內(nèi)圈故障滾動軸承系統(tǒng)周期運動的倍化分岔

王強，劉永葆，2，徐慧東，賀星，劉樹勇

(1.海軍工程大學動力工程學院，武漢430030;2.艦船動力軍隊重點實驗室，武漢430030; 3.太原理工大學力學學院，太原030024)

內(nèi)圈故障滾動軸承系統(tǒng)周期運動的倍化分岔

王強1，劉永葆1，2，徐慧東3，賀星1，劉樹勇1

(1.海軍工程大學動力工程學院，武漢430030;2.艦船動力軍隊重點實驗室，武漢430030; 3.太原理工大學力學學院，太原030024)

針對軸承內(nèi)圈破損故障，建立軸承三自由度分段非光滑的故障模型，研究內(nèi)圈故障滾動軸承系統(tǒng)周期運動的倍化分岔現(xiàn)象和混沌行為;求出系統(tǒng)的切換矩陣后，將得到的切換矩陣結合光滑系統(tǒng)的Floquet理論來分析軸承非光滑系統(tǒng)周期運動發(fā)生倍化分岔的條件。通過在碰撞面處建立Poincaré映射，用數(shù)值方法進一步揭示軸承系統(tǒng)的周期運動經(jīng)倍化分岔通向混沌的現(xiàn)象;結果表明，當旋轉頻率接近臨界分岔點時，系統(tǒng)有1個Floquet特征乘子接近－1，系統(tǒng)發(fā)生周期倍化分岔，隨著旋轉頻率的增加，系統(tǒng)經(jīng)歷了周期二解的Nermark－Sacker分岔，隨后又經(jīng)歷了多周期、混沌等復雜的非線性行為。對該故障軸承系統(tǒng)分岔和混沌的研究，可為大型高速旋轉機械的安全穩(wěn)定運行提供可靠的設計與故障診斷依據(jù)，也為實際設計時提供理論指導和技術支持。

軸承;Floquet理論;倍化分岔;混沌

軸承是機械設備的核心部件，影響著整個設備的運行。而軸承又是極易發(fā)生故障的部件之一。當軸承發(fā)生故障時，振動行為非常復雜，目前主要研究集中在軸承外圈的振動信號上，對軸承故障面的非線性行為研究較少，而在故障軸承中由碰撞引起的非線性行為又是振動的關鍵行為，這對軸承的故障診斷和軸承設計有著非常重要的影響。

目前對軸承系統(tǒng)的故障行為主要集中在數(shù)值仿真方面。通常根據(jù)軸承的力學方程，在正常軸承系統(tǒng)中引入一個故障沖擊來模擬故障，相對比較簡單、單一，忽略了軸承內(nèi)部復雜的非線性行為。關貞珍等［1］在正常軸承動力學模型的基礎上，考慮軸承局部損傷引起的故障沖擊及軸承間隙而引起的非線性接觸力變換等因素，建立了軸承局部損傷外圈缺陷、內(nèi)圈缺陷和滾動體缺陷的動力學模型，利用數(shù)值積分對此模型進行了動力學仿真和分析。張建軍等［2］根據(jù)軸承故障產(chǎn)生機理建立故障軸承動力學模型，引入單元諧振器模擬出現(xiàn)故障后軸承元件的高頻固有振動，使用龍格庫塔數(shù)值積分方法分別對滾動軸承外圈、內(nèi)圈和滾動體局部故障進行動力學仿真和分析。朱永生等［3］研究滾動軸承結合面間的多體接觸與傳遞過程的耦合作用，建立軸承振動模型，通過數(shù)值仿真實現(xiàn)單點、復合故障的有效模擬。曹宏瑞等［4］基于Jones軸承建模理論，建立了高速滾動軸承動力學模型，對滾動軸承單點損傷進行數(shù)學描述，將損傷產(chǎn)生的激勵力輸入軸承模型，利用Newmark－時域積分法對軸承損傷產(chǎn)生的動態(tài)振動響應進行了數(shù)值仿真。

