巧解滑輪組提升重物的機械效率問題

張忠飛

通常情況下，提升重物問題主要是關于用滑輪組提升重物的問題，而機械效率η=[W有W總]×100%，其中W有=G·h，W總=F·S，因F、S的大小需根據動滑輪上繞繩數確定，且不易直觀理解（如人提重物上樓問題），計算會略顯復雜。當涉及滑輪組改裝或G物改變引起的機械效率變化等動態問題時，此公式計算的繁雜更為突顯。本文通過分析滑輪組產生機械效率的原因，用兩個比例關系確定滑輪組的機械效率，且將之普適化至滑輪組提升重物的靜態與動態兩類機械效率問題，計算起來較為簡易，希望能對同學們有所幫助。

一、機械效率的產生

滑輪組機械效率η=[W有W總]×100%=[W總-W額W總]×100%=（[W總W總]-[W額W總]）×100%=（1-[W額W總]）×100%，很明顯，若W額=0，即不計滑輪重量及一切摩擦，則機械效率η=1。因而，在滑輪組提升重物的過程中，滑輪的自重及與繩子的摩擦是產生額外功W額的原因，亦即機械效率小于100%的原因。

在解題時，與繩子的摩擦通常忽略不計，故我們可以得到W有=G物·h，W額=G額·h，由η=[W有W總]×100%=[G物·hG物·h+G額·h]×100%，消除h得比例關系“η=[G物G物+G額]×100%”，將此式再稍作變形，可得“η=[11+G額G物]×100%”。從以上兩個式子中可以看出，無需考慮重物通過的距離，即可求得機械效率。

普適化比例關系1：η=[G物G物+G額]×100%，G額指除重物以外的一切被提升物的重量。

普適化比例關系2：η=[11+G額G物]×100%，G額指除重物以外的一切被提升物的重量。

動態變化分析：設k=1+[G額G物]，當k增大時，η減小；當k減小時，η增大。

故有：①當G額=G物時，η=50%；

②當滑輪組改裝時，若G物、G額均不變，則滑輪組機械效率不變；

③增大機械效率的方法有，G額不變、增大G物，或G物不變、減小G額。

值得強調的是，這兩個普適化的比例關系是在理解滑輪組機械效率因何產生之后化簡得來的純數學比例式，僅僅是一種用于選擇題或填空題的快速解題手段，切不可當作原始公式用于計算題中。

二、題型應用

1.滑輪組提升重物的機械效率靜態分析。

例題1 甲、乙兩同學用相同的滑輪，采用不同的方法提升相同的重物。比較圖1中的甲、乙兩圖，機械效率較高的是 。（不計繩重和摩擦）

解析：采用普適化比例關系1機械效率η=[G物G物+G額]×100%，G物相同，因不計繩重與摩擦，則甲的G額=0，乙的G額=G輪，則機械效率η甲=1，η乙=[G物G物+G輪]×100%<1，因此η甲>η乙。故答案為甲。

小結：甲、乙滑輪組提升物體的重量G物相等，若G額較大，則機械效率較η小。

【變式】把重1000N的沙子運到三樓，給出三種方法：①用桶裝沙子由體重為400N的人沿樓梯提上去；②用桶裝沙子由一個動滑輪吊上去；③用袋子裝沙子由一個動滑輪吊上去。這三種方法做的有用功 （填“相等”或“不相等”），其中機械效率最高的是方法 （填序號）。

解析：W有=G物·h，因而三種方法做的有用功都一樣；機械效率η=[G物G物+G額]×100%，其中G物相同，①、②、③中G額的大小順序是：G人+桶>G桶+輪>G袋+輪，則機械效率大小順序依次是：η3>η2>η1。

答案：相等；③。

小結：滑輪組提升物體的重量G物相等，若G額較大，則機械效率η較小，依據題意知，G人+桶>G桶+輪>G袋+輪，則η3>η2>η1。

2.滑輪組提升重物的機械效率動態分析。

例題2 如圖2所示，建筑工人用250N的拉力將重400N的物體勻速提升3m，此過程中，滑輪組的機械效率為 ；若用該裝置提升500N的重物，其機械效率的大小將 （填“變大”“變小”或“不變”）。

