淺談數學概念的教學

潘倩

【摘 要】 高中數學新課標提出了與時俱進地認識“雙基”的基本理念，概念教學是數學教學中的重要組成部分，在新課程理念下，了解概念的體系、優化概念教學的設計、剖析概念的本質、掌握概念的符號、重視概念的鞏固，真正達到認識數學思想和本質的目的。

【關鍵詞】數學概念;教學

恩格斯說：“在一定意義上，科學的內容就是概念的體系。”數學概念是整個數學知識體系的基礎，是進行數學推理、判斷、證明的依據，是建立數學定理、法則、公式的基礎，也是形成數學思想方法的出發點。數學概念的教學既是數學教學的重要環節，又是數學學習的核心，其根本任務是準確地揭示概念的內涵與外延，是學生思考問題、推理證明有所依據，能有創見地解決問題?？梢哉f掌握數學概念是學好數學的關鍵。因此，數學概念的教學也相應稱為數學教學的重要環節。高中數學教學實踐表明數學概念是數學中既不易教也不易學的內容。在數學教學中要自始至終抓住數學概念的本質屬性及其內部聯系，就要了解概念的體系，關注概念的引入，剖析概念的本質，掌握概念的符號，重視概念的鞏固。

一、了解概念的體系

數學概念是導出全部數學定理、法則的邏輯基礎，數學概念是相互聯系、由簡到繁而形成的學科體系。人們認識事物的本質特征通常不可能一次性孤立完成。事實上，學生“獲得的知識，如果沒有完滿的結構把他聯系在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。一連串不連貫的論據在記憶中僅有短促的可憐的壽命”。因此，數學概念的教學，要弄清楚學習這個概念需要怎樣的基礎，分析這個概念以后有何用處，它的地位和作用如何。這樣，在講授時就能主次分明，輕重得當，既復習鞏固已學過的概念，又為后繼概念作恰當的孕伏。例如，“絕對值”是貫穿整個中學數學的重要概念，先是在有理數中引入;接著在算術根中出現了=|a|，把絕對值得概念拓展到實數范圍;最后在復數中，絕對值的概念擴展成了復數的模|a+bi|=（a，b∈R）。

二、關注概念的引入

傳統的概念教學將獲得知識結論作為主要目標，忽視了學生在知識形成過程中的重要作用，使學生的學習行為更多的表現為機械記憶，而不是理性分析。根據建構主義學習理論學習應是認知主體的內部心理過程，學生是信息加工的主體。高中數學新課標中提出了“過程與方法”這一教學目標維度，在這一維度下，新課程對學生的學習要求從原來的“知識性”向“過程性”轉變。概念的引入是進行概念教學的第一步，這一步走得如何，對學好概念有重要的作用。

1.提供現實原型。著名教育家杜威曾說：“教學絕對不僅僅是簡單地告訴，教學應該是一種過程的經歷，一種體驗，一種感悟?！睌祵W教學中，教師應立足教材，著眼學生的發展，把握核心知識內容，有效開展自主探究活動，向學生展示本質，是學生理解數學概念的形成過程。形成準確概念的首要條件，是使學生獲得十分豐富和合乎實際的感性材料。因此，在教學中要密切聯系數學概念的現實原型，引導學生分析日常生活和生產實際中常見的事例，觀察有關的實物、圖示、模型，在具有充分的感性認識的基礎上引入概念。例如在“異面直線”概念的教學中，教師應先展示概念產生的背景，如在粉筆盒這樣一個長方體模型中，當學生找出兩條既不平行又不相交的直線時，教師告訴學生像這樣的兩條直線稱之為異面直線，接著教師可提出問題“什么是異面直線呢？”可讓學生進行討論，嘗試敘述，再進行反復修改可得出異面直線的簡明、準確而嚴謹的定義“我們把不在任何一個平面上的兩條直線稱為異面直線”。再讓學生找出教室中的異面直線，再以平面為襯托作出異面直線的圖，這樣學生對異面直線的概念就有了一個較為明確的認識，同時也讓學生經歷了概念發生發展過程的體驗。

2.從數學內在需要引入概念。例如，在實數范圍內，方程x2+1=0沒有解，為了使它有解，就引入了一個新數i，i滿足i2=-1，它和實數一起可以按照通常的四則運算法則，進行計算。由此再引入復數的概念。于是方程x2+1=0就有解了。

3.用類比的方法引入概念。類比不僅是思維的一種重要形式，而且是引入新概念的一種重要方法。任何數學概念必定有與之相關的最近概念，因此教學中要以學生已掌握了的知識為基礎，引導學生探求新舊概念之間的區別與聯系，通過類比教學引出新概念。例如，二面角可類比平面角引入，平面與平面的位置關系可類比平面上直線與直線的位置關系引入，平面向量加法的三角形法則、平行四邊形法則概念的引入可以與物理學科中的位移的合成、力的合成進行類比引入等。