而在實際軸承發(fā)生故障時，滾動體和內(nèi)外圈之間的作用就會發(fā)生相當于含間隙的彈性碰撞，此時的系統(tǒng)是一個非光滑的分段彈性系統(tǒng)。由于滾動體和內(nèi)圈外圈之間的間隙都非常的小，滾動體很容易發(fā)生碰撞而出現(xiàn)非光滑系統(tǒng)的穩(wěn)定性失穩(wěn)問題，因此必須考慮碰撞分界面處的非線性振動行為來研究振動機理。目前，國內(nèi)外學者對碰撞系統(tǒng)的非線性振動行為做了大量的研究。Luo［5－6］研究了一個分段線性周期激勵系統(tǒng)，通過建立相應映射，研究各類穩(wěn)定和不穩(wěn)定的周期運動，同時對齒輪傳動振動的分段線性系統(tǒng)進行了研究，分析了塑性碰撞時該系統(tǒng)的周期運動和穩(wěn)定性。Ji等［7］考慮了一類由分段弱非線性——線性振子組合而成的周期激勵系統(tǒng)，通過施加連續(xù)和匹配條件，得到了系統(tǒng)的對稱型周期運動。Guckenheimer等［8］對一類在簡諧激振力作用下有單側約束的單自由度振子做了研究，用中心流形定理分析了周期運動的局部分岔，并通過同宿相截條件討論了混沌運動。Yoshitake和Sueoka［9－10］對不同的不連續(xù)系統(tǒng)進行了研究并且給出了不連續(xù)分岔的分岔圖。Peterka［11］研究了具有粘滯阻尼的碰撞振子中的擦邊分岔、周期倍化分岔和鞍結分岔之間的轉遷現(xiàn)象。Kleczka等［12］通過對不穩(wěn)定周期解延續(xù)及胞映射方法發(fā)現(xiàn)并討論了含間隙振子中混沌的激變現(xiàn)象。Leine等［13］對非光滑系統(tǒng)周期解的不連續(xù)分岔作了進一步的研究，分析了伴隨基解矩陣的跳躍而發(fā)生的各種不連續(xù)分岔現(xiàn)象。曹登慶等［14］系統(tǒng)地綜述了空間可展機構非光滑力學建模與非線性動力學的研究進展，介紹了含間隙鉸鏈空間可展機構的非線性動力學特性的穩(wěn)定性和各類分岔等，提出了空間可展機構非光滑動力系統(tǒng)動力學、穩(wěn)定性與控制中亟待解決的若干問題。秦志英等［15］根據(jù)非光滑映射的分岔理論，基于邊界兩側Jacobi矩陣的特征值對非光滑分岔作進一步的分類，并研究經(jīng)由非光滑分岔通向混沌的路徑。羅冠煒等［16］研究了兩類含對稱剛性約束振動系統(tǒng)的周期運動和分岔，對比了間隙值和激振頻率對兩振動系統(tǒng)對稱碰撞周期運動的穩(wěn)定性和分岔的影響，分析了對稱碰撞周期運動的分岔規(guī)律。目前針對故障軸承系統(tǒng)的碰撞面振動的非線性行為研究很少。

本文建立了三自由度軸承內(nèi)圈故障系統(tǒng)的非光滑模型，將光滑系統(tǒng)的Floquet理論引入到該系統(tǒng)來分析系統(tǒng)周期運動發(fā)生倍化分岔的條件。通過在碰撞面處建立Poincaré映射，結合理論分析通過數(shù)值方法來進一步揭示故障軸承系統(tǒng)的周期運動經(jīng)倍化分岔通向混沌的現(xiàn)象。對大型高速旋轉機械的安全性、可靠性、故障檢測和工業(yè)噪音控制等問題的解決具有一定理論指導意義。

