時變脈沖耦合神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性分析*

彭薇(重慶師范大學數(shù)學科學學院，重慶404100)

時變脈沖耦合神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性分析*

彭薇
(重慶師范大學數(shù)學科學學院，重慶404100)

摘要:討論了時變脈沖耦合神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性問題，時變脈沖的一個重要特征是不穩(wěn)定脈沖和穩(wěn)定脈沖在模型中同時存在;通過控制時變脈沖強度，可以分析時變脈沖耦合神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性，得到滿足時變脈沖耦合神經(jīng)網(wǎng)絡全局指數(shù)穩(wěn)定的幾個條件;最后，舉例表明理論結(jié)果的有效性.

關鍵詞:耦合神經(jīng)網(wǎng)絡;時變脈沖;指數(shù)穩(wěn)定

在過去的幾年里，人們討論了許多神經(jīng)網(wǎng)絡模型，比如Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡、Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡、和細胞神經(jīng)網(wǎng)絡［1，2］.到目前為止，已經(jīng)研究了許多有效的控制方法，如狀態(tài)反饋控制，間歇控制，自適應控制［3－5］.一般來說，有兩種脈沖動力系統(tǒng)，脈沖序列穩(wěn)定和脈沖序列不穩(wěn)定.許多文獻［6－11］都討論了穩(wěn)定神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定脈沖和不穩(wěn)定脈沖，大多數(shù)文獻是假定不穩(wěn)定脈沖和穩(wěn)定脈沖單獨發(fā)生，但在實踐中，不穩(wěn)定脈沖和穩(wěn)定脈沖同時存在實際系統(tǒng)中.

1　預備知識

考慮耦合神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng):

其中ui(t) = (ui，1，ui，2，…，ui，n)T∈Rn是狀態(tài)變量，D = diag(d1，d2，…，dn)表示反饋矩陣，A = (aij)n×n，B = (bij)n×n，C=(cij)n×n是權(quán)重矩陣，f(ui(t) ) = (f1(ui，1(t) )，f2(ui，2(t) )，…，fn(ui，n(t) ) )T∈Rn是激活函數(shù)，I(t)表示在t處的外部輸出的向量函數(shù)，gi:Rm→Rn是非線性耦合函數(shù)，τ(t)是時變延遲.假設耦合神經(jīng)網(wǎng)絡式(1)與沒有孤立的集合連接，那么耦合函數(shù)gi(u1(t)，u2(t)，…，uN(t) )不可約.

若xi=ui－u*，其中u*是式(1)的平衡點，可得到:

其中

假設1存在正常數(shù)Lf，使

其中x，y∈Rn，且x≠y.

假設2存在正定矩陣Mij(i，j=1，2，…，N)，使

現(xiàn)討論時變脈沖耦合神經(jīng)網(wǎng)絡:

其中{ t1，t2，…}是嚴格遞增脈沖點序列.假定x(t)在t=tk時刻是右連續(xù)，即，.因此，式(3)是一個右連續(xù)分段函數(shù)且在t=tk(k∈N+)處不連續(xù).

注1 αk表示在處的脈沖影響強度.當脈沖強度時，絕對值增加.那么脈沖為不穩(wěn)定脈沖.當脈沖強度時，絕對值減小，那么脈沖為穩(wěn)定脈沖.現(xiàn)把不穩(wěn)定脈沖和穩(wěn)定脈沖都考慮進去了.假設不穩(wěn)定脈沖強度的脈沖值取自于有限集{μ1，μ2，…，μN}，穩(wěn)定脈沖強度的脈沖值取自于有限集{ν1，ν2，…，νM}，其中(i= 1，2，…，N，j= 1，2，…，M).假設tik↑是不穩(wěn)定脈沖的脈沖強度μi的激活時間，tjk↓是穩(wěn)定脈沖的脈沖強度νi的激活時間.

假設3inf{ tik↑－ti(k－1)↑} =ξi，max{ tjk↓－tj(k－1)↓} =ζi，其中tik↑，tjk↓∈{ t1，t2，…}.

