利用小孔光闌調節邁克耳孫干涉儀的成像分析及驗證

劉益岑，何思雨，趙建君

(軍械工程學院a.學員2旅；b.基礎部，河北 石家莊050003)

小孔光闌法是利用平面鏡反射成像原理，通過調節平面鏡M2背面的3個螺絲使像點重合達到平面鏡M1與M2大致相互垂直，M1和M2′大致平行的初調目的[1－4].在多數參考書中給出的判定方法是2組像點重合[1－3]或2組像的主點(最亮的點)重合即可.但在實驗過程中經常會發現2組像點數目并不完全相同，有時主點難以分辨，導致了實驗者無所適從.教師在指導過程中根據經驗給出了一些調節方法，學生雖然完成了實驗，但并沒有真正搞清楚此現象根源何在.

本文利用小孔光闌法調節邁克耳孫干涉儀的光路進行深入分析，研究在不同介質中發生反射、折射的能量分配與傳播以及成像情況，并通過實驗進行了驗證.

1 利用小孔光闌法調節邁克耳孫干涉儀的光學分析

利用小孔光闌法調節邁克耳孫干涉儀的光路如圖1所示.從光源S發出的光束，在分光板G1的上表面N發生1次反射和折射，在分光板G1的下表面M上被分成光束3和光束4.光束3射出G1后投向平面鏡M1，反射回來再穿過G1板；光束4經過補償板投向平面鏡M2，反射回來再通過補償板G2，在分光板G1的下表面M反射.從分光板G1向M2望去，通常可看到2排等距離分布的光斑組.

圖1 利用小孔光闌法調節邁克耳孫干涉儀的光路圖

由圖1可以看出，光源S最終會在望遠鏡中共形成8個像點.其中，像點P11，P12，P13和P14為1組，是由平面鏡M1的反射光所形成的；像點P21，P22，P23和P24為1組，是由平面鏡M2的反射光所形成的.但在多數教科書中只提到2組共6個或7個像點，原因就在于各像點對應的能量不同.能量高的光斑能用肉眼觀察，并且所分得能量越高的光斑亮度越大，但如果像點能量低于人眼感光強度則不能被觀察到.但隨著儀器的使用時間增加，一些關鍵器件(如半反鏡)的老化導致了與預期現象不一致的現象出現.

2 像點分析

假設平面反射鏡M1和動反射鏡M2均沒有光的能量損耗.根據入射光、反射光和折射光的能量關系和菲涅爾公式，忽略介質的吸收，計算可得鈉黃光在玻璃的上表面的反射率和透過率.分光板G1和補償板G2所用的材料相同，設從光源S發出的光束的光強為I，分光板G1的前反射面N和補償板G2兩表面的反射率為x(x＜1)，透過率為1－x；分光板G1的半反射面M的反射率為y(y＜1)，透過率為1－y.在分光板G1的上反射面N被分為光強為Ix的光束1和光強為I(1－x)的光束2.光束2在分光板G1的下反射面M上被分成光強為I(1－x)y的反射光束3和光強為I(1－x)(1－y)的折射光束4.由圖1所示可以看出，光源S最終會在望遠鏡中各形成4個像點.其中，像點P11，P12，P13和P14為1組，是由平面鏡M1的反射光所形成的；像點P21，P22，P23和P24為1組，是由平面鏡M2的反射光所形成的.

2.1 光強分析

下面分別討論各像點對應光強分布.

像點P11：光線1通過平面鏡M1反射后，光路返回G1板內，一部分光在G1板內發生2次反射于G1板M面的點a處透射出，最終到達屏E形成了像點P11.像點P11的光強可以表示為

像點P12：主要由2部分光疊加而成.一部分是光線1通過平面鏡M1反射后到G1板內，一部分光直接在G1板M面的點b處透射出，最終到達屏E形成的像點，其光強表示為Ix(1－x)(1－y)；另一部分是由光線3通過平面鏡M1反射后，光路返回到G1板內，一部分光在G1板內發生2次反射后于G1板M面的點b處透射出，最終到達屏E形成了像點，其光強表示為Ix(1－y)(1－x)3y2.這2部分是像點的P12主要組成，像點P12的光強表示為