1 故障滾動軸承建模分析及運動過程

本文根據(jù)軸承實際情況簡化了該模型見圖1(a)，為了研究當軸承內(nèi)圈發(fā)生故障時，內(nèi)圈與單個滾動體的碰撞振動的非線性行為，建立了當內(nèi)圈存在故障的情況下的軸承單個滾動體的碰撞模型見圖1(b)。軸承內(nèi)圈發(fā)生破損故障時，滾動體和內(nèi)圈發(fā)生了碰撞接觸，屬于振沖系統(tǒng)，D為故障深度;同時內(nèi)圈、外圈與每個滾動體碰撞時，對每個滾動體來說沖擊力都是在徑向方向振動的，因此軸承單個滾動體分段線性彈性碰撞模型具有一定的合理性。M1，M2，M3分別為內(nèi)圈與軸的等效質量、滾動體質量、外圈及機座的質量，X1，X2，X3分別為M1，M2，M3的運動的位移;C1，C2，C3分別為M1與M2的阻尼，M2與M3之間阻尼，M3與固定端阻尼，K1，K2，K3分別為三個物體之間的剛度，K4為發(fā)生故障時，內(nèi)圈與滾動體之間的接觸剛度。F1sin(Ω1T)，F(xiàn)2sin(Ω2T)分別為作用在M1，M2的等效作用力，Ω1與Ω2分別為轉軸和保持架的頻率，D為故障深度。

圖1 滾動軸承簡化模型Fig.1 The simplified rolling bearingmodel

為了描述該軸承系統(tǒng)的運動過程，引入一個分界面，以內(nèi)圈故障與滾動體剛接觸時的碰撞面為分界面如圖1距離滾動體為D的平面。由于碰撞面是隨M1運動的，所以分界面是移動的，是一個相對固定的分界面，首先定義邊界函數(shù)，E=X1－X2－D，分界面可表示如下:

表示物塊M1與M2剛接觸或分離，這樣狀態(tài)空間被分界面分成兩部分(見圖2)。

在圖2中，V+= {X∈R2E(X1，X2)＞0}為物塊與斷彈簧K4接觸狀態(tài);V－={X∈R2E(X1，X2)＜0}為物塊與斷彈簧K4分離狀態(tài)。

根據(jù)上面的分析，可建立系統(tǒng)的運動學方程為:

圖2 軸承模型二維相平面圖Fig.2 The two－dimensional phase plane of bearingmodel

2 系統(tǒng)倍化分岔的Floquet特征乘子分析

設式(5)的一個解x(t)從區(qū)域v－出發(fā)，即x(t0)∈v－。在t=tp時刻到達分界面Σ。系統(tǒng)在區(qū)間B= {t∈Rt0≤t≤tp}是連續(xù)的，相應的基解矩陣也是連續(xù)的。然而由于向量場f(t，x(t))在分界面處的非光滑性使得相應的Jacobian矩陣在分界面處通常是不連續(xù)的，這將引起系統(tǒng)整個基解矩陣不連續(xù)，因此在不連續(xù)處需要求出相應的切換矩陣。

下面來求分界面處的切換矩陣。

(1)從區(qū)域v－進入?yún)^(qū)域v+時，對超平面Σ:e= x1－x2－d=0，有法向量n=［1，0，1，0，0，0］T，設一周期解x(t)到達分界面Σ的時間為t1并交于點xt1。在t1時刻計算切換矩陣［17］如下

(2)從區(qū)域v+進入?yún)^(qū)域v－，設周期解x(t)到達分界面Σ的時間為t2并交于點x(t2)，在時刻t2有切換矩陣

下面求各光滑區(qū)域的基解矩陣。在區(qū)域v－系統(tǒng)的運動方程為

式(10)的擾動在周期解x(t)處線性化系統(tǒng)的基解矩陣為:

同理，在區(qū)域v+可求得相應的基解矩陣

這里，

因為我們研究的是式(5)穿越了分界面的周期解，將切換矩陣式(8)和式(9)結合各子空間相應的基解矩陣式(13)和式(14)經(jīng)過合成可得全局的單值矩陣:

