橋梁模態頻率異常變化的概率檢測方法及例證

鄧 揚， 李愛群， 劉 揚

(1. 長沙理工大學土木與建筑學院， 湖南 長沙410004；2. 現代公路交通基礎設施先進建養技術湖南省協同創新中心, 湖南 長沙 410004;3. 東南大學土木工程學院， 江蘇 南京210096)

橋梁模態頻率異常變化的概率檢測方法及例證

鄧 揚1, 2， 李愛群3， 劉 揚1, 2

(1. 長沙理工大學土木與建筑學院， 湖南 長沙410004；2. 現代公路交通基礎設施先進建養技術湖南省協同創新中心, 湖南 長沙 410004;3. 東南大學土木工程學院， 江蘇 南京210096)

針對實測模態頻率的隨機性，提出了基于概率統計理論的橋梁結構模態頻率異常變化的檢測方法。建立橋梁實測模態頻率與結構溫度的BP神經網絡模型，進而消除溫度對模態頻率的影響，在此基礎上采用核密度估計方法得到消除溫度影響模態頻率的累積分布函數，然后采用標準正態分布的逆函數將累積分布函數轉換為Q統計量，最后利用Q統計量建立用于頻率異常檢測的均值控制圖。假設檢驗結果表明：Q統計量服從正態分布，從而解決了消除溫度影響后的模態頻率仍非正態的問題，滿足了控制圖對隨機變量正態性的要求。分析結果表明，基于控制圖的概率檢測方法對橋梁模態頻率的異常數據具有良好的敏感性。該方法可為大跨度橋梁健康監測數據的分析與應用提供參考。

結構健康監測； 模態頻率； 橋梁結構； 控制圖； 核密度估計

1 概 述

多自由度結構體系的無阻尼頻率方程為

(1)

式中M,K分別為質量矩陣和剛度矩陣，ω為結構頻率。從式(1)可以看出，只要體系的剛度與質量不變，結構體系的頻率始終為一常量。若從隨機的角度看這一問題，即考慮結構體系物理、幾何等參數的隨機性，那么結構的動力特性(自振頻率、振型等)將是服從某一分布的隨機變量。目前，國內外關于隨機參數結構的特征值問題已開展了大量研究[1-4]。對于已投入運營的某座橋梁，由于其物理、幾何等參數已確定，因此，動力特性應保持不變，但是大量的實測數據分析表明，橋梁結構的實驗模態分析數據會在某一個范圍內隨機變化[5-7]。導致這種變化的因素極為復雜，可能來自于環境荷載條件變化[7-9]、邊界條件改變[10]、結構材料性能退化[11]以及結構損傷[12]等方面。橋梁結構模態識別的目的是為了檢測出模態參數的異常變化，并以此反演和評估結構的狀態，這種異常變化通常是由邊界條件改變、材料劣化和構件損傷等引起，且不能自動恢復。而環境荷載條件導致的模態參數變化是可恢復的。

借鑒隨機參數結構特征值問題的研究思想，可以認為在環境荷載激勵下，橋梁結構的模態頻率實測值也是隨機變量，在此基礎上采用概率統計的方法對其異常變化進行檢測。首先，應盡可能消除環境荷載條件對結構頻率實測值的影響。研究表明，溫度、風和車輛荷載都會橋梁結構模態頻率產生影響。總的來說，溫度是引起橋梁模態頻率實測變異性的關鍵因素，而風和車輛荷載對頻率的影響很小[8]。因此，首先應根據長期累積的實測數據建立溫度與頻率的相關模型，在此基礎上得到消除溫度影響的橋梁結構頻率。例如，Liu[13]用1年的監測數據建立了曲線預應力混凝土箱梁橋前三階頻率和溫度的線性回歸模型，孫君[14]采用6次多項式建立了懸索橋頻率與溫度的相關性模型，Moser[15]應用多種解析模型建立了一座人行天橋頻率與溫度的關系。由于逐漸認識到溫度和橋梁頻率關系的復雜性，許多學者開始嘗試用人工神經網絡、支持向量機等方法來分析兩者之間的關系[6, 16-18]。分析表明，作為一種具有較強容錯性的非線性映射工具，人工神經網絡適合于建立橋梁結構模態頻率與溫度的相關性模型。

