壓力容器疲勞裂紋擴展的數值模擬進展

朱興海， 張郅， 陳傳斌

（四川科新機電股份有限公司，四川 什邡 618000）

0 引言

壓力容器常常在高溫高壓、超高壓等特殊環境中工作，容易被破壞，且破壞力相當大，常見的破壞主要是受到材料性質、交變載荷和溫度等因素影響，例如脆性破壞、疲勞破壞、腐蝕破壞和蠕變破壞等［1］。其中，長期受到交變載荷作用的壓力容器容易產生疲勞破壞。在此種情況下，壓力容器受到的應力往往沒有達到材料的屈服極限，或者不發生明顯的塑性變形。近年，隨著材料合成、成型技術的發展，許多不同高強度的金屬材料開始應用，提升了壓力容器的安全可靠性。但是，在成型或者焊接過程中容易造成材料缺陷，從而導致局部應力較高產生微小的裂紋，這些微小裂紋在交變載荷的作用下逐漸擴展，突發性的斷裂造成疲勞破壞。與此同時，美國和英國原子能壓力容器的17起事故綜合調查后發現，由裂紋導致的事故達到12起，疲勞裂紋引起的事故更是占到29.4%。因此，有必要對疲勞裂紋引起的疲勞破壞進行研究。國內外學者也進行了相關的研究，諸如鄭洪龍等［2］研究了分形裂紋的安全評定方法；吳國發等［3］根據疲勞裂紋擴展的規律和數學理論,建立了疲勞裂紋擴展全過程的數學模型，利用計算機仿真、預測并應用該數學模型，取得了較好的適用性和較高精確度的模型。

目前，運用理論分析方法可以準確、詳細描述疲勞裂紋的擴展機理，借助實驗方法則可驗證裂紋的擴展規律，但是，這種分析途徑需要耗費大量的時間，增加了成本?；谟嬎銠C技術發展起來的數值模擬方法卻能夠彌補此缺點，大大縮短周期，提高安全可靠性。

本文在研究了引起疲勞破壞的因素、擴展規律及形式的基礎上，分析了常用到的數值分析方法，探討了數值模擬方法的理論基礎、數學模型及關鍵問題。

1 疲勞破壞的因素及擴展規律

1.1 疲勞破壞的因素

壓力容器使用的材料和制造過程，不可避免地存在微裂紋，特別是焊縫處。在交變載荷的循環往復作用下，微裂紋擴展形成宏觀裂紋，直至產生疲勞破壞。因此，裂紋的存在是疲勞破壞的根本因素，它又受到材料的組成、構件的形狀和尺寸、表面狀態、使用環境等的影響。疲勞裂紋的擴展則主要受到殘余應力、循環頻率、應力比及環境因素的影響［4］。

1）殘余應力造成的累積損傷以往的分析結果小，主要存在于金屬材料本身含有的缺陷、雜質、切口。其中，壓應力壓緊并閉合裂紋，讓最大應力強度因子Kmax得到降低，從而提高壓力容器的疲勞壽命，殘余拉應力則相反，增強了疲勞破壞的疲勞強度［5］。

2）腐蝕環境介質及高溫環境都會嚴重影響材料斷裂疲勞性能。在腐蝕環境中，容器表面較易產生腐蝕坑，從而形成缺口和應力集中。S.A.Shipilov從疲勞裂紋擴展的內在機理出發，認為材料的最大應力強度大于氫致腐蝕強度時，疲勞裂紋擴展的主要機理是氫致腐蝕（即氫脆），最大應力強度小于氫致腐蝕強度時，應力協助擴散在腐蝕疲勞裂紋擴展中起決定性作用［6］。而高溫環境下的壓力容器，隨著溫度的升高，疲勞裂紋擴展速率逐漸增大。

3）循環頻率常常和溫度共同影響疲勞裂紋的擴展，它們均和時間相關。何玉懷等［7］研究直接時效對GH4169高溫合金疲勞裂紋擴展性能的影響后，認為擴展速率與加載頻率密切相關，存在一臨界頻率數值，小于該值時，只與時間因素相關；高于該值時，只與循環相關。