解析：采用普適化比例關系1機械效率η=[G物G物+G額]×100%，其中，G物=400N，G額+G物=2F=2×250N=500N，解得η=80%。

若提升500N重物，采用普適化比例關系2機械效率η=[11+G額G物]×100%，其中G′額=G額=100N不變，G′物=500N，則[G′額G′物]=[15]<[G額G物]=[14]，可得η增大。

答案：80%；變大。

小結：本題的規范解法是用機械效率公式η=[W有W總]×100%進行計算，但使用前述普適化比例關系，可以不涉及h的計算，對于第二問，甚至不需計算即可判斷，故較為簡易省時。

【變式1】如圖3所示，小華同學在“測量滑輪組機械效率”的實驗中，應豎直向上勻速拉動繩子的自由端。若鉤碼G重為3N，小華所用拉力F為1.2N，則滑輪組的機械效率為 ；若換成重為5N的鉤碼G′再進行實驗，此滑輪組的機械效率將 （選填“變大”“變小”或“不變”）。

解析：采用普適化比例關系1機械效率η=[G物G物+G額]×100%，其中G物=3N，G額+G物=3F=3×1.2N=3.6N，解得η=83.3%。

若提升5N重物，采用普適化比例關系2機械效率η=[11+G額G物]×100%，G′額=G額=3F-G物=0.6N不變，G′物=5N，則[G′額G′物]=0.12<[G額G物]=0.2，可得η增大。

答案：83.3%；變大。

小結：對于第一問，分析知題干未給出提升重物的高度，因而采用公式η=[W有W總]×100%，不如用消除h后所得的比例式η=[G物G物+G額]×100%計算，可快速求得結果；對于第二問，從比例式η=[11+G額G物]×100%很容易看出，增大G物，會使得機械效率η增大。

【變式2】如圖4甲所示，用動滑輪把重為100N的物體豎直勻速提高2m，滑輪重為10N，不計繩重和摩擦，滑輪的機械效率是 。若將甲裝置改裝成乙，則滑輪組的機械效率將 （選填“增大”“減小”或“不變”）。

解析：依題知G物=100N，G額=10N，采用普適化比例關系1機械效率η=[G物G物+G額]×100%，則η=[100100+10]×100%=90.9%；將甲裝置改裝成乙裝置后，G物不變，G額減小至0，由普適化比例關系2機械效率η=[11+G額G物]×100%知，η增大。

答案：90.9%；增大。

【變式3】某同學在探究滑輪組的機械效率與被提升物體重力的關系時，采用了如圖5甲中所示的滑輪組，每個滑輪等重。不計繩重和摩擦，物體重G從200N開始逐漸增加，直到繩子被拉斷。每次均勻速拉動繩子將物體提升同樣的高度。圖5乙記錄了在此過程中滑輪組的機械效率隨物體重力的增加而變化的圖像。請根據圖像回答：

（1）每個滑輪重 N；

（2）當G= N時，滑輪組的機械效率可達到75%。

解析：對于第一問，從圖5乙可看出，η=50%時，G物=200N，采用普適化比例關系1機械效率η=[G物G物+G額]×100%，可得當η=50%時，G額=G物=200N，則G滑=[12]G額=100N。

對于第二問，依題知G額不變，為200N，G物不斷增加，采用普適化比例關系2機械效率η=[11+G額G物]×100%，當η=75%時，解得G物=600N。

答案：100N；600N。

結 語

本文在滑輪組機械效率公式η=[W有W總]×100%的基礎上，分析了滑輪組機械效率由來的原因，并延伸出滑輪組機械效率計算的兩個普適化比例關系。需要計算滑輪組的機械效率時，可選用普適化比例關系1，而需要判斷滑輪組機械效率的變化時，可選用普適化比例關系2。快速、簡潔的運算，可在一定程度上提高我們的效率，在考試時贏得更多的做題時間。