橢圓的對(duì)稱性在解題中的應(yīng)用

卜以軍

橢圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，這是橢圓的一個(gè)簡(jiǎn)單但很重要的性質(zhì).因?yàn)樗暮?jiǎn)單而常常被老師和學(xué)生們輕視.其實(shí)，在解題過(guò)程中，利用橢圓的對(duì)稱性有時(shí)可以使問(wèn)題迅速得到解決，在高考中也有很多與橢圓對(duì)稱性有關(guān)的經(jīng)典試題.因此，我們有必要對(duì)橢圓的對(duì)稱性以及它在解題中的作用進(jìn)行深入的研究.1利用橢圓的對(duì)稱性求弦長(zhǎng)

例1已知直線y=3x+2被橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）截得的弦長(zhǎng)為8，則下列直線中被橢圓截得的弦長(zhǎng)也為8的有（填上直線的代號(hào)）

①y=3x-2；②y=3x+1；③y=-3x-2；④y=-3x+2；⑤y=-3x.

分析用弦長(zhǎng)公式解決這個(gè)問(wèn)題費(fèi)時(shí)費(fèi)力，完全沒(méi)有認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì).作出橢圓和有關(guān)直線（圖略），由于橢圓關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，而①③④中的直線與直線y=3x+2或關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，或關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以它們被橢圓截得的弦長(zhǎng)相等，又從圖中看出，②⑤中的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)都大于8，故應(yīng)選①③④.2利用橢圓的對(duì)稱性求最值

例2過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓x24+y2=1交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，則△ABF面積的最大值為.