均布扭矩作用下工字鋼梁的應力計算

張鷺超

(現代建筑設計集團-上海建筑設計院研究院有限公司 福建廈門 361009)

均布扭矩作用下工字鋼梁的應力計算

張鷺超

(現代建筑設計集團-上海建筑設計院研究院有限公司 福建廈門 361009)

論述工字鋼梁扭轉計算參數的基本原理，并給出了幾何參數的計算方法，作為對即將出版的《鋼結構設計規范》GB 50017—201X的一種補充，以便工程設計人員進行計算。特別指出：絕大多數工程設計人員在計算開口截面扭轉時，均按自由扭轉計算，然而即便在允許自由翹曲的支座條件下，工字梁的扭轉應力也是屬于約束扭轉計算的一種。

扇性面積；雙力矩；翹曲；自由扭轉；約束扭轉；應力計算

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1 概要

在即將出版的《鋼結構設計規范》GB 50017—201X中即文獻[1]，提出了受扭構件的強度計算公式：

1.1 受純扭的實腹構件，其抗彎強度可按下式計算：

(1)

式中B——構件截面的雙力矩； ωn——為主扇性坐標； Iω——扇性慣性矩。

1.2 受純扭的實腹構件，其抗剪強度可按下式計算：

(2)

式中Tω——構件截面的約束扭轉力矩； Tst——構件截面的自由扭轉力矩；開口薄壁截面，不考慮這一項；

Sω——扇性靜矩；

t——腹板厚度；

A0——閉口截面中線所圍的面積。

然而在傳統的鋼結構及力學相關課程中并沒有詳盡的介紹桿件在扭轉下的應力計算。許多工程設計人員只懂得文獻[3]中關于自由扭轉時桿件的應力計算方法。再加上文獻[2]、文獻[3]對開口截面均提及自由扭轉的計算方法，導致大部分工程技術人員認為開口截面桿件可以按自由扭轉計算應力。這是不正確的。開口截面的自由扭轉只是其扭轉計算的一部分而已，只是一種理論計算，實際上開口截面的自由扭矩并不等于截面的總扭矩。

因此可以認為實際上絕大多數桿件為約束扭轉(首先不是閉合的等直徑圓桿)。因此出現了以自由扭轉下的桿件應力計算代替約束扭轉下的桿件應力計算，而自由扭轉只能用于圓形截面的等直徑桿件計算，所以這是不正確的。

文獻[2]詳細的介紹了桿件在各種條件下的扭轉計算，但沒有給出用于工程實踐可用的計算公式，本文從強度計算的角度，提出均布扭矩下工字鋼梁的扭轉應力具體計算公式?？勺鳛閷π乱幏兜囊环N補充。

2 約束扭轉計算變量的計算

與自由扭轉顯著不同的是，約束扭轉應力計算出現了雙力矩B、主扇性坐標ωn、扇性慣性矩Iω等變量。以下將簡單介紹上述各個變量的幾何意義和計算方法。

扇性坐標，又稱之為扇性面積，之所以稱之為坐標是因為它的值與扇性極點和扇性零點的選取有關，選擇不同的扇性極點和扇性零點將得到不同的值，故稱之為坐標。又之所以稱之為面積是因為它的量綱為長度的二次方，與面積是一致的。選擇適當的扇性極點和扇性零點可以獲得主扇性面積即主扇性坐標。

圖1 扇性面積計算微元圖

則曲線上任意一點N處的扇性面積為：

(2-1)

圖2 扇性面積計算幾何圖

根據式(2-1)可以得出：

(2-2)

