齒輪測量中心測頭球心位置的標定

李偉

（沈陽飛機工業（集團）有限公司，沈陽110034）

0 引言

隨著現代制造技術的不斷發展，對于加工精度和加工效率的要求越來越高，數字化閉環制造是提高加工精度和加工效率的重要手段，而實現數字化閉環制造的關鍵環節就是對被加工工件進行精確的測量［1］。對于齒輪制造業而言，為了實現數字化閉環制造，需要利用齒輪測量中心或三坐標測量機測量出實際加工齒面相對于理論齒面的偏差，然后再將偏差反饋給設計分析軟件，計算出實現偏差修正的參數，進而實現數字化閉環制造。為了提高齒輪測量的精度，本文針對采用電感式一維測頭的齒輪測量中心，運用最小二乘法，根據采集到的標準球球面上點的空間坐標，擬合出標準球球心的坐標，并將測球球心在機器坐標系中的位置轉換到測量坐標系，實現了對測頭球心位置的標定。

1 標準球球心坐標的計算

在標定測球球心坐標的過程中，需要利用標準球間接地確立測量坐標原點的位置，從而計算出測球球心相對于測量坐標系的位置。計算標準球球心坐標，實際上是將采集到的一系列的標準球球面上的點運用最小二乘法進行擬合，最終計算出標準球球心在機器坐標系中的坐標。采集點的位置的選擇以及采集點數量會影響擬合精度進而影響測量結果。采集點的位置和采集點數量的設置，如圖1和圖2所示。

在確定測球球心到被測工件定位基準面的距離時，只需保證Z方向的精度，因此采用圖1所示的摸球策略。為確定標準球球心在機器坐標系中的R、T、Z三個方向的坐標，此時需要同時保證三個方向的精度，因此采取圖2所示的摸球策略。本文所用的測頭是一維測頭，測頭只能在一個方向上受力，采用圖1所示的摸球策略時應調整測頭使其在Z方向受力，采用圖2所示的摸球策略時應調整測頭使其在T方向受力。

圖1 摸球策略一

圖2 摸球策略二

設所采用的標準球球心在機器坐標系中的坐標為（A，B，C），標準球半徑為r，則標準球球面的方程可以寫成如下形式：

令 a=-2A，b=-2B，c=-2C，d=A2+B2+C2-r2，則標準球球面圓的方程可寫成

根據實際采集到的標準球球面上的n（n=7，14）個采樣點Pi（xi，yi，zi）的坐標值，利用最小二乘法擬合出被測標準球的球心坐標和半徑。由式（2）可知，標準球球面被測點Pi（xi，yi，zi）的殘差為

由式（4）可知，L（a，b，c，d）大于或等于零。因此，該函數必然存在大于或等于零的極小值，它的極大值為無窮大。將函數 L（a，b，c，d）分別對參數 a、b、c、d 求偏導數，令偏導數等于零就可求出該函數的極值點。將式（4）分別對a、b、c，d 求偏導數得

式（6）中的 E、F、G、H、I、J、K、M、N 可由被測點的坐標Pi（xi，yi，zi）及被測點的數量n計算得到。解三元一次方程組式（6）可得到 a、b、c的值，將得到的 a、b、c的值帶入到式（5）的第4個式子中，可求出參數d的值，則標準球球心坐標及半徑為：

2 測球球心位置的標定

根據齒輪測量中心的測量原理，測量齒輪齒形誤差時，測球球心的運動軌跡是由輸入的齒面理論數據來決定的［2-4］。因此，要想測球球心按照給定的理論數據進行測量，必須將測量坐標系、機器坐標系和工件坐標系統一。

圖3 測頭中心位置標定

2.1 旋轉工作臺中心的坐標計算

本文采用的測頭為瑞士TESA電感式一維測頭，測量過程中，測頭只能在一個方向受力，因此，在測量不同的工件或不同的項目時，需要適當改變測頭受力方向或調整測頭安裝位置，而每調整一次測頭，都需要對其中心坐標進行標定。由于被測工件是安裝在旋轉工作臺上的，此時，旋轉工作臺的回轉軸線基準不能用來標定測球球心的位置。本文采用的辦法是：用固定于旋轉工作臺的標準球來標定測球球心在測量坐標系中的坐標。測頭中心位置的標定，實際上是確立測量坐標系原點的過程。如圖3所示，A，B兩點分別為標準球球心繞Z軸旋轉θ角度前后的位置，其矢量分別為Ra、Rb；O點為機器坐標系原點；O′點為轉臺中心線在RT平面中的位置，其矢量為RO′。

設O′點以及A、B兩點在機器坐標系中的坐標分別為（x0，y0，z0），（x1，y1，z0），（x2，y2，z0）。由圖中幾何關系可知，|O′A|=|O′B|，則有

上述方程中的 x1、y1、x2、y2、z0為 A、B 兩點的坐標，即標準球球心在機器坐標系中的坐標，已由最小二乘法求得，θ的值由圓光柵記錄下來。x0、y0為旋轉工作臺的中心在R、Z平面中的坐標值，為未知數。解上述方程組即可求出x0、y0的值，從而求出旋轉工作臺在機器坐標系中的坐標。

2.2 測量坐標系的建立

以錐齒輪齒形誤差測量為例來說明測量坐標系的建立方法。錐齒輪的輪齒坐標系的原點設定在齒輪的軸交錯點上［5-6］。因此，需要將機器坐標系的原點轉換到齒輪的軸交錯點上，并將輪齒坐標系作為最后的測量坐標系。設標準球球心與被測齒輪安裝基準面之間在Z軸方向的距離為d1，安裝距為d。齒輪的軸交錯點在齒輪軸線上，而齒輪軸線與旋轉工作臺的軸線是重合的。因此，齒輪軸交錯點在機器坐標系中的坐標應為（x0，y0，z0+d1+d）。設測球球心在機器坐標系中的坐標為（x′、y′、z′），那么測球球心以齒輪軸交錯點為原點時的空間坐標為

式（7）就是測球球心的坐標從機器坐標系向測量坐標系的轉換公式。

3 結論

1）運用空間矢量運算和最小二乘法建立了測頭標定的數學模型。2）利用最小二乘法擬合了標準球球心，計算并得到了標準球球心在機器坐標系中的位置。3）運用空間矢量運算，建立了將測球球心的坐標從機器坐標系向測量坐標系進行轉換的方法。

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［2］ 徐彥偉，張連洪.基于齒面點坐標測量值的弧齒錐齒輪齒面建模［J］.制造業自動化，2014（9）：34-37.

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［5］ 吳大任，駱家舜.齒輪嚙合理論［M］.北京：科學出版社，1985.

［6］ 曾韜.螺旋錐齒輪設計與加工［M］.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，1989.