層狀場地脈動卓越頻率對應的理論計算深度研究

鄧亞虹， 徐 平， 李喜安， 范 文

(1. 長安大學西部礦產資源與地質工程教育部重點實驗室， 陜西 西安 710054；2. 長安大學國土資源部巖土工程開放研究實驗室， 陜西 西安 710054；3. 鄭州大學交通運輸工程系， 河南 鄭州 450001)

層狀場地脈動卓越頻率對應的理論計算深度研究

鄧亞虹1,2， 徐 平3， 李喜安1,2， 范 文1,2

(1. 長安大學西部礦產資源與地質工程教育部重點實驗室， 陜西 西安 710054；2. 長安大學國土資源部巖土工程開放研究實驗室， 陜西 西安 710054；3. 鄭州大學交通運輸工程系， 河南 鄭州 450001)

地脈動觀測是一種簡便有效的場地土層動力特性測試方法。依據場地脈動能量中瑞利波為主的特性，基于層狀場地瑞利波彌散特征曲線，研究了不同場地條件下脈動卓越頻率對應的瑞利波波長與場地自振頻率理論計算深度之間的關系。計算結果表明:場地一定深度范圍內土層剪切波速差異特性是其主要影響因素。如果土層波速差別較小或者某一波速占主導地位，則理論計算深度與瑞利波波長比值約為1/(4a)(a為瑞利波波速與剪切波速之比)，與均勻場地結果接近；反之，土層波速差異越大，兩者比值與1/(4a)偏離越遠，且1/(4a)為比值上限。

層狀場地； 地脈動； 卓越頻率； 自振頻率； 理論計算深度

引 言

在地震活躍區進行重大工程的場地地震安全性評價時，場地動力特性的分析也是不可或缺的工作。從場地動力特性的分析方法來看，目前主要包括兩大類，即理論方法和經驗方法。理論方法基于數學模型和場地巖土工程資料，通過理論計算完成場地動力特性的分析，經驗性方法則依賴于不同局部地質條件下場地上記錄到的強震、弱震的地震動或地脈動記錄，對這些記錄分析后得到場動力特性參數。然而，在地震活動性較低時，很難記錄到有代表性的地震動樣本，且在非巖性土和堅硬巖石場地上同時得到記錄也很困難，而利用觀測場地脈動記錄進行場地動力特性分析是一種簡單、方便、經濟的測試方法[1-2]。國家標準《地基動力特性測試規范》(GB/T 50269-97)也規定，地脈動測試可為工程抗震和隔振設計提供場地的卓越周期[3]。

地脈動是地基每時每刻(即使沒有地震發生)都存在的一種微小振動，其振幅通常只有幾個微米。地脈動沒有特定振源，且在任何時間任何地點都可以觀測到它的存在[4]。地脈動的工程應用始于20世紀50年代，日本著名學者金井清(Kanai)大力推動將地脈動作為工程場地動力性能評價的一種技術手段，提出用地脈動頻譜分析法對工程場地進行分類[5]。20世紀90年代以后，Nakamura法得到廣泛應用，國際上地脈動研究熱點轉移到單點譜比(H/V)法研究[6-10]。國內地脈動研究始于20世紀60年代，很多專家學者在地脈動理論研究以及地脈動的工程應用上做出了自己的貢獻。大量研究均表明，地脈動里確實包含了很多場地土層的構造信息， 對于地脈動在工程場地動力特性評價中的應用發展歷史及成果很多學者做過系統的總結[11-13]。對于脈動中的能量組成和模態結構也有很多學者進行了研究。Toksoz和Lacoss(1968)曾對脈動的模態結構進行過詳細分析，指出，地脈動中瑞利面波的各階模態是主要成分[14]。Haubric等(1969)的研究也得出了類似的結論[15]。Liaw等(1979)用F-K法對頻率范圍為2～10 Hz的地脈動研究表明，其主要由瑞利面波組成[16]。在勻質半空間中存在的瑞利波，其波速與振動頻率無關，即具有非彌散性；在成層地基中的廣義瑞利波則具有頻散特性，即相速度與振動頻率相關。楊學林(1995)指出，若是在地表測量地脈動，則測得的便是瑞利波的彌散曲線[17]。陳云敏等(1991)和夏唐代等(1993，1996)曾對成層土中的瑞利波特性進行了深入系統的研究，研究結果表明，剪切波速和土層厚度對對瑞利波波速彌散曲線有較大影響，而質量密度和泊松比等則影響較小[18-20]。