接下來，對頻率的異常變化進行概率檢測。由于測試噪聲等因素的影響，消除溫度影響后的頻率仍存在一定的隨機性。除非橋梁動力特性由于某些突發狀況(地震、船撞等)發生大幅度的變化，很難從模態頻率的實測值來判斷結構是否異常。因此，必須從概率的角度去檢測橋梁模態頻率的異常變化。統計過程控制是一種借助于數理統計理論對生產過程的各個階段進行監控以及發現異常現象的方法，控制圖是統計過程控制中發展較為成熟的控制理論[19]。目前，國內外已有學者開始運用控制圖對結構健康監測數據開展異常檢測[14, 20-21]。由于控制圖是以變量服從正態分布為前提的，因此，在采用控制圖進行結構頻率異常檢測之前需要對頻率實測數據進行正態性檢驗，若不服從正態分布，還需對數據進行進一步的處理。文獻[14]定義了基于模態頻率的潤揚大橋懸索橋結構異常變化指標，在此基礎上采用均值控制圖對指標的異常變化進行了識別，然而并未對指標的正態性進行檢驗。

在已有研究成果的基礎上，本文提出一種頻率異常變化的概率檢測方法。采用BPNN(Back Propagation Neural Networks，簡稱BPNN)建立頻率與溫度的相關性模型，繼而得到消除溫度影響的模態頻率。針對消除溫度影響后的頻率不服從正態分布的情況，采用核密度估計的方法獲取其概率分布函數，進而將其轉換為服從標準正態分布的Q統計量，在此基礎上采用均值控制圖對模態頻率的異常變化進行檢測。最后采用這一方法對某大跨度懸索橋的模態頻率實測數據進行了分析。

2 概率檢測方法

2.1 頻率與溫度相關性模型

若正常狀態下橋梁結構的某階頻率實測向量為fi(i為頻率階次)，結構溫度的實測向量為T，設fi和T的長度為l。模態頻率為等時間間距分析得出，然后依時間先后順序組成頻率的實測向量fi。選擇頻率識別的時間間距應考慮采樣頻率、檢測時效性等各方面的因素。為增強異常檢測的時效性，分析時間間距應盡量小，但是這樣頻率的識別結果會過于離散，影響異常檢測的效果。文獻[14]先識別出10 min模態頻率值，在此基礎上取頻率日平均值與溫度建立相關性模型，這樣雖然減小了數據的離散性，但檢測時效性不足。本文取10 min為頻率識別時間間距。關于模態頻率的識別方法，國內外的學者對此開展很多研究[22]，本文認為頻域方法更適于快速地對現場大量的振動監測數據進行分析。

將T作為BPNN的訓練輸入向量，fi為網絡訓練的輸出向量。可得正常狀態下第i階頻率與溫度的BPNN相關性模型

(2)

(3)

(4)

2.2 概率模型與正態化

(j,k=1, 2, …,l)

(5)

(j,k=1, 2, …,l)

(6)

(7)

式中Qi為正常狀態下第i階模態頻率的Q統計向量，Ф-1( · )為標準正態分布函數的反函數。

2.3 基于正常狀態的均值控制圖

(8)

具體到向量Qi，控制圖的上控制限UCL、中心線CL和下控制限LCL可以表示為

(9a)

(9b)

(9c)

式中mean(Qi)和std(Qi)分別表示Qi的均值和標準差。由于每階模態頻率的測試樣本數量均為1，因此，此處n=1。

若未知狀態下的頻率測試向量為Ufi，對應的結構溫度向量為UT，兩者長度均為m。首先，將向量UT輸入BPNN模型(即式(2))，得到未知狀態下的頻率仿真向量BPFi(UT)，再利用式(3)消除頻率向量Ufi中的溫度影響，即

(10)

(k=1, 2, …,l；s=1, 2, …,m)

(11)

(k=1, 2, …,l；s=1, 2, …,m)

(12)

根據上述原則，選擇將限流裝置接入到變電站8主變的330kV出口處，限流裝置的設計遵循第3小節的方法，結構采用倒置高壓耦合電容器結構，主要參數如下：（1）開關型零損耗330kV電網限流裝置的額定工作電流為1200A；串聯電抗為2×0.6Ω；（2）智能高速開關的額定電壓為12kV；額定電流為2500A；額定短路開斷電流：50kA；峰值關合電流為80kA；分閘時間為 3～5ms；合閘時間為 8～18ms，反彈時間≤2ms。

