高階橢圓齒輪參數化建模與模態分析

黃志東，趙文珍

（遼寧科技學院 機械工程學院，本溪 117004）

高階橢圓齒輪參數化建模與模態分析

黃志東，趙文珍

（遼寧科技學院 機械工程學院，本溪 117004）

0 引言

非圓齒輪傳動機構在運動學方面的特征，就是實現主、從動機構轉角間的非線性關系，因此可利用它來代替常用的連桿機構和凸輪機構，并且仍然具有普通圓齒輪的優點，如：機構位置緊湊、剛性好、傳動平穩等[1]。隨著CAD技術以及數控技術的不斷成熟，非圓齒輪的設計與加工不斷完善，其應用領域也越來越廣[2]。國內的學者和研究人員對非圓齒輪已經做了大量的研究工作。文獻[3]介紹了非圓齒輪機構所能提供的瞬時角速比規律。文獻[4]推導了幾種常見的凸封閉節曲線的計算公式。文獻[5]建立了用工具斜齒條法加工斜齒非圓齒輪的理論研究數學模型。國外也對非圓齒輪進行了很多研究。文獻[6]詳細討論了橢圓齒輪副的計算機輔助設計。文獻[7]設計了非圓齒輪行星輪系。文獻[8]研究了非圓齒輪與桿系機構的結合使用。

非圓齒輪的節曲線呈非圓形，因此確定非圓齒輪各個輪齒的位置以及各個輪齒的方向都成為極大的難題[1]。這使得三維建模的難度較大，效率極低，從而影響后續的有限元分析及運動仿真等環節。參數化建模是解決此類問題的有效手段[9,10]，因此本文利用CATIA軟件的二次開發，針對非圓齒輪中較常見的高階橢圓齒輪進行參數化建模，通過修改輸入的參數，自動生成模型，大大縮短了建模周期，提高了研究效率。同時對快速生成的高階橢圓齒輪模型進行模態分析，得到各階模態固有頻率及振型，并分析了變化規律。

1 非圓齒輪基本理論

高階橢圓齒輪的節曲線方程式為：

n為階數；

a為橢圓的長半軸；

e為橢圓的偏心率。

各階橢圓齒輪的節曲線形狀如圖1所示。

圖1 各階橢圓齒輪的節曲線

由文獻[11]可知，要使高階橢圓齒輪的節曲線不出現凹形，需滿足的條件為：

為了保證在長軸上分布輪齒時，在短軸上分布齒槽，應保證高階橢圓齒輪的齒數為：

式中，N為自然數。

2 二次開發程序編制及關鍵技術

2.1 二次開發基本思路

針對高階橢圓齒輪的特點，二次開發的基本流程如圖2所示。

圖2 二次開發基本流程

2.2 關鍵技術

2.2.1 獲取極角

由于橢圓齒輪的每一個輪齒都不相同，所以應先計算出節曲線上各輪齒位置處的曲率半徑大小以及曲率中心位置，然后才能確定輪齒的方向。

根據高等數學基本知識可知，曲線上任意一點處的曲率半徑為：

式中，r為曲線上任意點的極徑。

由式(1)和式(4)可知，只要確定出極角 ，便可計算出曲率半徑ρ。但是，由于CATIA軟件的內部代碼測量的角度α只能是銳角，這就需要建立極角 與測量角度α之間的函數關系。

以焦點O為原點，水平向右方向為x軸正方向，豎直向上方向為y軸正方向，建立直角坐標系，則各輪齒所在位置共分為四個象限，如圖3所示。

2.2.2 確定輪齒位置

輪齒位置的確定，就是將其節曲線按輪齒數z等分，每個等分點即為輪齒中心。但是在CATIA二次開發中，這個等分點命令沒有對應的代碼，所以這里采用的方法是，先測量節曲線的周長s，然后計算第i個等分點與第一個等分點的弧長si，最后分別找到各等分點。

si的計算公式為：

2.3 二次開發程序的編制

本文二次開發程序采用的是VB語言，完整的程序約有1800行。由于篇幅所限，這里只給出二次開發的部分程序如下：

實際應用時，可以直接在窗體中輸入相關參數，其界面如圖4所示。

圖4 輸入參數界面

3 非圓齒輪模態分析

3.1 非圓齒輪實體建模

為了研究非圓齒輪的階數和偏心率對模態分析的影響，需要建立大量的各種參數的模型。為了提高建模效率，所有非圓齒輪的實體模型都是在CATIA軟件環境中利用前面的二次開發程序自動生成的。各模型的基本參數如表1所示。

表1 非圓齒輪模型基本參數

3.2 劃分網格、添加約束并求解

利用CATIA軟件的有限元分析模塊，選擇四面體單元，并在非圓齒輪孔圓柱面添加固定約束，進行求解。圖5給出了n=2，m=1，z=22，e=0.05的卵形齒輪前五階模態振型圖。

