任意冪律引力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道問題

王安祥，張曉軍，高 賓，李繼軍

（1.西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安710048；2.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特010051）

0 引 言

有心力問題在力學(xué)和原子物理學(xué)中占有重要位置，在有心力問題中最常見的是平方反比引力作用下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究，例如，在萬有引力作用下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和靜電場(chǎng)力作用下點(diǎn)電荷的運(yùn)動(dòng).文獻(xiàn)［1－3］研究了質(zhì)點(diǎn)在平方反比引力和斥力作用下做有心運(yùn)動(dòng)的軌跡曲線，文獻(xiàn)［4－5］采用其他方法處理平方反比有心力問題，文獻(xiàn)［6－7對(duì)質(zhì)點(diǎn)在平方反比引力作用下的運(yùn)動(dòng)范圍和穩(wěn)定性做了深入研究.目前已有學(xué)者研究與距離成五次方反比引力作用下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道［8］，但是對(duì)與距離成任意冪律的有心力下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，卻鮮有文獻(xiàn)對(duì)其全面深入研究.文中首先采用龍格－庫塔法求解與距離成任意冪律的引力作用下物體的運(yùn)動(dòng)軌道問題［9］，然后，考慮在實(shí)際情形下物體運(yùn)動(dòng)的干擾因素，同樣采用龍格－庫塔法研究受特殊微擾力作用下物體運(yùn)動(dòng)的軌道問題.

1 與距離成任意冪律的有心力引力

若作用在質(zhì)點(diǎn)上的有心力只是r的冪函數(shù)，即

為計(jì)算方便，采用直角坐標(biāo)系，設(shè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m＝1，c＝1，則式（1）可寫成：

初始條件當(dāng)t＝0時(shí)，x＝x0，y＝y(tǒng)0，˙x＝ν0x，˙y＝ν0y.給定初始條件后，上述二階微分方程組采用龍格－庫塔法求解.圖1為與距離成不同冪指數(shù)的有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，其中L為質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量.圖1（a）～ （f）初始條件當(dāng)t＝0時(shí)，x＝1m，y＝0，˙x＝0，˙y＝0.5m/s，運(yùn)行時(shí)間t＝30s.圖1表明，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道一般是不閉合的，只有圖1（b）（n＝1）和圖1（f）圖（n＝－2）是閉合的橢圓軌道，n＝1是二維簡(jiǎn)諧振動(dòng)情形，n＝－2是距離平方反比引力情形，其他軌道都是不閉合的曲線.當(dāng)n不同時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道不同，運(yùn)動(dòng)圖像差異較大，而且可以進(jìn)一步觀察到質(zhì)點(diǎn)一方面繞力心運(yùn)動(dòng)，同時(shí)軌道本身還繞力心轉(zhuǎn)動(dòng)，軌道繞力心轉(zhuǎn)動(dòng)稱為軌道的進(jìn)動(dòng)，軌道上離力心最遠(yuǎn)點(diǎn)或最近點(diǎn)，稱為拱點(diǎn).質(zhì)點(diǎn)在拱點(diǎn)處只有橫向速度，徑向速度為零，徑向矢量在兩相鄰拱點(diǎn)之間掃過的角度稱為拱心角.n＝－2時(shí)，拱心角為Δθ＝π，例如衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)都是拱點(diǎn)，這說明軌道是閉合的，運(yùn)動(dòng)是重復(fù)的.n＝1時(shí)，拱心角為Δθ＝π/2，軌道也是閉合的.實(shí)際上，拱心角若是π的有理分?jǐn)?shù)，其軌道運(yùn)動(dòng)是閉合的，但若拱心角是π的無理數(shù)倍，運(yùn)動(dòng)不可能重復(fù)，軌道不再閉合.

2 微小擾動(dòng)對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)的影響

以上討論有心力作用時(shí)，都沒有涉及其他物體對(duì)系統(tǒng)的干擾問題，所討論的系統(tǒng)是理想的兩體系統(tǒng).實(shí)際上，這樣的情形是不存在的，例如人造地球衛(wèi)星圍繞地球運(yùn)行時(shí)，衛(wèi)星受到的力實(shí)際上并不是單一的來自地球中心的萬有引力，地球周圍的大氣以及其他星體都對(duì)衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)有影響，而且地球本身也不是一個(gè)均勻的球體，衛(wèi)星受到的作用力并不是確切地以地心為力心的有心力，上述各種因素的影響都可以在地心引力上附加一個(gè)微小的擾動(dòng)力.

從計(jì)算物理的角度出發(fā)，設(shè)擾動(dòng)力與距離的n次冪成正比，質(zhì)點(diǎn)受到的力為

式中，擾動(dòng)力的強(qiáng)度｜a｜遠(yuǎn)小于1.

將式（6）代入比耐公式中，可得

將式（7）變形，可得

圖1 與距離成不同冪指數(shù)的有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.1 Motion tracks of particle acted by the central force in which interaction spaces have different power indexes

為簡(jiǎn)化問題，令k＝1，則上式為

給定初始條件后，上述二階微分方程組也采用龍格－庫塔方法求解.圖2為不同微擾條件下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，分別對(duì)不同的擾動(dòng)強(qiáng)度｜a｜和冪次n所進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果.

這里初始條件t＝0時(shí)，u＝0.5，d u/dθ＝0.425，運(yùn)行時(shí)間為30s，假定質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m＝1kg，角動(dòng)量L＝1kg·m2/s.圖2表明，擾動(dòng)使質(zhì)點(diǎn)有心力軌道發(fā)生進(jìn)動(dòng)，在冪次n一定的條件下，擾動(dòng)的強(qiáng)度｜a｜越大，進(jìn)動(dòng)速度也就越大.

