淺談立體幾何教學(xué)的復(fù)習(xí)策略探究

王曉宇

【摘 要】 立體幾何是高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的重要知識(shí)板塊，在立體幾何教學(xué)中既有培養(yǎng)空間思維的傳統(tǒng)方式方法，也有立足于代數(shù)運(yùn)算的向量方法，如何對(duì)立體幾何教學(xué)進(jìn)行合理、有效的復(fù)習(xí)探究，是教師教學(xué)需要關(guān)注的。

【關(guān)鍵詞】立體幾何;復(fù)習(xí)策略;空間感知;空間想象能力;向量;傳統(tǒng)法

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)板塊，其在建立學(xué)生空間感知、圖形結(jié)構(gòu)、空間想象能力方面有著重要的作用。陜西師大羅增儒教授對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于立體幾何的建議如此解讀：要努力培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，使學(xué)生掌握空間點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，逐步建立起空間感知，既要注重傳統(tǒng)立體幾何公理化體系對(duì)學(xué)生空間知識(shí)的螺旋式搭建，也要讓學(xué)生了解空間向量對(duì)解決立體幾何問(wèn)題的作用。

從標(biāo)準(zhǔn)的這一段解讀中，筆者認(rèn)為空間幾何教學(xué)需要教授的是立體幾何的關(guān)鍵與核心，從兩個(gè)分支來(lái)說(shuō)，即需要掌握公理化體系與向量解決方案的共同實(shí)施;從知識(shí)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，空間幾何的核心考查圍繞于空間感知、平行與垂直、角和距離等以及其他各種相關(guān)小題;從能力訴求來(lái)說(shuō)，考查空間問(wèn)題平面化的能力以及運(yùn)用代數(shù)方式解決立體幾何的向量運(yùn)算能力。鑒于上述分析，筆者認(rèn)為空間幾何教學(xué)的復(fù)習(xí)策略要注重下列方面：

1.關(guān)注空間感知

立體幾何在空間感知方面需要長(zhǎng)時(shí)間的培養(yǎng)和鞏固訓(xùn)練，這主要從公理化體系中的命題判斷、對(duì)一些問(wèn)題的直觀感知等方面進(jìn)行培養(yǎng)?？臻g感知對(duì)于學(xué)生而言，是立體幾何教學(xué)最感性的培養(yǎng)，空間感知培養(yǎng)是否優(yōu)秀對(duì)于學(xué)生解決立體幾何的概念性問(wèn)題有著極為重要的指導(dǎo)，因此立體幾何教學(xué)復(fù)習(xí)的首要是給予學(xué)生扎實(shí)的雙基培養(yǎng)。

案例1：l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題錯(cuò)誤的是 ? ? 。

（1）l1⊥l2，l2⊥l3？圯l1∥l3;（2）l1⊥l2，l2∥l3？圯l1⊥l3。

（3）l1∥l2∥l3？圯l1，l2，l3共面;（4）l1，l2，l3共點(diǎn)？圯l1，l2，l3共面。

易錯(cuò)分析：由于空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系是在空間考慮，這與在平面上考慮點(diǎn)、線的位置關(guān)系相比復(fù)雜了很多，特別是當(dāng)直線和平面的個(gè)數(shù)較多時(shí)，各種位置關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜、相互交織，如果考慮不全面就會(huì)導(dǎo)致一些錯(cuò)誤的判斷。

解析：當(dāng)l1⊥l2，l2⊥l3時(shí)，l1與l3也可能相交或異面，故（1）不正確;當(dāng)l1∥l2∥l3時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故（3）不正確;l1，l2，l3共點(diǎn)時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，故（4）不正確。因此（1）（3）（4）為錯(cuò)誤命題。

溫馨提醒：（1）平面幾何中的一些定理和結(jié)論在空間中不一定成立，如“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”在空間中不成立，所以在用一些平面幾何中的定理和結(jié)論時(shí)，必須說(shuō)明涉及的元素都在某個(gè)平面內(nèi);（2）解決點(diǎn)、線、面位置關(guān)系問(wèn)題的基本思路：一是逐個(gè)判斷，利用空間線面關(guān)系證明正確的結(jié)論，尋找反例否定錯(cuò)誤的結(jié)論;二是結(jié)合長(zhǎng)方體模型或?qū)嶋H空間位置（如課桌、教室）作出判斷，但要注意定理應(yīng)用要準(zhǔn)確、考慮問(wèn)題要全面細(xì)致。

