應(yīng)用極端原理解決與圓有關(guān)的中考最值問題

☉浙江省寧波市鄞州實驗中學(xué)　蔡衛(wèi)兵

應(yīng)用極端原理解決與圓有關(guān)的中考最值問題

☉浙江省寧波市鄞州實驗中學(xué)蔡衛(wèi)兵

中考壓軸題中頻繁出現(xiàn)有關(guān)最值問題，常讓很多同學(xué)束手無策，望而生畏.其實與圓有關(guān)的中考最值問題大多由動點而產(chǎn)生，找出動點（相應(yīng)動線）的極端位置，常常能確定最值.因為許多事物的性質(zhì)和矛盾，最容易在其臨界情況和極端狀態(tài)下體現(xiàn)和暴露出來，所以在解決數(shù)學(xué)問題時，常常利用極端、臨界的元素為“突破口”，進行探索、推理論證，使“變動”轉(zhuǎn)化為“確定”，從而分散問題的難點使問題得到解決.2014年各地的中考試題有許多圓的知識與最值問題綜合起來考查，我們可以采取“謀定而后動”的策略，先將問題引向極端，考查“特殊位置”、“特殊圖形”，進而簡化解題，提高解題速度.本文試圖通過幾道中考壓軸題介紹極端性原理在解與圓有關(guān)的中考最值問題中的具體運用，供參考.

一、“連心線與圓的交點”為“到圓上動點距離之最值”的極端位置

例1如圖1，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是________.

圖1

圖2

解析：因為M是AD邊的中點，A′M=AM=1，所以點A′在以M為圓心，1為半徑的圓上，因此連接CM，當(dāng)點A′落在CM上時A′C的長度最小.如圖2，過M點作MH⊥CD交CD的延長線于點H，則由已知可得，在Rt△DHM中，DM= 1，∠HDM=60°，所以HD=

例2如圖3，在正方形ABCD中，動點E、F分別從D、C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在邊DC、CB上移動.連接AE和DF交于點P，由于點E、F的移動，使得點P也隨之運動，若AD=2，試求出線段CP的最小值.

解析：由于點E、F的移動速度相同，可得△EAD≌△FDC，所以∠EAD=∠FDC；因為∠FDC+∠FDA= 90°，所以∠EAD+∠PDA=90°，因此點P在運動中保持∠APD=90°，所以點P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設(shè)AD的中點為O，連接OC交弧于點P，如圖4，此時CP的長度最小，再由勾股定理可得OC=

圖3

圖4

例3如圖5，∠BAC=60°，半徑為1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動點，以P為圓心，PA長為半徑的⊙P交射線AB、AC于D、E兩點，連接DE，則線段DE長度的最大值為__________.

圖5

圖6

二、“弧的中點”為“圓上動點到定線距離之最值”的極端位置

例4如圖7，⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交于A、B兩點，M、N是⊙O上的兩個動點，且在直線l的異側(cè)，若∠AMB=45°，則四邊形MANB面積的最大值是_________.

圖7

圖8

解析：過點O作OC⊥AB于點C，交⊙O于D、E兩點，連接OA、OB、DA、DB、EA、EB，如圖8，因為∠AMB=45°，所以∠AOB=2∠AMB=90°，所以△OAB為等腰直角三角形，所以AB=

因為S四邊形MANB=S△MAB+S△NAB，所以當(dāng)M點到AB的距離最大時，△MAB的面積最大；當(dāng)N點到AB的距離最大時，△NAB的面積最大，即M點運動到D點，N點運動到E點，此時四邊形MANB面積的最大值=S四邊形DAEB=S△DAB+S△EAB=

例5如圖9，已知在邊長為8的正方形ABCD中，E是BC邊的中點，P在過A、E、D三點的圓上，則△APE面積的最大值是_________.

圖9

圖10

解析：設(shè)圓心為O，由垂徑定理得，點P在AE的垂直平分線上時，點P到AE的距離最大，△APE面積的最大，過點E作EF⊥AD于點F，連接AO，如圖10，設(shè)圓的半徑為r.因為點E是BC的中點，所以BE=4.在Rt△AOF中，AO2= AF2+OF2，即r2=42+（8-r）2，解得r=5.在Rt△ABE中，AE=，設(shè)PO與AE的交點為G，則.在Rt△AOG中，OG=，所以PG=5+.所以△APE的最大面積

三、“切線切點”為“有關(guān)角度之最值”的極端位置

例6在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2，0），以A為圓心，1為半徑作⊙A，若P（x，y）是⊙A上任意一點，則的最大值為_________.

圖11

例7我們規(guī)定：線段外一點和這條線段兩個端點連線所構(gòu)成的角叫做這個點對這條線段的視角.如圖12，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點D（0，4），E（0，1）.點G為x軸正半軸上的一個動點，當(dāng)點G對線段DE的視角∠DGE最大時，求點G的坐標(biāo).

解析：經(jīng)過點D、E的⊙P，根據(jù)圓內(nèi)角、圓周角、圓外角三者的關(guān)系，當(dāng)⊙P與x軸相切于點G時，視角∠DGE最大.由垂徑定理得，點P在DE的垂直平分線上；由切線性質(zhì)得，點P在過點G且與x軸垂直的直線上，所以PE=PG=

圖12