一般情況下，在選定扇性極點、扇性零點的情況下，對截面簡單的桿件，往往以式(2-2)計算某點的扇性面積，因為可以避免積分。

對于任意選定的扇性極點和扇性零點，文獻[2]稱之為輔助扇性極點和輔助扇性零點。對于約束扭轉計算，只有將扇性極點和扇性零點選擇在特殊的點上才能正確計算扭轉荷載下的截面軸力，及繞截面兩個正交坐標下的彎矩。這里為簡單起見，不介紹符拉索夫理論，直接給出結論：工字梁主極點為截面的剪切中心，主零點為對稱軸與外輪廓線的交點。主極點和主零點下的扇性面積稱之為主扇性面積則計算公式如下：

圖3 單軸對稱工字鋼梁截面幾何參數

剪切中心O距離B點(主扇零點)公式為：

(2-3)

截面的主扇慣性矩：

(2-4)

(2-4)量綱為長度的6次方。δ為桿件壁厚。注意積分的區域為全截面。

上述公式可在文獻[2]中查到，不過文獻[2]中(d2-αx)2為(d2-αx)，文獻中此處應為作者筆誤。

與自由扭轉不同的是，約束扭轉將沿桿件長度方向引起正應變，即約束翹曲，自由扭轉為自由翹曲。約束翹曲將引起截面正應力：

(2-5)

圖4 單軸對稱工字梁ω(s)分布圖

截面的主扇靜面積矩：

(2-6)

量綱為長度的五次方，其分布圖為(圖5).

圖5 單軸對稱工字梁S(s)分布圖

3 桿件約束扭轉的微分方程及其解

根據文獻[2]約束扭轉桿件微分方程為：

E1Jωθ?′(z)-GJdθ′(z)=m(z)

(3-1)

方程(3-1)的解為

(3-2)

C1、C2、C3、C4為一組常數，根據邊界條件確定。

約束扭轉的邊界條件分為應力邊界條件和位移邊界條件，其方程為：

桿端扭轉角為(3-2)

(3-3)

截面雙力矩為：

(3-4)

截面扭矩為：

(3-5)

將(3-1)、(3-2)、(3-3)、(3-4)聯立為矩陣：

(3-6)

設均布扭矩為均布荷載q在偏離距e下引起：m(z)=qe。則非齊次方程的特解為

(3-7)

4 滿足邊界條件的系數及截面應力求解

Z=0端固定，Z=L端鉸接：

θ(0)=0、θ(l)=0

θ′(0)=0、B(l)=0

對于給定邊界條件的工字梁在均布扭矩作用下的計算過程如下：

由邊界條件根據本節邊界條件計算C1、C2、C3、C4。系數求解可以采用矩陣計算法，也可以自行推導出關于C1、C2、C3、C4的顯式解。

均布扭矩作用下，截面的雙力矩分布函數為

(4-1)

則截面的扭矩分布函數為

L(z)=GJd[C2+2z1z]

(4-2)

截面扭轉角分布函數為

(4-3)

截面的正應力按下式求解：

(4-4)

σM(z,s)為彎曲正應力，可根據文獻[3]求解。

開口截面的薄壁桿件約束扭轉截面上的剪應力由兩部分組成。一部分是自由扭轉剪應力τs；一部分是約束扭轉剪應力τω。計算時首先將截面總扭矩分解為兩部分彎扭力矩Mω和自由扭轉扭矩H。量綱均為Nm。

L(z)=Mω(z)+H(z)

(4-5)

自由扭轉扭矩H又稱之為圣維南扭矩,其計算公式為：

H(z)=GJdθ′(z)

(4-6)

自由扭轉扭矩H引起的截面剪應力可按文獻[3]中自由扭轉剪應力計算：

(4-7)

δ為壁厚。

彎扭力矩Mω引起的截面剪應力按下式計算：

(4-8)

5 自由扭轉與約束扭轉計算對比

在兩端簡支下(扭矩按兩端受扭固定)：如果完全按自由扭轉計算僅能得到截面的自由剪應力，直接按(4-7)：

而豎向荷載引起的腹板中間的剪應力僅為(按兩端簡支計算)