式中:T=2nπ/ω1為系統(tǒng)周期的整數(shù)倍，n為自然數(shù);t0為初始時刻，t1和t2分別為軌線到達分界面的兩段時間。

于是系統(tǒng)的Floquet特征乘子即為單值矩陣式(15)的特征值。對于式(5)這樣的非光滑系統(tǒng)，由于分界面是光滑的，系統(tǒng)的Floquet特征乘子是連續(xù)穿越單位圓周的。當有一個Floquet特征乘子沿實軸從(－1，0)穿出單位圓，其它特征乘子仍位于單位圓內(nèi)時，式(5)穩(wěn)定的周期解將發(fā)生倍化分岔。

3 數(shù)值分析

為了通過數(shù)值仿真進一步揭示滾動軸承系統(tǒng)式(3)和式(4)的倍化分岔現(xiàn)象以及其它復雜的的動力學行為，在分界面∑處取Poincare截面如下:

式中:θ=ω1t;S=R(mod2π)為1個實數(shù)對2π取余數(shù)。

選取式(3)和式(4)的一組無量綱化參數(shù):b= 0.001;f1=1;f2=0;m2=1.5;m3=5;ζ1=0.04;ζ2= 0.8;ζ3=0.4;k2=3;k3=4;k4=50。以旋轉頻率ω1為分岔參數(shù)。

當ω1=ωs=2.617 702時(ωs為軸承臨界分岔的旋轉頻率)，軸承故障系統(tǒng)對應的其中一個Floquet特征乘子為λ1(ωs)=－0.999 999 57，接近單位圓周上的(－1，0)點;其它的特征值

仍在單位圓周內(nèi)。由此可見軸承內(nèi)圈故障系統(tǒng)在ω1=ωs=2.617 702時發(fā)生了倍化分岔。系統(tǒng)隨ω1變化的分岔圖(見圖3和圖4)。

圖3 系統(tǒng)的分岔圖Fig.3 The bifurcation diagram of the system

圖4 系統(tǒng)的倍化分岔圖局部放大Fig.4 Themagnification of period－doubling bifurcation diagram

圖5 ω1=2.59時單周期運動的相圖和龐加萊截面圖Fig.5 The phase diagram and poincare section diagram of single periodic motion atω1=2.59

圖6 ω1=2.695時周期二運動的相圖和龐加萊截面圖Fig.6 The phase diagram and poincare section diagram of period 2 motion atω1=2.695

圖7 ω1=2.99時擬周期運動的相圖和龐加萊截面圖Fig.7 The phase diagram and poincare section diagram of quasi－periodic motion atω1=2.99

圖8 ω1=3.05時相圖和龐相萊截面上的鎖相Fig.8 The phase diagram and phase locked state on poincare section atω1=3.05

由圖3和圖4可知，系統(tǒng)起初處于穩(wěn)定的單周期運動(見圖5)。當ω1=ωs=2.617 702時系統(tǒng)經(jīng)歷倍化分岔并過渡到周期二運動(見圖6)，隨著旋轉頻率ω1的增加，ω1=2.99時系統(tǒng)的龐相萊截面是兩個圈，說明系統(tǒng)與碰撞面最后收斂于這兩個圈上，發(fā)生了周期二解的Nermark－Sacker分岔(見圖7)，當ω1=3.05時系統(tǒng)的龐相萊截面由兩個圈變得不再規(guī)則，變成了鎖相狀態(tài)，相圖和龐相萊截面圖(見圖8)，隨著ω1的增加，系統(tǒng)進入了周期三運動，其龐相萊截面圖(見圖9)，ω1的繼續(xù)增加，系統(tǒng)又轉入單周期運動(見圖10)，在系統(tǒng)經(jīng)歷一個較長的單周期運動后，隨著ω1的增加，系統(tǒng)經(jīng)歷了各種周期運動和混沌相間的非線性動力學行為，其龐相萊截面圖(見圖11～圖15)。