像點P13：光線3通過平面鏡M1反射后，光路返回到G1板內，一部分光直接在G1板M面的點c處透射出，最終到達屏E形成了像點P13.像點P13的光強表示為

像點P14：光線3在G1板內反射2次后于G1板N面的點d′處透射出，光路通過平面鏡M1反射后返回G1板內，一部分光直接在G1板M面的點d處透射出，最終到達屏E形成了像點P14.像點P14光強表示為

像點P21：光線4經過補償板G2透射向動反射鏡M2，光路反射回來再通過補償板G2后，一部分光返回到G1板內，發生3次反射后于G1板N面的點a′處透射出，最終到達屏E形成了P21.像點P21的光強表示為

像點P22：光線4經過補償板G2透射向動反射鏡M2，光路反射回來再通過補償板G2后，一部分光返回到G1板內，發生2次反射后于G1板N面的點b，處透射出，最終到達屏E形成了像點P22.像點P22的光強表示為

像點P23：光線4經過補償板G2透射向動反射鏡M2，光路反射回來再通過補償板G2后，一部分光在G1板M面的點c處直接反射到達屏E形成了像點P23.像點P23的光強表示為

像點P24：光線3在G1板內發生2次反射，一部分光經過補償板G2透射向動反射鏡M2，光路反射回來再通過補償板G2后，最終在G1板N面的點d處直接反射到達光屏E形成了像點P24.像點P24的光強表示為

2.2 像點個數分析

根據3.1中分析，圖2和圖3分別給出了在x＝0.05，0.10，0.15和y＝0.4，0.5，0.6六種情況下像點的相對光強的數值分析圖.

3.2.1 出現像點個數分析

經分析，像點的個數與入射光的強度和反射率為x，y有關，像點光強高于人眼感光強度才能被觀察到.下討論幾種典型的實驗情況.

情況一：形成2排都為4個點等距離光斑組.當入射光強足夠大時，8個像點的光強均高于人眼的感光度能夠被觀察到.根據數值分析，8個像點的光強大小依次為IP13＞IP23＞IP12≈IP11≈IP22≈IP14≈IP24＞IP21.

情況二：形成一排為3個像點，另一排為4個像點的等距離光斑組.當入射光強不足以使P21的光強高于人眼的感光度時，這種情況會存在7個像點.根據數值分析，7個像點的光強大小依次為IP13＞IP23＞IP12≈IP11≈IP22≈IP14≈IP24.

圖2 像點的相對光強隨y值變化的數值分析圖

情況三：形成2排都為3個像點的等距離光斑組.當入射光強不足以使P21和P11兩像點的光強高于人眼的感光度時，這種情況會存在6個像點.根據數值分析，6個像點的光強大小依次為IP13＞IP23＞IP12≈IP22≈IP14≈IP24.

圖3 像點的相對光強隨x值變化的數值分析圖

情況四：形成一排為1個像點，另一排為2個像點的等距離光斑組.當入射光強不足以使P21，P11，P22，P24和P14五個像點的光強低于人眼的感光度時，這種情況存在3個像點.根據數值分析，3個像點的光強大小依次為I13＞I23＞I12.

3.2.2 主亮點及次亮點的光強分析

由像點的相對光強的數值分析圖可知，當x，y取不同值時，會導致像點之間的光強大小發生變化.在此僅討論同一平面鏡產生的像點之間的光強變化.

通常情況下，當x＝0.1時，P13與P12的光強在y≈0.3時基本相等，當y＞0.3時P13與P12的光強差距逐漸增大，而當y＜0.3時原主亮點P13的光強較次亮點P12小.因此產生了視覺上P13與P12光強相等的效果.這就解釋了在一些教科書中提到的“若1組像點中2個亮點難以區分，則右邊的亮點是主點”[4]的原因.由此可見，影響主次亮點光強對比的關鍵在于分光板G1的半反射面M的反射率，如果分光板G1的半反射面M的反射率過低時很容易出現主次亮點光強極為接近乃至互易的情況出現.同時分光板G1的前反射面的反射率也對主次亮點光強對比有一定的影響，在分光板G1的前反射面的反射率低于0.1時一般不容易出現主次亮點光強極為接近的情況.

