折射成像問題定量研究

莫 濱，張 靖

(南京市第十八中學(xué)，江蘇 南京210022)

1 折射成像

觀察者從空氣中向下觀察水中物體時(shí)的虛像位置，有3種觀點(diǎn)：1)像在物的上方且偏離觀察者處[1]；2)像在物的上方且偏近觀察者處[2]；3)像在物的正上方[3].

豎直物體成像形狀的畫法也不同，有仍然豎直的[4]，有圖1所示傾斜的[5].

圖1 人教版高中物理教材選修3－4畫法

文獻(xiàn)[6－8]從不同角度定性討論了成像的正確位置，都采用2束折射光線反向延長(zhǎng)線相交的方法.其中文獻(xiàn)[8]因2束光線角度相差較大，不符合人眼的實(shí)際視域，反而得出虛像等大的錯(cuò)誤結(jié)論.為了得到這個(gè)問題的正確結(jié)論，本文采用了適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法，確定了像點(diǎn)的位置與觀察角的定量關(guān)系.

2 定量分析

為了得出普遍適用的定量關(guān)系，分析如圖2

所示的斜射的情況.

圖2 觀察者在光疏介質(zhì)中觀察光密介質(zhì)物點(diǎn)C的成像示意圖

光密介質(zhì)中的物點(diǎn)C(0，－h(huán))發(fā)出的光線在分界面發(fā)生折射，形成過A(htanα，0)點(diǎn)的折射光線l，其直線方程為

過A1(htanα1，0)點(diǎn)的折射光線l1，直線方程為

聯(lián)立式(1)～(2)求解(x，y)，即l和l1的反向延長(zhǎng)線交點(diǎn)，就是物點(diǎn)C(0，－h(huán))所成的像點(diǎn)C′(x，y)，得

根據(jù)折射定律，β由α確定，β1由α1確定.像點(diǎn)C′(x，y)最終由α和α1確定.為了精確地找出像點(diǎn)與α的關(guān)系，用類似從運(yùn)動(dòng)物體平均速度求即時(shí)速度的方法，考慮函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，令α1＝α＋Δα，由式(3)有

令圖2中的相對(duì)折射率為n，則由折射方程

計(jì)算得

將式(6)代入式(1)可得

根據(jù)折射定律可寫為

應(yīng)用上述結(jié)果，用式(6)和式(8)可確定物體坐標(biāo)為(0，－h(huán))、入射角為α?xí)r，折射成像時(shí)虛像的坐標(biāo)，顛覆了采用2束光線確定像點(diǎn)的方法.至于只需要確定區(qū)域范圍的定性分析的應(yīng)用實(shí)例，將具有確定性.

3 結(jié)果與討論

研究式(6)～(7)可知，公式對(duì)光疏介質(zhì)向光密介質(zhì)折射時(shí)也同樣成立.

1)當(dāng)n＞1時(shí)，光從光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)，由式(6)，在α的取值范圍內(nèi)，有為臨界角)，對(duì)固定的h，x(α)是α單調(diào)增函數(shù).表示在x軸方向上，像介于物體和觀察點(diǎn)之間，所以像變小.x(α)是α單調(diào)增函數(shù)，最大值為，所以得.

從式(7)，可知y(α)＞－h(huán)且是α的單調(diào)增函數(shù).有，y軸方向上像變小.y的極小值就是像的極大值，這只在α＝0出現(xiàn)，此時(shí)物點(diǎn)(0，－h(huán))對(duì)應(yīng)的像點(diǎn)為

從而得出結(jié)論，除了(0，0)點(diǎn)之外的物點(diǎn)發(fā)出的光由光密介質(zhì)進(jìn)入光疏介質(zhì)中，不論是在x軸和y軸方向，像都落在觀察者和物體之間，可以認(rèn)為像變小.如圖3所示.

圖3 光密介質(zhì)向光疏介質(zhì)折射成像位置示意圖

2)當(dāng)n＜1時(shí)，光是從光疏介質(zhì)進(jìn)入光密介質(zhì)，有0≤α＜90°，從式(6)，x(α)≤0，表示在軸方向上，像變大.x(α)隨α增大而單調(diào)遞減.對(duì)固定的h，由于0≤tanα＜∞，所以0≥x＞－∞.

可得出結(jié)論，除了(0，0)點(diǎn)之外的物點(diǎn)發(fā)出的光由光疏介質(zhì)進(jìn)入光密介質(zhì)中，不論是在x軸和y軸方向，像都落在觀察者和物體之外，像變大，如圖4所示.

圖4 光疏介質(zhì)向光密介質(zhì)折射成像位置示意圖

根據(jù)式(6)，式(7)或式(8)與上面的結(jié)論，由于像點(diǎn)與物點(diǎn)的關(guān)系，可進(jìn)一步得出下列結(jié)論：

1)物體上特定點(diǎn)對(duì)于同一入射角α(折射角β)只在某方向上成像，即對(duì)于特定的觀察者，像點(diǎn)唯一.

2)對(duì)于物體上的特定點(diǎn)，對(duì)不同的入射角，像的位置不同，大小也發(fā)生變化.

