如何用逆向思維解數學題

陳天紅

摘 要：當一個數學題用常規方法求解發生思維受阻時，用逆向思考的方法去探求新的：解題途徑，往往能起到突破性的效果，但在談針對什么而“逆”時，如：是從反面思考所提問題入手？是把原命題變換一下，從原命題的條件、結論的否定方面去探索？還是先解決原命題的反例？……這就是在用逆向思維解數學題時所要把握的關鍵。

關鍵詞：逆向思維；反面思考

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）07-204-02

一、反問題程序

反問題程序是逆向解題的一種表現之一，在運用反問題程序解題時，關鍵是抓住題目中所提的問題，把原問題逆轉后代入題目中反程序思考。當然，在利用反問題程序的思維方式解題時，對題目的針對性較強，但此種方法只要一適合解所給題時，往往是簡單快捷。

例1：100個士兵站成一行，自1起報數，凡報奇數者離隊，留下的再次自1起報數，凡報奇數者又離隊，這樣反復下去，最后留下一個士兵，問這個士兵第一次報數為多少？

解法探求：若按問題的原程序，第一輪報數后劃掉被淘汰者，第二輪報數后又劃掉被淘汰者，如此下去，沒有幾輪就攪昏了陣線。現我們轉換一種思維方式，把原問題逆轉變為了“這個士兵最后一次報數為多少？”易知其在倒數第1輪必報2，在倒數第2必報4，在倒數第3輪必報8，極易得出，倒推回去此兵依次報的是16、32、64。則第一輪報數為64。

可見在解決類似上面所給問題時，首先應判斷能否用反問題程序來解，即由題目中所給問題的可逆性，思考逆轉后的問題有什么結果，能否推解到原問題中。因而，可用以下示意圖來表示其解題思路：

二、反條件結論

這種逆向解題的思維方式主要是表現在對所給題目的條件或結論進行否定后再思考，采取“變過去再變回來”的模式。然而在運用此類逆向思維解題時，一定要深刻認識進行變動后的題目，即弄清它們的反面意義，確保“變回來”之后是原命題之解。

1、求補法

當題目條件本身復雜，或直接根據題目條件求解困難時，可考慮在與原題條件相反的條件下求解，將所得結果取其反面，便回到了原題條件下的結論，此法即為求補法。

它們中至少有一個存在實數根，求m的取值范圍。

解法探求：至少有一方程有實根包括七種情況，分別討論它們的判別式比較費事，而題目條件“至少有一個存在實根”的反面是“三個方程都沒有實根”，這反面條件情況單純，故若改為在反面條件下解出m的取值范圍，便可簡捷地以其補集作為原來題目的解。

這種思維方法思路清晰，用它解決相關問題時可避免正向思考所帶來的大量麻煩。同時它也解決了與原條件相對的問題，更有利于把握知識之間的內在聯系。這里針對求補法的解題思路可表為下圖：

2、反證法

反證法就是假設結論的反面成立，由此導出與題設、定義、公理、定理相矛盾的結論，從而推翻假設，肯定原結論成立的證明方法。它是通過推證“結論的反面是錯誤的”，從而肯定“結論本身是正確的”，是逆向思維解決數學問題中的一種有效證題方法。由于此種方法在中學課本和相應書籍中介紹得較多，大家比較熟悉，這里不再舉例贅述。

三、反推理

由于人們在解題過程中長期受正向思維的影響，從所給題目的條件出發，逐步推得必要條件，最后導出結論，然而當在正向推理受阻時，可以考慮先從結論出發，逐步追溯充分條件，直追溯到題目所給條件為止，這就是通常所指的分析法。在用這種逆向思維解題時應注意在反推的每一步中都可逆。

解題的最終目的是由條件導出結論，所以人們最易想到從條件開始入手，但有時較困難，這時從結論入手往往迎刃而解，上例則正是用反推理說明了這一點。

四、反公式、定理、定義

數學公式本身是雙向的，可是不少人只會從左到右地運用公式，對逆用公式，特別是逆用變形的公式很不習慣。其實，只有靈活地運用公式才會形成好的解題技巧，提高解題能力。

數學定理有不可逆和可逆的，教材中有的給出了逆定理，如勾股定理的逆定理，但尚有許多定理未討論它的可逆性，有的卻在直接應用。事實上，對某些重要定理的可逆性探討是必要的，它是解決某些數學問題最簡單快捷的方法。

對于數學定義，也應注意它們的可逆性，因為在解決數學問題的過程中，往往要求對定義逆向運用，這可是突破某些問題的關鍵點。在此還要提醒一下法則的逆用，法則反映著一定的數學規律，是揭示數學元素間的內在聯系和解決問題的重要工具。下面針對韋達定理在逆向解決數學問題時表現出的優越性舉一例。

五、反例法

在數學解題中，舉反例來思考問題或驗證問題占有很重要的地位，在數學問題的探索中，猜想的結論未必正確，正確的要求給予嚴格證明，錯誤的則靠反例來否定。它是逆向思維在數學解題中最廣泛的運用體現。給予我們一個命題，只要能舉一個反例來說明這個命題不成立的話，這個命題必是假命題。因而通過舉反例來解決、說明問題的例子在日常解題中經常碰到，這里也就不再舉例了。