案例2：在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有________條。

審題視角：找三條異面直線都相交的直線，可以轉(zhuǎn)化成在一個(gè)平面內(nèi)，作與三條直線都相交的直線。因而可考慮過(guò)一條直線及另外一條直線上的一點(diǎn)作平面。進(jìn)而研究公共交線問(wèn)題。

解析：方法一，在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M取不同的位置時(shí)就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn)。如右圖所示。方法二，在A1D1上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P與直線EF作一個(gè)平面α，因CD與平面α不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點(diǎn)Q，連接PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線。由點(diǎn)P的任意性，知有無(wú)數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交。

溫馨提醒：本題難度較大，問(wèn)題比較靈活。對(duì)平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系的考查，要注意的是本題解法較多，但關(guān)鍵在于構(gòu)造平面，但不少學(xué)生不會(huì)構(gòu)造平面，因此失分較多。這說(shuō)明學(xué)生還是缺少空間想象能力，缺少對(duì)空間直線位置關(guān)系的理解。

2.傳統(tǒng)與向量并舉

傳統(tǒng)公理化體系的解決方案愈來(lái)愈在教學(xué)中不受教學(xué)重視，這里既有教師教學(xué)的原因也有學(xué)生對(duì)方法選擇使用的原因。從近年來(lái)高考問(wèn)題堅(jiān)持兩種解決方案并舉的今天，筆者認(rèn)為立體幾何依舊要堅(jiān)持傳統(tǒng)公理化體系的建立，在這基礎(chǔ)之上輔以空間向量的解決方案，使學(xué)生學(xué)會(huì)兩種不同的方式掌握立體幾何問(wèn)題的解決。

例2（2013年鎮(zhèn)江模擬）如圖1，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD于點(diǎn)M。（1）求證：AM⊥PD;（2）求直線CD與平面ACM所成的角的余弦值。

分析：（1）略;（2）線面角的解決是空間幾何中最常考查的一種角的問(wèn)題，對(duì)于本題所涉及的線面角，筆者以為平時(shí)教學(xué)中宜用兩種不同的方法進(jìn)行教學(xué)，孰優(yōu)孰劣應(yīng)該由學(xué)生自己選取，學(xué)生對(duì)立體幾何不同的掌握決定其自身對(duì)向量法的使用更為合適還是傳統(tǒng)法的解決更為輕快，教師的主要職能是引導(dǎo)學(xué)生兩條腿走立體幾何的路。

說(shuō)明：（1）求線面夾角時(shí)重點(diǎn)是找到斜線在平面內(nèi)的射影，因此重點(diǎn)是找到直線上一點(diǎn)向平面作垂線。（2）求線線角和線面角時(shí)，有時(shí)可通過(guò)平移改換要求的角，有時(shí)不易直接找到角可以利用等體積法求距離，使問(wèn)題得以巧妙解決。（3）第一問(wèn)往往是為第二問(wèn)設(shè)置臺(tái)階，要注意這一規(guī)律。

總之，新課程下的立體幾何教學(xué)相比傳統(tǒng)，有了顯著的變化，我們教學(xué)既要關(guān)注立體幾何本質(zhì)的傳遞，也要掌握和熟練運(yùn)用空間向量法解決立體幾何中角和距離的常規(guī)問(wèn)題。限于篇幅，本文未對(duì)常規(guī)的角和距離問(wèn)題進(jìn)行展開(kāi)求解說(shuō)明，更多關(guān)注的是培養(yǎng)學(xué)生空間感覺(jué)、立足向量基礎(chǔ)和緊抓幾何本質(zhì)的視角，闡述了新課程立體幾何教學(xué)的復(fù)習(xí)策略。上述兩方面是立體幾何復(fù)習(xí)教學(xué)的重要方面，關(guān)注空間感知和兩條路的并舉是解決空間幾何問(wèn)題的關(guān)鍵，限于篇幅筆者用三個(gè)案例闡述了復(fù)習(xí)教學(xué)需要掌控的方向，不足之處請(qǐng)讀者批評(píng)指正和補(bǔ)充。

【參考文獻(xiàn)】

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[3]戴海林.立體幾何教學(xué)中的轉(zhuǎn)化策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊.2012.11

（作者單位：江蘇省口岸中學(xué)）