多層復(fù)合油藏滲流模型解的相似結(jié)構(gòu)*

王　強(qiáng)，李順初，胡　明(西華大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，成都610039)

多層復(fù)合油藏滲流模型解的相似結(jié)構(gòu)*

王強(qiáng)，李順初＊＊，胡明
(西華大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，成都610039)

摘要:考慮井筒儲集和表皮效應(yīng)的影響，在不同外邊界(無窮大、封閉、定壓)的條件下，建立多層復(fù)合油藏的數(shù)學(xué)模型;經(jīng)過Laplace變換，解出多層復(fù)合油藏在相應(yīng)的Laplace空間中的精確解;經(jīng)過分析，得到多層復(fù)合油藏在內(nèi)外區(qū)儲層壓力分布的Laplace空間解的相似結(jié)構(gòu);解的相似結(jié)構(gòu)對于分析解的內(nèi)在規(guī)律、編制試井分析軟件和研究油氣藏滲流規(guī)律有著深遠(yuǎn)的影響。

關(guān)鍵詞:多層復(fù)合油藏;井筒儲集;表皮效應(yīng);相似結(jié)構(gòu);相似核函數(shù)

＊＊通訊作者:李順初(1963-)，男，湖北浠水人，教授，從事微分方程和滲流力學(xué)及其應(yīng)用研究.E-mail:lishunchu@ 163.com.

由于不同地質(zhì)年代形成不同的沉積巖，很多油藏具有多層的特性［1］。對于多層油藏已經(jīng)有文獻(xiàn)進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)［2］應(yīng)用Laplace變換的方法研究了無竄流的多層油藏中壓力動態(tài)分布，文獻(xiàn)［3］考慮了井筒儲集和表皮效應(yīng)的影響，計算了有擬穩(wěn)態(tài)竄流的層狀油藏的壓力;近些年，對于多層油藏滲流模型解也做了一些探究［4，5］，但在實際復(fù)雜的油田中，簡單的多層油藏模型再不能真實反映井下的情況，需要建立復(fù)雜的多層復(fù)合油藏滲流模型來進(jìn)行試井分析，文獻(xiàn)［6］對影響多層復(fù)合油藏滲流模型井底壓力動態(tài)的因素已經(jīng)進(jìn)行了研究。

現(xiàn)系統(tǒng)的對多層復(fù)合油藏滲流模型的解進(jìn)行分析。在考慮井筒儲集、表皮效應(yīng)的影響，以及在不同外邊界的條件下建立了多層復(fù)合油藏數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過Laplace變換［7］，求解出多層復(fù)合油藏數(shù)學(xué)模型在不同外邊界條件下的表達(dá)式;通過構(gòu)造多層復(fù)合油藏數(shù)學(xué)模型解在不同外邊界條件下的相似核函數(shù)，進(jìn)而得到解的統(tǒng)一表達(dá)形式，即相似結(jié)構(gòu)式。這對于試井分析軟件的編制提供了很大的便利，同時對油氣藏滲流理論的研究也是一大進(jìn)步，并且進(jìn)一步完善和發(fā)展了相似構(gòu)造理論［8－12］。

1　多層復(fù)合油藏的數(shù)學(xué)模型

假設(shè)在N層復(fù)合油藏中滿足達(dá)西平面徑向流，各層等厚水平，流體為單相弱可壓縮液體，且層與層之間無竄流，井筒半徑為rw(第j層的井半徑為rwj，);內(nèi)區(qū)邊界半徑為αrwj(α＞1)，外區(qū)邊界半徑為Rj(Rj＞αrwj);各層中初始壓力為poj(j=1，2，…，N);井以定產(chǎn)量生產(chǎn);可以建立如下的滲流數(shù)學(xué)模型。

滲流基本方程:

初始條件:

內(nèi)邊界條件:

交界面條件:

外邊界條件外邊界無窮大時:

外邊界封閉時:

外邊界定壓時:

2　求解多層復(fù)合油藏數(shù)學(xué)模型的相似結(jié)構(gòu)

對上述數(shù)學(xué)模型取關(guān)于t的Laplace變換，令:

則上述偏微分方程的定解問題式(1)－(7)轉(zhuǎn)化成如下Laplace空間中的常微分方程邊值問題。

定解方程:

內(nèi)邊界條件:

銜接條件:

外邊界條件

無窮大外邊界時:

外邊界封閉:

外邊界定壓:

經(jīng)過變量替換后，定解方程式(8)轉(zhuǎn)化為0階變型的Bessel方程。它的通解［13］可由下式給出:

其中:Ih(·)、Kh(·)分別為h階的第一類、第二類變型的Bessel函數(shù);常數(shù)Aj1、Bj1、Aj2、Bj2由條件式(9)－(13)確定。