定義1如果存在M＞0，α＞0，T0＞0，使

那么式(3)是指數(shù)穩(wěn)定.

引理1令x，y∈Rn，有xTy+xyT≤εxTx+ε－1yTy.

引理2令0＜P∈Rm×m，0＜r(t)＜r，V:［0，r］→Rm，則

引理3假設0≤τi(t)≤τ，F(xiàn)(t，u1，u2，…，um):R+×R×R×…×R→R在ui處非減，Ik(u):R→R在u處非減.若

且

那么u(t)≤v(t).

2　主要結(jié)論

定理1若假設1，2，3成立，那么式(3)全球指數(shù)穩(wěn)定，如果存在

其中a，b，c是正常數(shù)，使α－Rq＞0成立.

證明構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

則有

令t=tk，由式(3)，有

令ε＞0，設w(t)是如下脈沖時滯系統(tǒng)的唯一解

由式(6)，有

其中W(t，s) (t，s≥0)是下述線性系統(tǒng)的柯西矩陣

根據(jù)柯西矩陣的定義，有

若存在s使得在處有不穩(wěn)定脈沖Ni和穩(wěn)定脈沖Nj，由假設3，可以得到，那么由假設3

和式(8)，有

若h(w) = w－α+Rqewτ.由α－Rq＞0，有h(0) =－α+Rq＜0.因為h(w) = +∞且h(w)＞0，存在λ＞0使 h(λ) =λ－α+Rqeλτ=0.顯然R－1α－q＞0.那么有

相反，存在t*＞0使

那么

由式(10)、(11)，得到

因此式(12)成立.若ε→0，由w(t)≥V(t)≥0，有

根據(jù)定義1，式(3)是指數(shù)穩(wěn)定的.

為了明顯的說明不穩(wěn)定脈沖和穩(wěn)定脈沖的影響，假設脈沖值不變.即，μi=μ，νj=ν，ξi=ξ，ζj=ζ，tik↑=tk↑，tjk↓=tk↓(i=1，2，…，N，j=1，2，…，M).可以得到下面推論.

推論1若假設1，2，3成立，那么式(3)全球指數(shù)穩(wěn)定，如果存在

其中是正常數(shù)，使成立.

證明類似于定理1，因此省略.

3　舉例

若

通過簡單的計算，得到p=－1.839 4，q=1.假設μ=－1.2，ν=－0.9，ξ=0.5.根據(jù)推論1得，如果穩(wěn)定脈沖序列ζ≤0.315 6那么式(3)穩(wěn)定.

4　結(jié)論

在實際模型中，往往不穩(wěn)定脈沖和穩(wěn)定脈沖同時存在，而在許多文獻中都隱性的假設了不穩(wěn)定脈沖和穩(wěn)定脈沖單獨發(fā)生.研究了時變脈沖耦合神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性問題，通過控制時變脈沖強度，得到滿足穩(wěn)定的條件，運用例子說明了定理結(jié)果.

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The Stability Analysis of Time-variant Impulse Coupled Neural Networks

PENG Wei
(School of Mathematics Science，Chongqing Normal University，Chongqing 404100，China)

Abstract:This paper dissusses the stability of time-variant impulse coupled neural networks.The main feature of time-variant impulse is the coexistance of unstable impulse and stable impulse in model.The stability of timevariant impulse coupled neural networks can be analyzed by controlling the intense of time-variant impulse.Several conditions for globle exponential stability of time-variant impulse coupled neural networks are obtained.Finally，an example is given to prove the effectiveness of the theory.

Key words:coupled neural networks; time-variant impulse; exponential stability

中圖分類號:O231

文獻標識碼:A

文章編號:1672－058X(2015) 08－0009－05

收稿日期:2014－10－07;修回日期:2014－12－15.

*基金項目:重慶市教委科研資助項目(KJ130606).

作者簡介:彭薇(1990-)，女，湖北恩施人，碩士研究生，從事脈沖控制研究.

doi:10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0008.003