日本金井清認為，地脈動反映了地表15～20 m內土層的自振特性。高廣運等(2000)認為，卓越頻率主要受場地淺部巖層影響[21]。中國國家標準《建筑抗震設計規范》(GB 50011-2010)規定，在按土層等效剪切波速進行場地分類時，土層厚度取為20 m[22]。鄧亞虹等(2009)采用一致質量矩陣剪切質點系法分析了某實際場地地脈動卓越頻率與對應的理論計算深度選取的問題。這里的“理論計算深度”是指當理論計算獲得與脈動卓越頻率一致的場地自振頻率時，計算模型所選取的土層總厚度。研究發現，當理論計算深度取為15 m時，脈動卓越頻率與理論計算得到的場地自振頻率基本一致，其深度約為脈動卓越頻率對應的瑞利波波長的1/(4a)時(a為瑞利波波速與剪切波波速之比)[23-24]。那么場地脈動卓越頻率反映了淺部多深范圍內土層的自振特性呢，或者說取多大的計算深度能得到與場地脈動卓越頻率相當的自振頻率呢，文章沒有進一步分析。

在上述研究工作基礎上，本文依據脈動能量中瑞利波為主的特性，基于層狀地基中瑞利波彌散特性曲線，以土體剪切波波速和土層厚度為主要影響因素，研究了不同場地條件下脈動卓越頻率對應的場地自振頻率理論計算深度問題，研究結果對于脈動卓越頻率本質意義的明晰及其合理工程應用提供了理論參考。

1 基本原理與分析步驟

將土層剪切波波速和土層厚度視為脈動卓越頻率對應的瑞利波波長與場地自振頻率理論計算深度之間關系的主要影響因素，采用具有不同剖面結構特性的無限半空間上的雙層覆蓋場地模型進行計算分析，以研究兩者之間的相互關系及其影響因素。層狀場地自振頻率的計算采用作者在文獻[24]中提出的基于一致質量矩陣的剪切質點系法(一致質量法)。一致質量法與傳統集中質量法的根本區別在于：在體系的自由振動微分方程中，使用下式所示的一致質量矩陣替代了集中質量法中的集中質量矩陣。

(1)

式中ρ和m分別為某層土單元的密度和質量，N為單元形函數矩陣。式(1)在形式上與采用線性單元和一致質量矩陣的有限單元法是一致的。從理論上而言，由于場地土層在深度方向上是一個質量連續分布體系，因而采用一致質量矩陣將獲得更接近實際的計算結果。

由單元質量矩陣Me通過組集便可得到整個體系的一致質量矩陣。由于單元的一致質量矩陣為2×2方陣，所以整體質量矩陣為下式所示的三對角線形式的矩陣。

(2)

同樣，剛度矩陣亦為如下式所示的三對角陣

(3)

文獻[24]的研究表明，由于在體系的自由振動微分方程中采用一致質量矩陣代替傳統的集中質量矩陣，因而在利用特征方程求解體系自振頻率時具有更高的精度和計算穩定性，同時避免了集中質量法所具有的“振蕩”缺陷。

成層地基瑞利波頻散特征曲線計算的傳統方法是解析法，解析法根據土層之間的力和位移連續條件來建立特征方程，但在求解時在高頻部分會出現計算機溢值，影響計算精度。夏唐代等(1993)利用有限元和解析法相結合建立的成層地基瑞利波特征方程來求解地基的頻散特征曲線，具體做法是半空間采用解析法，而成層覆蓋層采用有限元法，這不但消除了有限元法中半無限單元參數取值的問題，而且利用矩陣特征值求解方便這一優點，克服了解析法的求解困難，兼有兩者之優點。研究表明該方法能十分有效的分析復雜地基的瑞利波特性[4]。這也是本文所采用的方法，詳細內容可參看文后參考文獻[4]和[19]，這里不再贅述。

本文計算分析遵循如下步驟：首先，根據瑞利波特征方程求得模型瑞利波相速度c與波數k之間的關系曲線，并將其轉化為圓頻率ω與波長λ之間的關系；其次，取用不同計算深度采用基于一致質量矩陣的剪切質點系法計算場地基本自振頻率，獲得圓頻率ω與計算深度H之間的關系曲線；最后，根據上面獲得的ω-λ和ω-H曲線，比較相同頻率ω下λ和H之間的關系，并獲得ω-H/λ關系曲線。

2 剪切波速影響分析

如圖1所示的包括半無限空間的三層場地，保持半空間上兩層土體厚度為1，變化各土層剪切波速度之間的比值分別形成(a)，(b)和(c)3個模型，模型參數見表1。考慮計算結果的一般性和分析方便，本文所有算例模型均采用歸一化的無量綱化參數，具體做法是將各層土物理力學參數除以第一層土的對應參數得到其歸一化無量綱參數。從體系自由振動時的特征方程特點來看，歸一化處理對本文模型特征值即自振頻率和頻散曲線的求解以及瑞利波波長與計算深度之間的比較均不存在影響。