三、剖析概念的本質

概念在人們頭腦中形成，僅是人們對概念認識的開始，對概念認識的深化必須從概念的內涵與外延上作深入的剖析。概念的內涵是指反映在概念中的對象的本質特征。概念的外延是指具有概念所反映的本質屬性的對象。內涵是概念的質的方面，即概念所反映的事物是什么樣子的。外延反映的是概念的量的方面，即概念的適用范圍，它說明概念反映的是哪些實物。以三角函數的概念為例，對六個基本三角函數的定義，應抓住其中一個，如正弦函數sinα=y，可這樣進行分析：正弦函數的值本質上是一個“比值”，它是角α的終邊上任意一點的縱坐標y與這一點到原點的距離r的比值，因此它是一個數值;指出由于|y|≤r，所以這個比值不超過1，這個比值與點在角的終邊上的位置無關，這可用相似三角形的原理來說明;這個比值的大小，隨著α的變化而變化，當α取某個確定的值，比值也有唯一確定的值與之相對應。如此，以函數概念為基本線索，從中找出了自變量、函數以及對應法則，從而對正弦函數概念的理解就比較深刻了。經過對正弦函數概念的本質屬性分析之后，指出角的終邊上的任意一點P（x，y）一經確定，就涉及x，y，r這三個量，任取其中兩個量組成比值，有且僅有六個。因此，基本三角函數就有六個，從而對三角函數的外延，就揭示的非常清楚了。

四、掌握概念的符號

用數學符號表示數學概念既是數學的特點又是數學的優點。由于數學概念本身就十分抽象，加上用數學符號表示，就更加抽象了，因而在數學概念教學中使學生真正掌握概念符號的意義是十分重要的。例如，學生往往將正弦函數的符號“sin”看成一個數，從而得出如下的錯誤等式：sin（α+β）=sinα+sinβ。所以在教學中，要始終給形式符號以具體的內容，時刻提醒學生注意符號的意義及使用符號的條件。

五、重視概念的鞏固

初步形成的概念，鞏固程度差，易受相近概念的干擾，適時利用變式訓練有助于糾正學生的思維偏差。概念鞏固是概念教學的重要環節。心理學原理告訴我們，概念一旦獲得，如不及時鞏固，就會被遺忘。鞏固概念，首先應在引入、形成概念后，及時進行復述，以加深對概念的印象。其次應重視在發展中鞏固。第三是通過概念的應用來鞏固。概念的應用要注意遞進的過程，即由初步的，簡單的應用，逐步發展到較復雜的應用。要引導學生在判斷、推理、證明中運用概念，在日常生活、生產實踐中運用概念，以加深對概念的理解，達到鞏固概念的目的。例如，教學對數的概念后，可以通過以下四類練習題予以鞏固：

第一類，使學生習慣于對數符號logaN=b的運用，把“對數”與“對應的指數”聯系起來，如把23=8，3-2=，5x=625等改寫成對數式;把log432=，log3=x，log7N=2等改寫成指數式。

第二類，使學生了解對數、真數、底數三者之間的關系，如求對數：log525，log4，log9;求真數：log27x=，logx=4，logax=5（a>0，a≠1）;求底數：logx8=3，logx9=，logx5=-2。

第三類，使學生對底數a和真數N的取值有清晰的認識，如判斷下列各式是否成立：

1.log12=a，log（-2）16=4，log4（-20）=b;

2.求x：logx9=2，log（x+2）（x2-2x-2）=0。

第四類，通過對數恒等式a=N（a>0，a≠1）的證明，可以使學生深刻地理解對數的定義。

通過這些練習，可以使學生逐步學會運用對數概念進行判斷、推理和證明。在運用的過程中，加深對對數概念的理解。

人類的認識過程是一個特殊的心理過程，對于數學概念的理解和掌握，智力不同的學生完成這個過程往往有明顯的差異。在教學中要面向全體學生出發，從不同的角度，設計不同的方法，使學生對概念作辯證的分析，進而認識概念的本質屬性。例如選擇一些簡單的鞏固練習來辨認、識別，幫助學生掌握概念的內涵與外延;通過變式或變式圖形，深化對概念的理解;通過新舊概念的對比，分析概念的矛盾運動，抓住概念之間的區別與聯系來形成正確的概念。只有讓學生深刻理解并掌握了概念，才能更好的幫助學生認識數學，進一步發展學生的數學思維，提高學生的理解能力。

【參考文獻】

[1]布魯納.《教育過程》.文化教育出版社.第48頁

[2]朱秀紅.《高中數學概念教學的分析與思考》.《數學教學通訊》.（教師版）.2011.3.第13頁

（作者單位：江蘇省外國語學校）