(13)

式中UQi為未知狀態下第i階模態頻率的Q統計向量。接下來，將UQi輸入式(9)中UCL和LCL構成的均值控制圖中，若向量UQi中有數據點超出控制限UCL和LCL，說明檢測出了橋梁模態頻率的異常變化。綜上所述，圖1給出了橋梁結構異常模態頻率的概率檢測流程。

圖1 橋梁異常模態頻率的概率檢測流程圖Fig.1 Flow chart of probabilistic detection for the abnormal modal frequencies of bridges

3 實例分析

3.1 原始數據分析

對國內某座大跨度懸索橋投入運營后動力響應的長期監測數據進行分析，共分析了一年215天的加速度響應數據，在這一年中懸索橋經歷了四季的溫度變化。模態頻率識別采用的是最大熵譜方法[26]，得到了懸索橋主梁豎向的前7階模態頻率，由于高階模態頻率對結構損傷更為敏感，本文選取第5階(四階反對稱豎彎振型)和第6階(五階對稱豎彎振型)的模態頻率進行分析。頻率識別的時間間距為10 min，而后每6 h提取一個數據，得到860個頻率原始測試值。結構溫度數據來自于主梁所有溫度傳感器測試值的平均值，也得到了860個結構溫度原始測試值，圖2給出了模態頻率和結構溫度的原始測試數據。

圖2 原始測試數據Fig.2 Original test data

實際上，由于大橋投入運營時間較短，圖2中的數據都應視為來自于正常狀態。為演示異常頻率的概率檢測方法，將圖2中的原始測試數據分為兩部分，其中的第301號數據至350號數據作為未知狀態數據，未知狀態的模態頻率向量為Uf5和Uf6，結構溫度向量為UT，向量長度m為50。其余的數據則組成了正常狀態下的頻率向量f5,f6和結構溫度向量T，向量長度l為810。從圖2可以看出，雖然圖中模態頻率的絕對變化較小，但是仍表現出顯著的規律性，特別是與溫度具有明顯的相關性，目前，關于溫度對模態頻率影響規律的研究已較多[5-6, 8-9, 13-18]，本文不再贅述。

首先，圖3給出了正常狀態下的模態頻率向量f5和f6的統計直方圖，從中可以看出f5和f6表現出明顯的雙峰分布特點，此時，難以采用常用的概率分布模型對其進行描述，而造成這一現象的原因應是環境溫度變化，因此，在進行頻率異常檢測之前的主要工作是通過建立頻率與溫度的相關性模型來消除溫度對頻率的影響。

圖3 正常狀態下模態頻率原始測試值fi的統計直方圖Fig.3 Histograms of original test frequencies fi in health state

圖4 正常狀態下模態頻率原始測試值fi與結構溫度T的關系Fig.4 Correlations between original test frequencies and structural temperature in health state

圖5 未知狀態下模態頻率Ufi基于BPNN的仿真結果Fig.5 BPNN-based simulated results of modal frequencies Ufi in unknown state

3.2 異常檢測

表正態分布假設檢驗結果

表2 Qi正態分布假設檢驗結果

注：表1和2中假設檢驗的顯著性水平為0.05；表中參數h和p為假設檢驗結果，h=0時，認為統計量服從正態分布，h=1時，認為統計量不服從正態分布；當p大于顯著性水平時，認為統計量服從正態分布，否則認為不服從正態分布。

圖6 正常狀態下Qi的概率密度擬合結果Fig.6 PDF fitting results of Qi in health state

根據表3中Qi的均值和標準差計算控制限時，首先需要確定控制圖的顯著性水平α，繼而找到對應的標準正態分布上α/2分位點Zα/2，在此基礎上采用式(9)計算上控制限UCL和下控制限LCL。關于顯著性水平，有些學者取α=0.27%[20-21]。本文認為應從避免控制圖發生錯誤的角度去確定合適的顯著性水平。第1類錯誤是將正常數據誤判為異常數據；第2類錯誤是把異常數據誤判為正常數據。由于本文所謂的正常狀態數據和未知狀態數據均來自于結構健康狀態，都應視為正常數據，因此，確定顯著性水平時應主要考慮避免產生第1類錯誤。經計算，顯著性水平α=0.06%時，Zα/2=3.4，此時正常狀態的Qi和未知狀態的UQi均處于控制限以內，結果見圖7。從圖7可以看出，若本文取顯著性水平α=0.27%，此時Zα/2=3，那么UCL和LCL的控制范圍將大為減小，一些數據點將超出控制范圍，即發生第1類錯誤。