將式(14)代入式(9)中，得:

將式(14)、(15)代入式(10)中，得:

當(dāng)外邊界無窮大時，由式(11)、(15)得:

當(dāng)外邊界封閉時，由式(12)、(15)得:

當(dāng)外邊界定壓時，由式(13)、(15)得:

令:

定義相似核函數(shù)ψ(r，z)如下:

其中，當(dāng)外邊界無窮大時:

當(dāng)外邊界封閉時:

當(dāng)外邊界定壓時:

求解方程組式(16)－(20)，可以得出系數(shù)Aj1、Bj1、Aj2、Bj2的值，并且代入式(14)、(15)中，得到不同外邊界條件下的具有相似結(jié)構(gòu)的儲層內(nèi)壓力的Laplace空間解的統(tǒng)一表達(dá)形式。

當(dāng)rwj＜r＜αrwj時，內(nèi)區(qū)中的壓力分布Laplace空間解為

當(dāng)r＞αrwj時，外區(qū)中壓力分布的Laplace空間解為

將式(21)代入式(9)中的第一式中，就可以得到井底壓力的Laplace空間解，而對于不同的外邊界條件，同樣具有統(tǒng)一的表達(dá)形式:

特別地，當(dāng)不考慮井筒儲集時，則C=0;當(dāng)不考慮表皮效應(yīng)時，則Sj=0。

3　結(jié)論與認(rèn)識

(1)考慮井筒儲集和表皮效應(yīng)建立的多層復(fù)合油藏數(shù)學(xué)模型的解在不同的外邊界條件下，內(nèi)區(qū)和外區(qū)中的壓力分布的Laplace空間解都具有統(tǒng)一的表達(dá)形式，在試井分析中體現(xiàn)了很大的優(yōu)越性。

(2)從所得到的多層復(fù)合油藏數(shù)學(xué)模型解的相似結(jié)構(gòu)式中，很容易分析出井筒儲集、表皮效應(yīng)、不同的外邊界條件對儲層壓力和井底壓力的影響，所以解的相似結(jié)構(gòu)對于石油工作者在油氣田開發(fā)時提供了極大地幫助。

(3)對于求出的壓力分布的Laplace空間解的相似結(jié)構(gòu)式(21)、(22)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)外邊界條件發(fā)生變化時，只需要改變相似核函數(shù)就可以得到多層復(fù)合油藏滲流模型的解，并且得到的解的相似結(jié)構(gòu)與其通解的功能相比，更具有實用性。

符號說明:

poj為各層中初始壓力(MPa); rw為井半徑(m); rwj為第j層儲層井半徑(m); pj為第j層儲層在時刻t時的壓力(MPa); Pj為第j層儲層壓力降(MPa); Sj為第j層儲層的表皮因子(無因次); C為井筒儲集系數(shù)(m3/MPa); B為原油體積系數(shù)(m3/m3); kj為第j層儲層滲透率(μm2); Ctj為第j層儲層的綜合壓縮系數(shù)(1/MPa);φj為第j層儲層孔隙度(%);μj為第j層儲層流體粘度(MPa·s); hj為第j層儲層厚度(m); qj為第j層儲層油井產(chǎn)量(m3/d); q為油井產(chǎn)量(m3/d); Rj為第j層儲層外邊界半徑(m); R為外邊界半徑(m); t為時間(h); Z為Laplace空間變量.

參考文獻(xiàn):

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［13］KAMKE E.常微分方程手冊［M］.北京:科學(xué)出版社，1977

Similar Structure of Seepage Model Solution for Multilayer Composite Reservoir

WANG Qiang，LI Shun-chu，HU Ming
(Institute of Applied Mathematics，XiHua University，Chengdu 610039 China)

Abstract:In Consideration of the influence of the bottom-hole storage and the skin effect，the mathematical model of multilayer composite reservoir is established under the different outer boundary (infinity，closed，constant pressure) conditions.By using the Laplace transform，the exact solution of multilayer composite reservoir is obtained in the corresponding Laplace space.By analysis，the similar structure of Laplace space solution of reservoir pressure for multilayer composite reservoir is obtained in the inside and outside region.The similar structure of solution has a far-reaching influence on analyzing inherent law of solution，compiling of well test analysis software and researching the laws of the reservoir seepage.

Keywords:multilayer composite reservoir; bottom-hole storage; skin effect; similar structure; similar kernel function

中圖分類號:O29; TE3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1672－058X(2015) 08－0071－05

doi:10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0008.015

收稿日期:2015－01－05;修回日期:2015－02－16.

*基金項目:四川省教育廳自然科學(xué)重點項目資助(12ZA164).

作者簡介:王強(qiáng)(1993-)，男，山西原平人，碩士研究生，從事微分方程及其應(yīng)用研究.