圓的圓心為B（2，0），半徑為1.想要讓直線l符合題目中的要求，可先將直線l的斜率的取值范圍設為［k1，k2］，將之表示為y=k（x-4）.又因d=r，則，故所求斜率的取值范圍應該為

圖2

點評：解決上述問題都是結合圖像進行分析的，能夠將圓的位置關系清晰地反映出來.

例2（2014年江西卷理科第9題）在平面直角坐標系中，A、B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切，則圓C面積的最小值為（）.

分析：涉及直線與圓的位置關系時，應多考慮圓的性質，利用平面幾何知識直觀求解.

解：如圖3，以線段AB為直徑的圓C過原點O，要使圓C的面積最小，只需圓C的半徑或直徑最小，又圓C與直線2x+y-4=0相切，所以由平面幾何知識知圓C的直徑的最小值為點O到直線2x+y-4=0的距離，此時因此，圓C面積的最小值為

圖3

點評：本題考查考生靈活運用所學知識分析問題、解決問題的能力；仔細琢磨、分析，動圓C的圓心的軌跡是一條拋物線，其中O為頂點，直線2x+y-4=0為準線；此時也就不難理解為什么原點O到直線2x+y-4=0的距離為直徑的最小值，設計獨特，用心良苦，試題具有很高的