因此位于桿件支座處，截面腹板中間的最大總剪力為

τ1+τ2=112.9MPa

采用Q235鋼材即可滿足設計要求。

如同第一節所述，開口工字鋼的扭轉為約束扭轉，首先按按兩端翹曲約束為固定的支座計算扭轉應力：

以本節條件計算：

Jω=5.655×1011mm6

圖6 兩端固定桿件，雙力矩B(z)

其中B(0)=B(4m)=2.484kNm2B(2m)=-1.1755kNm2

圖7 兩端固定桿件，沿桿長方向扭轉正應力分布

其中σω(0m)=σω(4m)=82.6MPa

σω(2m)=-39.0MPa

圖8 兩端固定桿件，沿桿長方向截面總扭矩分布

其中L(0m)=-L(4m)=4kNm

圖9 兩端固定桿件，沿桿長方向截面自由扭矩分布

其中H(0m)=H(4m)=0kNm

H(1m)=0.254kNm

圣維南扭矩為零，即第一節的Tst——構件截面的自由扭轉力矩；開口薄壁截面，不考慮這一項。規范的本意應該是兩端固定梁支座處，從圖9可以看出 僅在支座處為零，規范未詳細注明，有些不妥。

因此支座：Mω(0m)=L(0m)=4kNm

截面B處剪應力為

Sω(B點)=1.127×107mm4

τω(0m,B點)=6.6MPa

接下來將支座條件設為兩端允許自由翹曲的鉸接支座，其他條件仍按本節，則:

圖10 兩端鉸接桿件，雙力矩B(z)

其中B(0)=B(4m)=0kNm2

B(2m)=-2.705kNm2

圖11 兩端鉸接桿件，沿桿長方向扭轉正應力分布

其中σω(0m)=σω(4m)=0MPa

σω(2m)=-89.9253MPa

圖12 兩端簡支桿件，沿桿長方向截面總扭矩分布

其中L(0m)=-L(4m)=4kNm

圖13 兩端鉸接桿件，沿桿長方向截面自由扭矩分布

其中H(0m)=-H(4m)=1.0435kNm

Sω(B點)=1.127×107mm4

τω(0m,B點)=4.9MPa

6 結論

通過這三個算例比較分析，可以得出以下結論：

(1)按約束扭轉計算的結果與自由扭轉計算結果截然相反，前者桿件將出現較大的正應力，較小的剪應力。而自由扭轉計算僅出現較大的剪應力。

(2)即便按支座允許自由翹曲的鉸接計算，結果也是同1。

(3)開口截面在實踐中不存在完全的自由扭轉扭矩。自由扭轉扭矩只是一小部分。

(4)在工程實踐中，如不按約束扭轉計算，桿件將可能因正應力強度不足而引起破壞。

(5)規范忽略開口截面的自由扭矩是因為其數值較小，而不是為零。

[1]GB 50017—201X,鋼結構設計規范征求意見稿[S].

[2]包世華,周堅. 薄壁桿件結構力學[M].北京：中國建筑工業出版社. 2006.

[3]孫訓方,方孝淑,關來泰. 材料力學[M].北京：高等教育出版社. 1994.

Calculation of Steel I-beam Stress under the Action of Uniform Torque

ZHANGLuchao

(SHANGHAI INSTITUTE OF ARCHITECTURAL DESIGN&RESEARCH.XIAMEN BRANCH,Xiamen 361009)

By giving the calculation principle of calculation parameters on torsion steel I-beam and the calculation method of geometric parameters, this thesis can be a supplement to the forthcoming design code about Steel Structure design Code(GB50017-201X) for helping the designer work. It emphasizes that most engineers doing the calculation of the open section torsion according to free torsion calculation. However, even under the permission of free warping support condition, calculating-I-beam torsion stress is also a kind of restrained torsion calculation.

Sartorial area; Biomet; warpage; free torsion; restrained torsion; stress calculation

張鷺超(1978.2- )，男，國家一級注冊結構工程師。

2015-05-26

TU391

A

1004-6135(2015)09-0101-05