中立型分數階微分控制系統能控性*

王智，蔣威(安徽大學數學科學學院，安徽合肥230601)

中立型分數階微分控制系統能控性*

王智，蔣威
(安徽大學數學科學學院，安徽合肥230601)

摘要:研究一類分數階中立型微分控制系統的能控性問題，對系統狀態方程的分析，利用拉普拉斯變換通過基本控制系統的基礎解給出了控制系統通解的表達式，并且通過構造格拉姆矩陣，研究了控制系統能控性的充分必要條件;最后通過舉出一個格拉姆矩陣的計算舉例來進行驗證。

關鍵詞:分數階;微分方程;能控性;中立型

在科學生產等與人類有關的發展過程中，系統的能控性在每次的進步中發揮著重要的作用，諸如管理系統、生態系統、電力系統、工業工程系統等實際控制系統的研究，出現了大量的控制微分問題，引起不少學者的關注，并取得了重要的成果［1－3］。文獻［4］中，研究了分數階微分控制系統能控性。在文獻［5］的基礎上，進一步研究中立型分數階微分控制系統能控性。

研究如下形式的中立型分數階微分控制問題的能控性:

其中x(t)∈Rn為狀態變量，CDα(·)定義為α階的Caputo導算子(0＜α＜1)，常數矩陣C滿足C∈Rn×p，矩陣A，B，D是n階常數矩陣且D≠0，初始函數φ∈C(［－1，0］，Rn)控制輸入u(t)∈Rp。

1　預備知識

定義1［6］設f(t)∈C(［0，∞)，R)，稱

為α階Riemann-Liouville分數積分。

定義2［6］設f(t)∈C(［0，∞)，R)，α∈(0，1 )稱

為f(t)的α階Caputo分數導數。

定義3［6］具有雙參數的Mittag-Leffler函數為

2　基本系統與概念

定義4如果存在函數X(t)滿足:

這里，I為n×n單位矩陣，則稱X(t)為系統(1)的基礎解。

對式(1)的基礎解X(t)，設Xk(h) = X(k+h)，h∈［0，1］，k = 0，1，2，…，那么對于t∈［k，k+1］，X(t) = Xk(t－k)，根據式(2)，可得:

且Ik=［0，0，…，I］n×n(k+1)，即得:

定理1方程(2)的解表示為

證明利用拉普拉斯變換，可以得:

X(t) = Xk(t－k)，即證得:，定理證畢。

定理2系統(1)的解為

3　主要結果

構造格拉姆矩陣W(0，t)滿足:

這里“T”表示矩陣的轉置。

定理3式(1)在區間［0，t1］上可控的充分必要條件矩陣W(0，t1)正定。

證明先證式(1)能控。

因為W(0，t1)是正定的，也就是說W(0，t1)是非奇異的，知W(0，t1)的逆存在，定義控制u(t)滿足:

為方便討論，這里記:x(t1) = b(b為任意實數)，函數G(t)滿足:

將式(7)代入式(6)，根據式(5)，可得:即系統(1)是能控得證。

另一方面，如果W(0，t1)不是正定的，即W(0，t1)是奇異的。設存在非零矩陣Z，使得ZTW(0，t1) Z = 0，且:

假定系統是能控的，那么一定存在控制u1(t)，使得在終點狀態x(t1) = 0，且對應的控制u1(t)

同理，矩陣Z也有一個相對應的控制u2(t)，且滿足:

比較式(9)、(10)，化簡可得:

將其兩邊同時乘以ZT，有:

比較式(7)，知ZTZ=0，而這與已知矛盾，即證明完畢。

4　應用實例

考慮式(1)，選擇t1=1，k=0，α=β=，有Ak=A0=，Bk=Ik=I，C=，Y(0) = X(0) = I，應用定00理4.1，證明式(1)是能控的。因為:

通過計算，得到:

參考文獻:

［1］鄭祖庥.泛函微分方程理論［M］.合肥:安徽教育出版社，1994

［2］劉豹，唐萬生.現代控制理論［M］.3版.北京:機械工業出版社，2006

［3］蔣威.退化時滯微分系統［M］.合肥:安徽大學出版社，1998

［4］JIANG W.The Controllability of Fractional Control Systems with Control Delay［J］.Computers and Mathematics with Applications，2012，64(10):3153-3159

［5］蔣威.中立型線性控制系統的能控性［J］.中國控制，1995(2):121-128

［6］PODLUBNY I.Fractional Differential Equations［M］.San Diego Academic Press，1999

［7］ZHOU X F，WEI J，HU L G.Controllability of a Fractional Linear Time-invariant Neutral Dynamical System［J］.Appl Math Lett，2013(26):418-424

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［10］WEI J，SONG WZ，FEI S.The Function-controllability of the Nonlinear Control Systems with State and Control Delay［J］.Word Scientific London，2000(10):143-148

Controllability of Neutral Fractional Differential Control Systems

WANG Zhi，JIANG Wei
(School of Mathematical Sciences，Anhui University，Anhui 230601，China)

Abstract:A class of the controllability of neutral fractional differential control systems is studied，and the systems equation is analyzed.By using of Laplace transformation for the basic control system，the control systems solution expression is given，and by Gram-matrix construction，the necessary and sufficient conditions for controllability of the control system is researched.Finally the validity of the theory is verified by example.

Key words:fractional; differential equations; controllability; neutral

中圖分類號:O172

文獻標識碼:A

文章編號:1672－058X(2015) 08－0001－05

doi:10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0008.001

收稿日期:2015－01－03;修回日期:2015－02－28.

*基金項目:國家自然科學基金(11371027).

作者簡介:王智(1988-)，男，安徽淮南人，碩士碩士生，從事微分控制系統能控性研究.