4）應力比也會嚴重影響疲勞裂紋的擴展。高應力比明顯快于低應力比條件下的擴展速率，在較小的△K值下進入快速擴展階段，很快斷裂［8］。

1.2 疲勞裂紋的形式及擴展規律

依據力學特征，疲勞裂紋的形式有張開型、滑開型和撕開型三種基本類型。其中張開型裂紋（稱之為I型）的拉應力與裂紋面互相垂直，上下裂紋面相互張開，從而產生出一種裂紋形式；滑開型裂紋（稱之為II型）所受到的剪應力垂直于裂紋前緣,同時又平行于裂紋面,這樣使得上下兩個裂紋面在裂紋平面內產生出相對滑動；撕開型裂紋（稱之為III型）受到平行于裂紋面并且與裂紋前緣方向也平行的切向應力的作用,這就使裂紋面產生在裂紋面外的,沿著裂紋前緣方向的相對滑動。三種類型裂紋形式見圖1所示。

圖1 疲勞裂紋的三種基本類型

在工程實際中，任何形式的裂紋都可以是上述三種基本裂紋形式的組合，而在實際中，張開型裂紋是造成低應力脆斷的主要原因，并且出現的概率最大。

疲勞裂紋擴展規律的研究主要是針對于擴展速率、裂紋形貌變化以及疲勞壽命的計算。

1）隨著斷裂力學中的斷裂模型開始應用于裂紋擴展速率的描述，且裂紋擴展速率受到裂尖名義應力強度因子幅△K的決定，即式（1）。但是，疲勞裂紋擴展速率還受到環境介質、加載頻率等因素的共同作用，所以常常需要對式（1）進行相應的修改，從而滿足不同情況。

式中：a為裂紋長度；N為應力循環次數；△K為應力強度因子幅；B為材料常數；△Kth為疲勞裂紋擴展門檻值。

2）裂紋形貌變化。表面裂紋兩個方向疲勞擴展速率的相互關系反映了通過裂紋形貌的變化規律，主要使用Kawahara和Portch表達式描述。Kawahara將表面裂紋分為均衡形表面裂紋、淺長形表面裂紋和深短形表面裂紋3類；Portch則將表面裂紋使用拉伸（T）型、彎曲（B）型和拉彎（TB）組合型來表達形貌變化。

3）疲勞壽命。疲勞壽命和疲勞擴展速率以及擴展形式息息相關，常常依據初始裂紋長度，借助疲勞裂紋擴展速率及失穩斷裂臨界裂紋長度，依據式（2）積分估算腐蝕疲勞裂紋擴展壽命［9］。

式中：NP為疲勞壽命；a0為初始裂紋長度；ac為失穩斷裂時的臨界裂紋長度；（da/dN）CF為考慮加載頻率的裂紋擴展速率。

2 疲勞裂紋擴展數值分析方法

2.1 理論基礎

迅速發展的計算機技術和數值分析方法，以及人們在理論上對疲勞裂紋擴展機理、影響因素、形式的準確描述，讓計算機求解裂紋相關控制方程成為可能，并因此形成了新的疲勞裂紋模擬方法即數值模擬，該方法不受實驗條件的限制，彌補了實驗的不足，提升了效率，越來越成為解決工程問題的有效手段。在應用數值模擬的過程中，理論基礎為Paris和Erdogan表達式，其中Paris表達式能與常用的數值計算方法結合，得到了廣泛應用。國內學者研究了該表達式，使其能準確和成熟地運用到實際中，倪向貴等［10］闡述了 Paris表達式在不同應用領域中的修正表達式，并介紹了彈塑性斷裂力學的修正表達式（3）和連續損傷力學的修正表達式（4）。

在彈塑性斷裂力學中分別以J積分幅值作為控制參量和裂尖張開位移幅度△δ為變量的修正表達式：

式中：CJ、mJ是以 J積分為控制參量時的材料常數；Cδ、mδ為以裂尖張開位移CTOD幅為控制參量時的材料常數。在連續損傷力學中的修正表達式為

式中：Cd為以標量損傷因子表征材料的疲勞損傷的材料常數；γ為疲勞損傷演化常數；L為表面裂紋在某一方向上的尺寸。

2.2 數值分析方法

裂紋問題本身是一種不連續問題，它的擴展以產生新的裂紋面為準則，并不是單一裂紋持續性擴展，也就是幾何不連續性的演變。由于不連續性導致裂紋擴展數值模擬的難度大大增加，所以能夠運用的數值模擬技術并不多，較常用的數值分析方法為有限元法、邊界元法以及近年快速發展的無網格法。