天文學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，行星在軌道上運(yùn)行時(shí)受到平方反比引力輕微的擾動(dòng)，將改變?cè)蟹€(wěn)定的軌道而形成新的運(yùn)行軌道，但是新的軌道與原來的軌道相近，因此行星運(yùn)行的軌道是穩(wěn)定的，由于大多數(shù)行星偏心率都較小，可近似認(rèn)為行星是沿著近圓軌道運(yùn)動(dòng)的［10－11］，近圓軌道運(yùn)動(dòng)的拱心角為

式中，R為近圓軌道的半徑.

對(duì)于一個(gè)給定的行星，由于星系內(nèi)其他行星所產(chǎn)生的引力擾動(dòng)可以近似的表達(dá)為a/rn，在此情況下行星受到的合引力可改寫為

利用式（10）可以得到近圓軌道的拱心角

當(dāng)n＝2時(shí)，拱心角Δθ＝π；當(dāng)n＞2時(shí)，若a＞0，則拱心角Δθ略小于π，這時(shí)拱點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化前移，即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與軌道進(jìn)動(dòng)的方向相反，若a＜0，則拱心角Δθ略大于π，拱點(diǎn)位置隨時(shí)間變化后移，即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與軌道進(jìn)動(dòng)方向相同，圖3（a）和（b）所示；當(dāng)n＜2時(shí)，若a＞0，則拱心角Δθ略大于π，拱點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化后移，即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與軌道進(jìn)動(dòng)的方向相同，若a＜0，則拱心角Δθ略小于π，拱點(diǎn)位置隨時(shí)間變化前移，即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與軌道進(jìn)動(dòng)方向相反，圖3（c）和（d）所示.結(jié)果表明，質(zhì)點(diǎn)沿近圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)拱心角的數(shù)值計(jì)算值和式（13）所得理論值比較接近.

圖2 不同微擾條件下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.2 Motion tracks of particle under the condition of different perturbation

圖3 不同微擾條件下近圓軌道運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌跡Fig.3 Motion tracks of particle moving on nearly circular orbit under the condition of different perturbation

3 結(jié)束語

質(zhì)點(diǎn)在與距離成任意冪律的有心力作用下的有心運(yùn)動(dòng)屬于非線性動(dòng)力學(xué)問題，對(duì)其問題求解需要非常復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論分析，當(dāng)冪次n越高時(shí)，則求解的難度會(huì)更大.文中采用數(shù)值計(jì)算方法分別求解與距離成任意冪律的引力作用下和受特殊微擾力作用下物體運(yùn)動(dòng)的軌道問題，對(duì)有心力問題的教學(xué)與科研具有一定的理論價(jià)值.

［1］ 周衍柏.理論力學(xué)教程［M］.北京：高等教育出版社，2009：50－65.ZHOU Yanbo.Course of theoretical mechanics［M］.Beijing：Higher Education Press，2009：50－65.

［2］ 錢樹高，夏英齊.圓錐曲線的三種表示和有心力問題［J］.云南民族大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，13（1）：27－30.QIAN Shugao，XIA Yingqi.Three expressions of conic section and central force problem［J］.Journal of Yunnan University for Nationalities，2004，13（1）：27－30.

［3］ 戴祖誠(chéng)，易燕，何松林.α粒子散射運(yùn)動(dòng)軌跡的模擬［J］.云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，29（3）：46－50.DAI Zucheng，YI Yan，HE Songlin.Simulation about the motion track of theα－scattering of particles［J］.Journal of Yunnan Normal University，2009，29（3）：46－50.

［4］ 李質(zhì)勇.關(guān)于有心力的幾點(diǎn)討論［J］.齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，22（2）：77－80.LI Zhiyong.Discussions about central force［J］.Journal of Qiqihar University，2006，22（2）：77－80.

［5］ 管壽滄，陳琪兮.有心力問題的復(fù)數(shù)求解［J］.大學(xué)物理，1995，4（9）：16－17.GUAN Shoucang，CHEN Qixi.The central force problem solved by using complex functions［J］.College Physics，1995，4（9）：16－17.

［6］ 李冠男，林景波.有心力作用下限制質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)范圍條件的確定［J］.延邊大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，35（3）：235－237.LI Guannan，LIN Jingbo.Ascertain the condition of particle motion range under the effect of centripetal force［J］.Journal of Yanbian University：Nature Science Edition，2009，35（3）：235－237.

［7］ 楊德軍，夏清華.在有心力場(chǎng)中行星運(yùn)動(dòng)軌道穩(wěn)定性的證明［J］.大學(xué)物理，2005，24（3）：18－19.YANG Dejun，XIA Qinghua.Stability of planet orbits in central field［J］.College Physics，2005，24（3）：18－19.

［8］ 那仁滿都拉.五次方反比引力作用下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道［J］.大學(xué)物理，2012，31（11）：9－10.Naranmandula.Orbits of aparticle exerted by attractive force following inverse quintic law［J］.College Physics，2012，31（11）：9－10.

［9］ 李丹.四階龍格－庫塔法在火控解算中的應(yīng)用［J］.微計(jì)算機(jī)信息，2011，27（3）：192－193.LI Dan.Fourth－order Runge－Kutta method is applied in the fire control computation［J］.Microcomputer Information，2011，27（3）：192－193.

［10］ 潘武明.力學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2004：119－122.PAN Wuming.Mechanics［M］.Beijing：Science Press，2004：119－122.

［11］ 王維娜，薛西峰.混合單調(diào)算子對(duì)的新不動(dòng)點(diǎn)定理及應(yīng)用［J］.紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào)，2014，27（3）：328－331.WANG Weina，XUE Xifeng.Mixed monotone operators of the new fixed point theorems and its application［J］.Basic Sciences Journal of Textile Universities，2014，27（3）：328－331.