3.3 偏心率對固有頻率的影響

非圓齒輪偏心率的改變將大大影響其運動學和動力學性能。因此，研究偏心率對非圓齒輪固有頻率的影響是十分必要的。按照表1中的數據，對各非圓齒輪進行模態分析，所得結果如圖6、圖7和圖8所示。

圖6 偏心率對橢圓齒輪固有頻率的影響

圖7 偏心率對卵形齒輪固有頻率的影響

圖8 偏心率對三階橢圓齒輪固有頻率的影響

經分析可得：

1）由圖6～圖8可知，固有頻率隨階數的增加而增大；

2）由圖6可知，當e≥0.25時，橢圓齒輪前三階固有頻率的大小隨偏心率的增大逐漸減小。當e=0.2時，橢圓齒輪前三階固有頻率最小。由于低階振型對機構的影響更大，因此在滿足運動要求的前提下，應盡量選擇橢圓齒輪的偏心率在0.25～0.3。

3）由圖7可知，卵形齒輪前三階固有頻率的大小隨偏心率的增大逐漸減小。因此偏心率越大，卵形齒輪的工作狀況越不利。

4）由圖8可知，三階橢圓齒輪前三階固有頻率變化微小。e≤0.06的三條線位于e≥0.08的三條線下方，因此應盡量選擇三階橢圓齒輪的偏心率在0.08～0.12。

4 結論

1）利用CATIA軟件的二次開發功能，實現了高階橢圓齒輪參數化建模。通過輸入參數，便可自動生成高階橢圓齒輪模型，大大提高了建模效率。

2）借助于二次開發程序，快速生成不同參數的高階橢圓齒輪模型，并完成其有限元模態分析，得到前五階固有頻率及對應的振型，為動態設計提供依據。

3）研究偏心率對不同階數的高階橢圓齒輪固有頻率大小的影響，分析表明，偏心率對高階橢圓齒輪固有頻率影響較大。因此，在設計高階橢圓齒輪時，應合理選取偏心率e的取值。

[1]李福生.非圓齒輪與特種齒輪傳動設計[M].北京:機械工業出版社,1983.

[2]吳序堂,王貴海.非圓齒輪及非勻速比傳動[M].北京:機械工業出版社,1997.

[3]徐輔仁.試探非圓齒輪機構瞬時角速比規律[J].機械傳動,1991,15(1):40-41.

[4]劉永平,吳序堂,李鶴岐.常見的凸封閉節曲線非圓齒輪副設計[J].農業機械學報,2007,38(6):143-146.

[5]侯東海,劉忠明,吳序堂.用工具斜齒條法加工斜齒非圓齒輪的嚙合理論模型[J].機械工程學報,2003,39(8):49-54.

[6]Bair B.Computer Aided Design of Elliptical Gears[J].Journal of Mechanical Design,2002,126:787-793.

[7]Mundo D.Geometric Design of a Planetary Gear Train with Non-Circular Gears[J].Mechanism and Machine Theory,2006,41:456-472.

[8]Modler K, Lovasz E, Bar G,et al.General Method for the Synthesis of Geared Linkages with Non-Circular Gears[J].Mechanism and Machine Theory,2009,44(2):726-738.

[9]馬詠梅,丁行武,李鑫.SolidWorks二次開發在機械零件設計中的應用與研究[J].機械傳動,2010,34(1):72-74.

[10]張文麗.VB二次開發Pro/ENGINEER建立齒輪參數化模型系統[J].機械傳動,2010,34(9):50-52.

[11]劉永平,孟鵬飛.基于MATLAB的高階橢圓齒輪副節曲線的設計[J].機械,2010,37(2):39-42.

Parametric modeling and finite element modal analysis of high-order elliptical gear

HUANG Zhi-dong, ZHAO Wen-zhen

分析高階橢圓齒輪的參數特征，利用CATIA軟件的二次開發功能，實現高階橢圓齒輪的參數化建模。研究二次開發中的關鍵技術，通過直接輸入參數的方式，自動生成一系列高階橢圓齒輪模型，并對其進行有限元模態分析，闡明偏心率對不同階數的高階橢圓齒輪固有頻率的影響。文章的高階橢圓齒輪參數化建模方法大大提高非圓齒輪的建模效率，所得結果表明，偏心率的選取對不同階數的高階橢圓齒輪固有頻率有較大影響。

非圓齒輪；高階橢圓齒輪；二次開發；模態分析；偏心率

黃志東（1979 -），男，遼寧本溪人，講師，博士，主要從事機械設計制造及其自動化方面的研究。

TH132.424

A

1009-0134(2015)12(上)-0008-04

10.3969/j.issn.1009-0134.2015.23.03

2015-07-23

國家重大科技支撐計劃（863計劃）資助項目（2014BAF08B01）；遼寧科技學院博士科研啟動基金項目（1406B02）