表3 正常狀態下模態頻率的統計特性

圖7 正常狀態下的控制圖Fig.7 The control charts in health state

第2類錯誤發生的概率直接反映了控制圖對異常數據的敏感性，控制圖越敏感，則發生第2類錯誤的概率就越小，控制圖越不敏感，則發生第2類錯誤的概率就越大。通過對未知狀態下的頻率測試向量Ufi施加一定的變化來模擬結構的異常狀態，來考察圖7中的控制圖對異常數據的敏感性。由于各種外界及自身不利的因素(如地震、船撞、火災、材料劣化、銹蝕等)常常使得結構或構件剛度降低，橋梁結構的模態頻率隨之減小，因此，異常狀態的模擬頻率向量Ufi, δ為

(14)

式中δ為異常變化百分比，mean(fi)表示fi的均值，對于第5階和第6階模態，由表3可知，mean(fi)分別為0.378和0.453。在此基礎上，同樣應用式(10)～(13)將Ufi, δ轉化為Q統計量UQi, δ，然后將UQi, δ輸入已建立的控制限中，得到了如圖8所示的異常狀態下的控制圖。

圖8 異常狀態下的控制圖Fig.8 The control charts in abnormal state

從中可以看出，對于第5階模態，當δ=0.15%時，Q統計量UQ5, 0.15%全部都在控制限之內，這時控制圖還不能檢出頻率異常變化，此時認為結構仍處于正常狀態，當δ增大至0.3%時，Q統計量UQ5, 0.3%有5個數據點越過下控制限LCL，說明這時控制圖能檢出頻率的異常變化，類似的，當δ增大至0.35%時，Q統計量UQ6, 0.35%有6個數據點越過下控制限LCL。以上分析結果表明，只有當橋梁結構由于某種原因導致其模態頻率的變化達到一定程度之后，均值控制圖才能檢出異常頻率變化，而在這之前，即使模態頻率發生異常變化，控制圖也不能檢出，這表明當頻率的異常變化較小時，第2類錯誤是不可避免的。然而，從圖8可以發現，控制圖對該座懸索橋結構模態頻率的異常變化具有良好的敏感性，能夠成功檢出結構模態頻率的微小的異常變化。

4 結 論

建立了基于概率統計理論的橋梁結構模態頻率異常變化的檢測方法，并以國內某座懸索橋的監測數據為對象開展了分析與討論，驗證了本文方法的有效性，得到以下結論：

(1) 由于控制圖理論對隨機變量正態性的要求，使得頻率原始測試值、消除溫度影響的頻率值都不能直接輸入控制圖中進行異常檢測，本文通過核密度估計與正態化的方法有效地解決了這一問題。而控制圖的結果也表明橋梁模態頻率的異常變化能通過Q統計量實時反映出來。

(2) 由于環境溫度變化的影響，橋梁模態頻率的實測值表現出明顯的雙峰分布特征，不能直接采用概率的方法對其進行異常檢測，需要先去除溫度的影響。對消除溫度影響的模態頻率以及模態頻率的Q統計量進行了假設檢驗，結果表明，消除溫度影響的模態頻率不服從正態分布，而模態頻率的Q統計量服從正態分布。

(3) 選擇該懸索橋第5階和第6階模態頻率進行分析，模擬分析結果表明，控制圖的敏感性較好，可以檢出模態頻率的微小異常變化，當異常變化分別達到正常狀態頻率均值的0.3%和0.35%時，第5階和第6階頻率的數據點越過控制限，模態頻率的異常變化被檢出。

[1] 程進, 肖汝誠. 軸向荷載作用下梁結構動力特性的隨機分析 [J]. 土木工程學報, 2006, 39(4): 54—57.

CHENG Jin, XIAO Rucheng. Stochastic analysis of the dynamic characteristics of beams subjected to axial loads [J]. China Civil Engineering Journal, 2006, 39(4): 54—57.

[2] 宋述芳, 呂震宙, 喬紅威. 隨機結構動力特征的統計矩及靈敏度分析研究 [J]. 振動工程學報, 2011, 24(2): 133—138.