有限元法是將一個連續的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題，是通過離散連續的求解域，形成一組單元組合體，在每個單元內用數值插值函數來分片的表示求解域上待求的未知場函數，然后借助計算機求解未知場函數。邊界元法實際是從有限元法中派生出來的，不同之處在于將求解域的邊界進行剖分，用滿足控制方程的函數去逼近邊界條件。

無網格法在數值計算的過程中不需要生成網格，而是依據一些任意分布的坐標點去離散控制方程并求解區域，優勢之處在于處理極端變形，因此它比有限元法和邊界元法更適合于裂紋擴展的數值模擬。但是無網格法的計算量較大，也僅僅在不連續、大變形或應力集中區域運用，其它區域仍然可以使用有限元法等數值方法。

3 疲勞裂紋數值模擬的現狀

近年來，在疲勞問題中應用數值模擬技術不斷深入和范圍更加廣泛。國內外許多學者也做了大量的工作，吳志學等［11］研究了疲勞裂紋擴展過程中裂紋尖端應力強度因子的分布和裂紋尖端單元網格密度對計算應力強度因子的影響。賈超等［12］模擬了周期張力載荷作用下孔邊角裂紋擴展和圓柱形部件表面疲勞裂紋的擴展，發現疲勞裂紋擴展路徑有一定的穩定性。同時，基于數值分析方法的數值模擬技術中的有限元法和邊界元法等都受到網格劃分技術的嚴重制約，高效實用的網格劃分技術尤為重要，目前常用的主要有三種：節點釋放技術、自適應網格技術以及單元失效技術［13］。

1）節點釋放技術。將裂紋結束面與新產生裂紋面間的單元邊界預先約束在一起，在給定釋放約束邊界條件后，邊界分離產生新裂紋面，從而實現裂紋擴展的數值模擬。然而，該方法以給定釋放約束邊界條件為基礎，若合理地給定條件，如裂紋的擴展軌跡，那么此種技術是可以高效穩定的。因此，合理給定釋放約束邊界條件至關重要，這方面國內外研究甚少。

2）自適應網格技術。裂紋的擴展方向和擴展量隨時間變化，并以新的裂紋斷面前沿重新劃分網格，即網格的調整與依據時間步求解控制方程的過程同步，網格也在不斷發生變化，是最直接的建模方法。

3）單元失效技術。結合了損傷力學模型，引入了損傷概念，將裂紋視作完全損傷區。它依據給定的判據，判斷單元材料性質的物理量，使其失去承載能力，或者將其刪除，以此來表征裂紋的擴展，可以預測裂紋擴展的方向和速率。

網格劃分技術促進了數值模擬的發展，但是疲勞裂紋的數值模擬仍存在一些困難［17］，主要表現為具體材料在不同載荷下的疲勞裂紋擴展速率公式缺乏，具體零件或構件中的裂紋部分的三維有限元模型難以建立，疲勞裂紋擴展速率公式不夠成熟，尤其是多軸疲勞下的裂紋擴展方向尚不清楚，模擬結果的精度不足。

4 結論

近年來，數值模擬方法廣泛應用到壓力容器的疲勞裂紋擴展研究中，該方法不受實驗條件限制，彌補了實驗的不足，提升了效率。本文通過研究國內外學者對壓力容器疲勞裂紋擴展的影響因素、形式及規律等的相關現狀后，總結和提出了數值模擬方法的現狀及存在的問題。

1）疲勞裂紋的擴展受到了殘余應力、循環頻率、應力比及環境因素的影響。殘余應力造成的累積損傷比以往的分析結果小，高應力比明顯快于低應力比條件下的擴展速率。腐蝕環境介質中，材料的最大應力強度大于氫致腐蝕強度時，疲勞裂紋擴展的主要機理即氫脆，最大應力強度小于氫致腐蝕強度時，應力協助擴散在腐蝕疲勞裂紋擴展中起決定性作用；在高溫環境的作用下，疲勞裂紋擴展速率隨著溫度的升高逐漸增大。

2）疲勞裂紋擴展規律主要針對擴展速率、裂紋形貌變化以及疲勞壽命的計算。

3）有限元法、無網格方法及耦合兩種方法都是適合于裂紋擴展的數值模擬方法，同時都受到網格劃分技術的制約。

4）數值模擬技術仍然存在不足，比如具體材料在不同載荷下的疲勞裂紋擴展速率公式缺乏，具體零件或構件中的裂紋部分的三維有限元模型難以建立，疲勞裂紋擴展速率公式不夠成熟和完善，以及模擬結果的精度不足等。

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