圖9 ω1=3.3時周期三運動的龐加萊截面圖Fig.9 The poincare section diagram of period 3 motion atω1=3.3

圖10 ω1=4時單周期運動龐加萊截面圖Fig.10 The poincare section diagram of single periodicmotion atω1=4

圖11 ω1=4.8時周期二運動的龐加萊截面圖Fig.11 The poincare section diagram of period 2 motion atω1=4.8

圖12 ω1=5時混沌運動的龐加萊截面圖Fig.12 The poincare section diagram of period 2 motion atω1=5

圖13 ω1=5.2時多周期運動的龐加萊截面圖Fig.13 The poincare section diagram of multiple periodic motion atω1=5.2

圖14 ω1=5.23時混沌運動的龐加萊截面圖Fig.14 The poincare section diagram of chaosmotion atω1=5.23

圖15 ω1=5.7時周期二運動的龐加萊截面圖Fig.15 The poincare section diagram of period 2 motion atω1=5.7

4 結論

本文建立了軸承內(nèi)圈發(fā)生破損故障時的三自由度分段非光滑模型，計算了切換矩陣，結合光滑系統(tǒng)的Floquet理論分析了該系統(tǒng)周期運動發(fā)生倍化分岔的條件。數(shù)值仿真驗證了理論分析的正確性并進一步揭示了系統(tǒng)的周期倍化現(xiàn)象以及周期二運動的Nermark－Sacker分岔、多周期和混沌等復雜的非線性行為。

［1］關貞珍，鄭海起，王彥剛，等.滾動軸承局部損傷故障動力學建模及仿真［J］.振動、測試與診斷，2012，32(6):950－956.

GUAN Zhen－zhen，ZHENG Hai－qi，WANG Yan－gang，et al.Fault dynamic modeling and simulating of rolling bearing with localized defect［J］.Journal of Vibration，Measurement＆Diagnosis，2012，32(6):950－956.

［2］張建軍，王仲生，蘆玉華，等.基于非線性動力學的滾動軸承故障工程建模與分析［J］振動與沖擊，2009，29(11):30－34.

ZHANG Jian－jun，WANG Zhong－sheng，LU Yu－h(huán)ua，et al.Nonlinear dynamic modeling for localized defects in a rolling element bearing［J］.Journal of Vibration and Shock，2009，29 (11):30－34.

［3］朱永生，袁幸，張優(yōu)云，等.滾動軸承復合故障振動建模及Lempel－Ziv復雜度評價［J］.振動與沖擊，2013，32(16):23－29.

ZHU Yong－sheng，YUAN Xing，ZHANG You－yun，et al.Vibration modeling of rolling bearings considering compound multi－defect and appraisal with Lempel－Ziv complexity［J］.Journal of Vibration and Shock，2013，32(16):23－29.

［4］曹宏瑞，牛藺楷，何正嘉.高速主軸軸承損傷建模與振動響應仿真研究［J］振動與沖擊，2012，31(增刊1):241－244.

CAO Hong－rui，NIU Lin－kai，HE Zheng－jia.Bearing defects modelling and vibration response simulation of high－speed spindle systems［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31 (Sup1):241－244.

［5］Luo A C J.The mapping dynamics of periodic motions for a three piecewise linear system under a periodic excitation［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，283:723－748.

［6］Luo A C J，Che L.Periodic motions and grazing in a harmonically forced，piecewise，linear oscillator with impacts［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2005，24:567－578.

［7］Ji JC，Hansen C H.Analytical approximation of the primary resonance response of a periodically excited piecewise nonlinear－linear oscillator［J］.Journal of Sound and Vibration，2004，278:327－342.

［8］Guckenheimer J，Holmes P.Nonlinear oscillations，dynamical systems and bifurcations of vector fields［M］.New York: Springer－Verlag，1983.