圖1 場地分層模型Fig.1 Delaminating models of sites

表1 模型參數

圖2為由瑞利波波數與波速關系曲線得到的瑞利波波長與頻率關系曲線。從圖可以看出，隨著波長的增大，頻率逐漸減小，曲線斜率也逐漸減小。由于3個模型的差別主要在于第二層土的剪切波速，故波長較小和波長較大情況下三者趨于接近，而中間部分差別較明顯。

圖2 瑞利波波長與頻率關系Fig.2 Relation between Rayleigh wavelength and frequency

圖3為3個模型自振頻率計算深度與頻率關系曲線。從圖4可以看出，與圖2所示的頻率與瑞利波波長關系類似，場地自振頻率同樣隨著計算深度的增大而減小，且下降趨勢也相同，斜率隨著深度增大而逐漸減小。

圖3 計算深度與頻率關系Fig.3 Relation between computing depth and frequency

據圖2和3可以獲得某一頻率ω所對應的瑞利波波長λ和自振頻率計算深度H，并進一步得到某一場地頻率對應的瑞利波長與計算深度之比H/λ。圖4為場地頻率ω與波長、計算深度比值(H/λ)之間的關系曲線。從圖可以看出，當頻率較大和頻率較小時，計算深度與瑞利波波長之比與均勻場地情況的比值1/(4a)(a為瑞利波波速與剪切波波速之比)比較接近。因為較大頻率時，波長和計算深度較小，主要受第一層土體性質影響，類似均勻單層情況，而頻率較小時，波長和計算深度較大，此時第三層也就是半無限空間起主導作用，而上兩層影響逐漸減弱，也類似均勻情況，故計算深度與瑞利波波長比值與1/(4a)接近。而中間頻率部分三層土影響相當，整個體系具有明顯的非均勻分層性，故兩者比值與均勻情況下有較大偏離。比較3個模型，由于模型a上兩層剪切波速度相等，即表層有較厚的均勻土層，所以其曲線在開始段有較長部分與1/(4a)接近，而模型b和c由于受第二層影響較快，所以曲線較早偏離1/(4a)直線。但在頻率較小的后半段，模型c由于第二層與第三層土體波速參數一致，故在波長和計算深度較大時，其首先使得第三層土體占據主導地位，故其曲線也最早開始回升接近1/(4a)，而模型a則最慢。

圖4 計算深度和瑞利波波長比值與頻率關系Fig.4 Relation between the ratio of computing depth to Rayleigh wavelength and frequency

上述計算分析模型固定第一和第三層土體剪切波速不變，主要分析了第二層土剪切波速變化對瑞利波波長與計算深度關系的影響，下面將用三個更具一般性的三層場地模型來分析土層之間剪切波差異性大小對兩者關系的影響。

如圖5所示的包括半無限空間的三層場地，從模型a到模型c，各土層剪切波速度之間的比列關系逐漸增大，也就是場地土層差異性逐漸增大，模型參數如表2所示。

圖5 場地分層模型Fig.5 Delaminating models of sites

表2 模型參數

圖6為場地頻率ω與波長、計算深度比值(H/λ)之間的關系曲線。從圖6可以看出，場地土層剪切波速度差異性大小對波長與計算深度之間的比列關系有明顯的影響。3個模型中，模型1土層剪切波差異最小，相對于其他兩個模型，可視為較均勻場地，因此曲線較為平緩，計算深度與波長比值變化較小，基本上都在1/(4a)附近。模型c土層差異最大，不均勻性最強，因而曲線與1/(4a)線之間的距離也最大，計算深度與波長比值最小，曲線偏離最大處僅為模型a的1/3左右。模型b土層差異性居中，曲線也間于模型a和模型c之間。對于同一條曲線，與前一樣，當頻率較小和頻率較大時，曲線與1/(4a)線偏離較小，中間頻率部分相對較大。

圖6 計算深度和瑞利波波長比值與頻率關系Fig.6 Relation between the ratio of computing depth to Rayleigh wavelength and frequency

3 土層厚度影響分析

如圖7所示的包括半無限空間的三層場地，保持第一層土厚度為1以及三層剪切波分別為1，2和3不變，變化第2土層厚度分別形成(a)，(b)和(c)3個模型，模型參數見表3。

圖7 場地分層模型Fig.7 Delaminating models of sites

表3 模型參數

圖8為根據瑞利波波速與波速關系曲線轉換得到的瑞利波波長與頻率關系曲線。從圖可以看出，隨著波長的增大，頻率逐漸減小，曲線斜率也逐漸減小。由于3個模型的差別主要在于第二層土厚度不同，故波長較小和波長較大情況下三者趨于接近，而中間部分有一定差別。但與前面圖1三個模型比較，中間層厚度變化的影響相較于波速變化影響較小，故曲線差別也較圖2要小。