SONG Shufang, LV Zhenzhou, QIAO Hongwei. Moment and sensitivity analysis for dynamic characteristic of stochastic structure [J]. Journal of Vibration Engineering, 2011, 24(2): 133—138.

[3] Kaminski M M, Szafran J. Stochastic finite element analysis and reliability of steel telecommunication towers [J]. CMES-Computer Modeling in Engineering & Sciences, 2012, 83(2): 143—167.

[4] Simoen Ellen, Moaveni Babak, Conte Joel P, et al. Uncertainty quantification in the assessment of progressive Damage in a 7-Story Full-Scale Building Slice [J]. Journal of Engineering Mechanics, 2013, 139(12): 1 818—1 830.

[5] Cornwell P, Farrar C R, Doebling S W, et al. Environmental variability of modal properties [J]. Experimental Techniques, 1999, 23(6): 45—48.

[6] 李順龍, 李惠, 歐進萍, 等. 考慮溫度和風速影響的橋梁結構模態參數分析 [J]. 土木工程學報, 2009, 42(4): 100—106.

LI Shunlong, LI Hui, OU Jinping, et al. Identification of modal parameters of bridges considering temperature and wind effects [J]. China Civil Engineering Journal, 2009, 42(4): 100—106.

[7] Zhang Q W, Fan L C, Yuan W C. Traffic-induced variability in dynamic properties of cable-stayed bridge [J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamic, 2002, 31(11): 2 015—2 021.

[8] 鄧揚, 丁幼亮, 李愛群. 環境條件影響下懸索橋模態頻率變異性的定量評價 [J]. 振動與沖擊, 2011, 30(8): 230—236.

DENG Yang, DING Youliang, LI Aiqun. Quantitative evaluation of variability in modal frequencies of a suspension bridge under environmental conditions [J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(8): 230—236.

[9] Hun W H, Moutinho C, Caetano E. Continuous dynamic monitoring of a lively footbridge for serviceability assessment and damage detection [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2012, 33(1): 38—55.

[10]易偉建, 趙新. 持續荷載作用下鋼筋銹蝕對混凝土梁工作性能的影響 [J]. 土木工程學報, 2006, 39(1): 7—12.

YI Weijian, ZHAO Xin. The effect of bar corrosion on the performance of reinforced concrete beam s under long-term load [J]. China Civil Engineering Journal, 2006, 39(1): 7—12.

[11]李枝軍, 李愛群, 韓曉林. 潤揚大橋懸索橋動力特性分析與實測變異性研究 [J]. 土木工程學報, 2010, 43(4): 92—98.

LI Zhijun, LI Aiqun, HAN Xiaolin. Dynamic analysis and experimental study of variations of the dynamic parameters of the Runyang suspension bridge [J]. China Civil Engineering Journal, 2010, 43(4): 92—98.

[12]蔣友寶, 劉揚, 張建仁. 鋼筋混凝土拱肋破壞過程中的模態變化 [J]. 中南大學學報(自然科學版), 2012, 43(1): 338—345.

JIANG Youbao, LIU Yang, ZHANG Jianren. Modal changes in failure process for reinforced concrete arch rib [J]. Journal of Central South University (Science and Technology), 2012, 43(1): 338—345.

[13]Liu C Y, DeWolf J T, Kim J H. Development of a baseline for structural health monitoring for a curved post-tensioned concrete box-girder bridge [J]. Engineering Structures, 2009, 31(12):3 107—3 115.

[14]孫君, 李愛群, 丁幼亮, 等. 潤揚大橋懸索橋模態頻率-溫度的季節相關性研究及其應用 [J]. 工程力學, 2009, 26(9): 50—55.

SUN Jun, LI Aiqun, DING Youliang, et al. Research on correlation of modal frequency and seasonal temperature of Runyang Suspension Bridge [J]. Engineering Mechanics, 2009, 26(9): 50—55.

[15]Moser P, Moaveni B. Environmental effects on the identified natural frequencies of the Dowling Hall Footbridge [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2011, 25(7): 2 336—2 357.

[16]Hua X G, Ni Y Q, Ko J M, et al. Modeling of temperature-frequency correlation using combined principal component analysis and support vector regression technique [J]. Journal of Computing in Civil Engineering, 2007, 21(2): 122—135.