［9］Yoshitake Y，Sueoka A.Forced self－exited vibration accompanied by dry friction.Applied nonlinear dynamics and chaos of mechanical systems with discontinuities［J］.World Scientific Series on Nonlinear Science Series A，2000，28:237－259.

［10］Yoshitake Y，Sueoka A，Shoji N，et al.Vibrations of nonlinear systems with discontinuities.The case of the preloaded compliance system［J］.Japan Society Mechanical Engineering (JSME)Series，1997，41(4):710－717.

［11］Peterka E Bifurcation and transition phenomena in an impact oscillator［J］.Chaos，Solitons and Fractals，1996，7(10): 1635－1647.

［12］Kleczka M，kreuzer E，Wilmers C，et al.Nonlinear dynamics in engineering systems［M］.Berlin:Springer－Verlag，1990.

［13］Leine R I，Nijmeijer H.Dynamics and bifurcation of nonsmooth mechanical systems［M］.Berlin:Springer，2004.

［14］曹登慶，初世明，李鄭發(fā)，等.空間可展機構非光滑力學模型和動力學研究［J］.力學學報，2013，1:3－15.

CAO Deng－qing，CHU Shi－ming，LIZheng－fa，et al.Study on the non－smooth mechanical models and dynamics for space deployable mechanisms［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2013，1:3－15.

［15］秦志英，陸啟韶.非光滑分岔的映射分析［J］.振動與沖擊，2009，28(6):79－82.

QIN Zhi－ying，LU Qi－shao.Map analysis for non－smooth bifurcations［J］.Journal of Vibration and Shock，2009，28(6):79－82.

［16］羅冠煒，張艷龍，謝建華.含對稱剛性約束振動系統(tǒng)的周期運動和分岔［J］.工程力學，2007，24(7):44－53.

LUO Guan－wei，ZHANG Yan－long，XIE Jian－h(huán)ua.Periodicimpact motions and bifurcations of vibratory systems with symmetrical rigid constraints［J］.Engineering Mechanics，2007，24(7):44－53.

［17］Leine R I，Nijmeijer H.Dynamics and bifurcation of nonsmoothmechanical systems［M］.Berlin:Springer，2004.

Period-doubling bifurcation of a rolling bearing system w ith inner race fault

WANGQiang1，LIU Yong－bao1，XU Hui－dong2，HE Xing1，LIU Shu－yong1
(1.College of Power Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China;
2.Key Laboratory of Marine Power，Wuhan 430033，China;
3.College of Mechanics，Taiyuan University of Technology，Taiyuan 030024，China)

A piecewise non－smooth model with 3－DOF for a rolling bearing system with inner race fault was established.The period－doubling bifurcation and chaos of the bearing system were studied here.After the switchmatrixes of the system were solved，the period－doubling bifurcation condition of the non－smooth bearing system was analyzed by combining the switchingmatrixeswith Floquet theory for smooth systems.The numericalmethod was used to further reveal the period－doubling bifurcation and chaos of the bearing system through estabilshing Poincare mapping in the collision plane.The results showed that when the rotating frequency is close to the critical bifurcation point，one of Floquet multipliers of the system is close to－1，and its period－doubling bifurcation appears;with increase in rotating frequency，the system experiences Nermark－Sacker bifurcation of the period 2 solution，and then experiencesmore complex nonlinear behaviors，such as，multi－periodic solutions and chaos.Studying bifurcation and chaos of fault bearing systems provided a reliable basis for their design and fault diagnosis and provided theoretical guidance and technical support for their actual design in safe and stable operation of large high－speed rotatingmachineries.

bearing;floquet theory;period－doubling bifurcation;chaos

TH212;TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.23.024

國家自然科學基金項目(51179197，11002052);國家海洋工程重點實驗室(上海交通大學)基金資助項目(1009)

2014－09－03修改稿收到日期:2014－11－26

王強男，博士生，1985年生

劉永葆男，教授，博士生導師，1967年生郵箱:yongbaoliu_wq@163.com