因此，建議在邁克耳孫干涉儀的光學器件選材的過程中充分考慮此影響，分光板和補償板應選擇折射率較低的玻璃來避免主次亮點難以區分.

2.3 等距性分析

根據光的傳播規律，當平面鏡 M1、平面鏡M2基本相互垂直并與分光板G1成45°時，可以分析出l1≈l2≈l3.假設分光板G1的厚度為h，分光板的透過率1－x，其中x＜1，θ1和θ2分別是入射角和折射角，l1為P11與P12的間距，l2為P12與P13的間距，l3為P13與P14的間距，如圖4所示，則滿足下列方程：

圖4 等距性分析原理圖

聯立求解可得，

則像點之間的距離與入射角θ1、G1板的厚度h、反射率x有關.一般入射角很接近45°，變化范圍不大，基本上不會有太大影響.而G1板的厚度h和反射率x與選材有關，對于某一臺邁克耳孫干涉儀都可以認為是常量，因此可以認為同一組像點間距目視情況下是等間距的，

3 實驗現象分析

3.1 情形一

3.1.1 實驗現象

形成一排為3個像點，另一排4個像點的等距離光斑組，見圖5.

圖5 7個像點

3.1.2 現象分析

實驗現象中有一排為4個像點是經靜反射鏡M1反射透射產生的，4個像點依次是P11，P12，P13和P14.根據觀察實驗現象分析，光強大小排列依次為P13，P12，P14，P11；另外排為3個像點是動反射鏡M2反射透射產生的，3個像點依次是P22，P23，P24，P21能量太低不易觀察到；根據亮實驗現象分析，光強大小排列依次為P23，P22，P24.

根據3.2數值分析圖像可知，當分光板G1的前反射面N反射率x≈0.1，分光板G1的半反射面M的反射率為y≈0.5時滿足實驗現象，并驗證了最亮的2點P13和P23分別為2組像的主點.

3.2 情形二

3.2.1 實驗現象

形成2排都為4個點等距離光班組(圖6).

3.2.2 現象分析

實驗現象中靠上一排的像點是靜反射鏡M1反射透射產生的，4個像點依次是P11，P12，P13和P14，另外排的3個像點是動反射鏡M2反射透射產生的，4個像點依次是P21，P22，P23和P24.在這種情形下，P12和P13亮度非常相近，該像點組的主點很難分辨.

圖6 8個像點

根據3.2數值分析圖像可知，分光板G1前反射面N的反射率x對像點P12的光強影響較大，且x越大，I12越大.當分光板G1的前反射面N和補償板G2兩表面的反射率x≈0.2，分光板G1的半反射面M的反射率為y≈0.35時滿足實驗現象，根據3.2.2中的結論，當x＝0.15，y≈0.35時，P12與P13光強基本一致，因此可推斷出，P13仍然為主點，是因為半反鏡鍍膜層老化導致透過率增強而成的.

4 結 論

在利用小孔光闌法調節邁克耳孫干涉儀實驗中，像點的個數與入射光的強度和反射率x和y有關，反射率x對像點P12的光強影響較大，且x越大，I12越大.由此可見，影響主次亮點光強對比的關鍵在于分光板G1的半反射面M的反射率，如果分光板G1的半反射面M的反射率過低時很容易出現主次亮點光強極為接近乃至互易的情況出現.同時分光板G1的前反射面的反射率也對主次亮點光強對比有一定的影響，在分光板G1的前反射面的反射率低于0.1時，一般不容易出現主次亮點光強極為接近的情況，并提出分光板和補償板應選擇折射率較低的玻璃來避免主次亮點難以區分的建議.本文分析出了各像點間距離近似相等，并得到了具體表達形式，最后通過實驗現象對分析結論進行了驗證.

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