圖8 瑞利波波長與頻率關系Fig.8 Relation between Rayleigh wavelength and frequency

圖9為3個模型自振頻率計算深度與頻率關系曲線。從圖9可以看出，與圖9所示的頻率與瑞利波波長關系類似，場地自振頻率同樣隨著計算深度的增大而減小，且下降趨勢也相同，斜率隨著深度增大而逐漸減小。

圖9 計算深度與頻率關系Fig.9 Relation between computing depth and frequency

同樣，據圖8和9可以獲得某一頻率ω所對應的瑞利波波長λ和自振頻率計算深度H，并進一步得到某一頻率ω對應的瑞利波長與計算深度之比(H/λ)。圖10為場地頻率ω與波長、計算深度比值(H/λ)之間的關系曲線。從圖10可以看出，同前面中間層波速變化模型一樣，當頻率較大和頻率較小時，計算深度與瑞利波波長之比與均勻土層情況的比值1/(4a)很接近，而中間頻率部分三層土影響相當，整個體系具有明顯的非均勻分層性，故兩者比值與均勻情況下有較大偏離。比較3個模型，曲線差別與前面圖1三個模型相比要小得多，從圖可以看出，曲線前半段也就是頻率較大時三者差別很小；第二層厚度越小，計算深度和瑞利波波長比值越早開始偏離，但同時，其曲線也較早回升到1/(4a)線，厚度越大則剛好相反，偏離起點晚，同時回歸也最慢。與土層波速影響相比，土層厚度變化影響相對較小，3條曲線差異較圖4和6要小得多。

圖10 計算深度和瑞利波波長比值與頻率關系Fig.10 Relation between the ratio of computing depth to Rayleigh wavelength and frequency

4 結束語

綜合上面的分析，可以認為，場地脈動卓越頻率對應的瑞利波波長與相應自振頻率理論計算深度之間的關系與場地一定深度范圍內土體的剪切波波速差異性大小密切相關，如果這部分土層波速差別不大或者某一個剪切波速范圍內的土體占主導地位，可近似為某一平均波速下的均勻土層，則兩者比值接近1/(4a)，也就是說采用場地脈動卓越頻率對應的瑞利波波長的1/(4a)厚度土層計算得到的場地自振頻率與場地測得的脈動卓越頻率基本一致。反之，土體差異性越大，兩者比值與1/(4a)偏離越遠，且1/(4a)為其上限。地脈動卓越頻率一般反應場地淺部土層的動力特性，因此，可根據土層勘察資料顯示的一定深度范圍內土體的實際情況來進行具體判斷。從瑞利波位移分布特性來看，隨深度增加，水平向和垂向位移均衰減很快，波能量集中在1倍波長深度范圍。而1/(4a)一般約為0.3左右，可見，地脈動卓越頻率實際反映了受瑞利波影響最為明顯，即瑞利波位移幅值最大的較淺深度范圍內土層的振動特性。

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Theoretical calculation depth corresponding to microtremors predominant frequency of layered soils

DENGYa-hong1,2，XUPing3，LIXi-an1,2，FANWen1,2

(1. Key Laboratory of Western Mineral Resources and Geological Engineering, Ministry of Education,Chang′an University, Xi′an 710054, China; 2. Open Research Laboratory of Geotechnical Engineering,Ministry of Land and Resources, Chang′an University, Xi′an 710054, China;3. Department of Transportation Engineering, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China)

Microtremors observing is a kind of convenient and effective test method for site soils dynamic characteristics. According to the character of Rayleigh wave is the main energy in microtremors of sites and based on the Rayleigh wave dispersion curve of layered soils, the relationship between Rayleigh wave length and theoretical calculation depth corresponding to microtremors predominant frequency is analyzed. Computation results show that, the difference characteristics of soil layers shear wave velocity of site are the main influencing factor. If the difference of shear wave velocities is small or a certain wave velocity is dominant, then the ratio of theoretical calculation depth to Rayleigh wave length is about 1/(4a) (ais the ratio of Rayleigh wave length to shear wave length). That is, is close to the result of uniform site. Conversely, the bigger difference of soil layers wave velocities, the further away to the ratio of 1/(4a), and 1/(4a) is the upper limit.

layered soils; microtremors; predominant frequency; natural frequency; theoretical calculation depth

2014-02-11；

2015-01-07

國家自然科學基金資助項目(41372327)

TU352.12; O328

A

1004-4523(2015)03-0366-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.03.005

鄧亞虹(1978—),男,副教授。電話:15809185867; E-mail:hoverdyh@zju.edu.cn