[17]Ding Y L, Deng Y, Li A Q. Study on correlations of modal frequencies and environmental factors for a suspension bridge based on improved neural networks [J]. Science China Technological Sciences, 2010, 53(9):2 501—2 509.

[18]Zhou H F, Ni Y Q, Ko J M. Eliminating temperature effect in vibration-based structural damage detection [J]. Journal of Engineering Mechanics, 2011, 137(12): 785—796.

[19]周紀薌, 茆詩松. 質量管理統計方法[M]. 北京: 中國統計出版社, 2006

[20]王真, 程遠勝. 基于受控結構振動響應的控制圖損傷識別 [J]. 工程力學, 2009, 26(8): 194—200.

WANG Zhen, CHENG Yuansheng. Damage identification using time-domain response of structural under control and control charts [J]. Engineering Mechanics, 2009, 26(8): 194—200.

[21]伊廷華, 郭慶, 李宏男. 基于控制圖的GPS 異常監測數據檢驗方法研究 [J]. 工程力學, 2013, 30(8): 133—141.

YI Tinghua, GUO Qing, LI Hongnan. The research on detection methods of GPS abnormal monitoring data based on control chart [J]. Engineering Mechanics, 2013, 30(8): 133—141.

[22]呂中亮, 楊昌棋, 安培文, 等. 多點激勵模態參數識別方法研究進展 [J]. 振動與沖擊, 2011, 30(1): 198—203.

LV Zhongliang, YANG Changqi, AN Peiwen, et al. Progress on modal parameter identification with multiple-excitation [J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(1): 198—203.

[23]Quesenberry C P. On properties of binomial Q charts for variables [J]. Journal of Quality Technology, 1995, 27(3):184—203.

[24]Bowman A W, Azzalini A. Applied Smoothing Techniques for Data Analysis [M]. New York: Oxford University Press, 1997.

[25]Liu R, Yang L. Kernel estimation of multivariate cumulative distribution function [J]. Journal of Nonparametric Statistics, 2008, 20(8): 661—677.

[26]李枝軍, 李愛群, 韓曉林, 等. 基于最大熵譜和模糊聚類分析的斜拉橋拉索索力測試與評估 [J]. 工程力學, 2009, 26(11): 88—94.

LI Zhijun, LI Aiqun, HAN Xiaolin, et al. Measurement and estimation of the cable tension based on maximum entropy spectral and fuzzy clustering [J]. Engineering Mechanics, 2009, 26(11): 88—94.

Probabilistic detection method and its illustration for abnormal change of
bridge′s modal frequencies

DENGYang1,2,LIAi-qun3,LIUYang1,2

(1. School of Civil Engineering and Architecture, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410004, China; 2. Hunan Co-innovation Center for Advanced Construction and Maintenance Technology of Modern Highway Infrastructure, Changsha 410004, China; 3. School of Civil Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China)

Due to the randomness within the measured modal frequencies, the present study develops the probabilistic detection method for abnormal change of bridge structures′ modal frequencies based on the theories of probability and statistics. The BPNN-based correlation models between modal frequencies and structural temperature are established, so as to eliminate the temperature effects in modal frequencies. Then the cumulative distribution functions of the modal frequencies after temperature effect eliminating are estimated using Kernel density estimation method. The estimated cumulative distribution functions are converted to Q statistics based on the inverse function of standard normal distribution. At last the mean value control charts of Q statistics are constructed to detect the abnormal change of modal frequencies. The hypothesis testing results show that Q statistics follow Gaussian distributions. Accordingly, the non-normality of modal frequencies with temperature effect elimination is handled to meet the requirement of random variables′ normality in control charts. The results reveal that the probabilistic detection method of control chart have good sensitivity to the abnormal data of bridge′s modal frequencies. The proposed method can provide a reference for the analysis and application of health monitoring data of long-span bridges.

structural health monitoring; modal frequency; bridge structure; control chart; kernel density estimation

2014-04-25；

2015-08-12

國家重點基礎研究發展計劃(973計劃)(2015CB057705)；國家自然科學基金資助項目(51308073，51208067,51378081)；湖南省自然科學青年基金資助項目(14JJ3087)

U441

A

1004-4523(2015)06-0887-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.06.005

鄧揚(1984—), 男, 副教授。電話:(0731)85258698; E-mail:seudengyang@foxmail.com