3)除了(0，0)點(diǎn)之外的物點(diǎn)發(fā)出的光由光密介質(zhì)進(jìn)入光疏介質(zhì)中，不論是在x軸和y軸方向，像都落在觀察者和物體之間，成縮小的虛像.

4)除了(0，0)點(diǎn)之外的物點(diǎn)發(fā)出的光由光疏介質(zhì)進(jìn)入光密介質(zhì)中，不論是在x軸和y軸方向，像都落在觀察者和物體之外，成放大的虛像.

4 應(yīng) 用

4.1 應(yīng)用1

用式(6)，式(7)或式(8)，研究從固定點(diǎn)(l，h1)觀察位于y軸負(fù)方向重合的直線上各點(diǎn)(0，－h(huán))所成像點(diǎn)(x，y)的情況，以折射角β為參變量，作圖5.

圖5 從定點(diǎn)觀察豎直放置的物體

從定點(diǎn)(l，h1)處看點(diǎn)(0，－h(huán))所形成的像(x，y).α為入射角，β為折射角.

從式(10)和式(11)得到，當(dāng)在(l，h1)點(diǎn)，折射角為β時(shí)，觀察到的點(diǎn)為(0，－h(huán))，有

討論如下：

1)相對(duì)折射率n＞1時(shí)，光從光密介質(zhì)中的動(dòng)點(diǎn)(0，－h(huán))射向光疏介質(zhì)中的固定觀測(cè)點(diǎn)(l，h1)，所看到的像點(diǎn)為(x，y)，tanβ的取值范圍為

從式(7)可以得出

所以，所有的點(diǎn)(0，－h(huán))所成像都在y軸方向上向觀察者移動(dòng).

從式(10)可看出，當(dāng)tanβ＝0時(shí)變至?xí)r，x從0逐漸增大，又減小到0，表明x有極大值.

如果是從岸上看水中沿y軸負(fù)方向的直線，均取現(xiàn)給出2個(gè)例子：1)l＝1，h＝10；

圖6 當(dāng)?shù)南?/p>

圖7的像

2)l＝10，h1＝10.采用Excel軟件，繪制圖像，如圖6～7所示.

2)相對(duì)折射率n＜1時(shí)，光從光疏介質(zhì)中的動(dòng)點(diǎn)(0，－h(huán))射向光密介質(zhì)中的固定觀測(cè)點(diǎn)(l，h1)，所看到的像點(diǎn)為(x，y)，設(shè)臨界角為θ0，只能在0≤β≤θ0的范圍內(nèi)接收到折射光.因?yàn)椋ˇ粒?0°，sinα＝0，則β＝θ0，

注意：此處臨界角的正切的表達(dá)形式和前面的表達(dá)是不同的，原因在于，臨界角總是位于光密介質(zhì)中.下面分3種情況論述：

圖8

2)情況2.即觀察角最大值等于臨界角，討論略去.物體的像的圖形與情況(1)中相似.

3)情況3.即觀察角最大值大于臨界角，情況更復(fù)雜，討論略去.僅給出，由軟件得到的像(x，y)的圖像，見圖10.

圖9 當(dāng)時(shí)的像

圖10的像

由此看出，從定點(diǎn)觀察垂直分界面的直線物體折射時(shí)的虛像，是一條有極值點(diǎn)的曲線.如果從定點(diǎn)觀察不同介質(zhì)中一般物體的圖像，實(shí)際上非常復(fù)雜.

4.2 應(yīng)用2

如圖11，由水下點(diǎn)A處發(fā)出的光以30°入射角射出水面，求該點(diǎn)像的位置.

定量法：直接用式(6)和(8)計(jì)算，得出A′的坐標(biāo)為(1.497，－4.781)，見圖11.

圖11 計(jì)算所得像點(diǎn)

作圖法：取2束入射光線，粗略地畫出其折射光線，作反向延長(zhǎng)線，得其交點(diǎn)，即為像點(diǎn)，由于折射光線的取法不同，可以得到不同的結(jié)果，見圖12和13，差別很大.如要精確，則計(jì)算遠(yuǎn)比公式法復(fù)雜.

圖12 作圖法所得錯(cuò)誤像點(diǎn)1

圖13 作圖法所得錯(cuò)誤像點(diǎn)2

5 結(jié) 論

用定量的方法，對(duì)物體在光的折射現(xiàn)象中形成的虛像進(jìn)行討論后發(fā)現(xiàn)，即使最基本的直線所成的圖像，都十分的復(fù)雜，一般物體在光的折射中所成的虛像就更加復(fù)雜，只能由計(jì)算機(jī)用定量的方法去完成.對(duì)有限物體，從光疏介質(zhì)中某固定觀察點(diǎn)看光密介質(zhì)中的物體時(shí)，應(yīng)采用文獻(xiàn)[2]的畫法；從光密介質(zhì)中某固定觀察點(diǎn)看光疏介質(zhì)中的物體時(shí)，例如圖1，建議修正為圖14.

圖14 對(duì)圖1的修正

[1]蘇科版初中物理教材編寫組.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·物理教師教學(xué)用書(8年級(jí)上冊(cè))[M].南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2007：123.

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