用心捕捉動態信息著力提升思維品質

王麗君

課堂教學過程是師生、生生有效互動，動態生成的過程.教學過程中會產生一些意料之外的，有意或無意的，正確或錯誤的信息，教師應抓住有利時機，因勢利導，讓課堂充滿成功的喜悅，讓學生得到更好的發展.

一、捕捉錯誤信息 提升辨析能力

心理學家蓋耶認為：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富成效的學習時刻.”學生會在不斷地糾錯過程中，獲得新知，提高能力，增進體驗.所以說教學中的“錯誤”是一種重要的課程資源.善于挖掘并運用“錯誤”將會給課堂帶來活力，捕捉學生學習過程中出現的錯誤，發現錯誤背后隱藏的教學價值同樣也是教師教學智慧的體現.

案例1：若關于x的不等式a≤x2-x+≤b的解集為[a，b]，求a+b的值.這是筆者在高三復習課上所選用的一道例題，當時有部分學生給出了如下解答.

解：設f（x）=x2-x+，則f（x）=（x-1）2+1≥1，所以a≥1，f（x）在[a，b]上是單調遞增函數. 所以f（a）=a，

f（b）=b，即a，b為方程x2-x+1=x的兩根，所以a+b=5.

這個“完美”解答卻是徹徹底底的“張冠李戴”.追根究底發現其中包括了：（1）心理性錯誤. 學生已有的函數定義域和值域概念以及由此產生的思維定式：已知函數的定義域就是求值域；（2）知識性錯誤. 將“不等式a≤y≤b”與“函數的值域為[a，b]”這兩個概念等同起來；（3）邏輯性錯誤. 視命題“已知a≤f（x）≤b時，有a≤x≤b成立”與命題“已知a≤x≤b時有a≤f（x）≤b成立”為等價命題.

實際上，知識性錯誤、邏輯性錯誤以及心理性錯誤是常見的錯誤類型.其中知識性錯誤包括概念模糊、忽視條件、忽視特例等；邏輯性錯誤包括轉換論題、循環論證、不等價辨析、以偏概全、分類不當等；心理性錯誤包括存在錯覺定式、心理品質不良等.只有在深刻剖析錯誤成因之后，才能有效避免錯誤，糾錯教學才是有效的.

二、捕捉質疑信息 開拓思維能力

在課堂教學中，學生質疑是由于新舊經驗間的矛盾沖突，這反映出學生正在積極思考，是珍貴的課堂動態資源.因此，教師要關注從學生中產生的質疑資源.不僅要“接住學生拋過來的球”，而且能隨機調整思路，經過激勵點撥，再把“球拋給學生”.

案例2：方程log4（4x+1）-x=log4（a·2x-a）有且只有一個根，求實數a的范圍.

解法一：原方程有且只有一個根等價于方程=a（2x-1）有唯一解. 即等價于4x+1=a·4x-a·2x有唯一解. 令t=2x，則方程（1-a）t2+at+1=0在（0，+∞）內只有唯一一個正數根.

等價于Δ=a2-4（1-a）=0，

>0，或a2-4（1-a）>0，

<0，

可得a=-2-2，或a>1.

質疑1：為什么要轉化為一元二次方程？

翻開數學歷史的畫卷，我們發現，如果不借助計算機，我們對三次方程的研究是何其艱辛.查看我們高中數學有關方程的教學要求，即熟練掌握一元二次方程的解法，了解簡單的指數，對數方程的解法.因此一元二次方程才是根本.因而抓住命題中“方程”兩字，進行轉化是水到渠成的事情.

質疑2：方程根問題的實質是研究圖象與x軸交點問題.是否可以在4x+1=a·4x-a·2x的基礎上，令t=2x，考慮t2+1=a（t2-t）與t軸只有一個交點？

解法二：由t2+1=a（t2-t）只有一個解，可得函數y=t2+1與函數y=a（t2-t）圖象當t>0時只有一個交點，因為當a=1時，兩個拋物線的形狀一樣，所以當a>1時，如圖1，y=a（t2-t）的遞增速度比y=t2+1的速度快，于是會有一個交點.當a<0時，如圖2，由兩拋物線相切可得a=-2-2.

說明：以上解法涉及到曲線相切的定義，即兩曲線在切點處有相同的函數值以及導數值，此定義在高中是不作要求的，因此曲線相切的方法有一定的局限性，不過為了拓展學生的思維，也可鼓勵學生上網查閱有關曲線相切的定義及方法.同時涉及到遞增級數問題，作為拓展學生的極端思想也是一道不錯的訓練題.

解法三：由t2+1=a（t2-t），可得t+=a（t-1），則圖象y=t+=a（t>0）與y=a（t-1）（t>0）有唯一的交點，直線y=t，t=0是y=t+=a（t>0）的兩條漸近線，則a=-2-2或a>1.

質疑3：為什么不采用常規的變量分離？

解法四：由=a（2x-1），可得a=，令t=2x，可得g（t）=（t>0），由g′（t）==0，可得t=-1. 當00，g（t）單調遞增；當t>-1時，g′（t）<0，g（t）在（-1，1），（1，+∞）單調遞減，并且當t→1時，g（t）→∞，當t→+∞時，g（t）→1，所以a=-2-2.

說明：當t→+∞時，g（t）→1，對高中生比較難以表達清楚，這是大學數學中的洛必達法則. 因此不是方法不行，只是知識還沒有完備，因此我們選擇了其他方法.有興趣的同學可以去網上查查有關資料.

質疑4：類似于解法四的處理方法，a=，t=2x，可得a==1+，令s=t+1，則a=1+=1+，但由于函數y=的圖象不好處理，所以又是一個半成品.

解法五：=s+-3（s>1），所以=2-3，或者≥0，所以a=-2-2，或a>1.

反思回顧：各種方法雖然各有不同，但相同的是都轉化為兩個圖象有唯一交點.其實只要兩個函數各自的圖象性質清楚，兩圖象之間的關系清楚，怎么變形都可以.所有的解題敗筆，都有自己的閃亮點，也是學生認知的難點，仔細處理解題過程中的半成品，對我們建構合理的知識結構，梳理知識的條理性，樹立學生的自信心都是有幫助的.

案例3：等比數列求和公式推導過程.

當q≠1時，Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，等式兩邊同乘以q可得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn，兩式相減，可得Sn=.

質疑：為什么兩邊要乘以q，不乘以q可以嗎？

方法一：由Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn-a1qn=a1+qSn-a1qn可得.

方法二：由==…=，可得==…=，所以==q-1，=q-1（古希臘歐幾里得《幾何原本》第九卷題35）[1]

方法三：由===…=，可得=q，所以=q.

由此可見，乘以q僅是一種運算技巧，不乘以q的方法更巧妙.

三、捕捉意外信息 培養創新能力

在豐富而千變萬化的課堂情境教學中，常會有許多“小意外”，面對課堂上意想不到的“小插曲”，教師要有“不管風吹浪打，勝似閑庭信步”的大將風范.要用理智駕馭情感，要學會隨機應變.要用智慧捕捉稍縱即逝的教學資源.投學生之所好，以便達到水到渠成之功效，使之成為課堂的亮點.

案例4：在教數學歸納法這節課時，我讓學生準備20來塊多米諾骨牌，然后提問如何將所有的多米諾骨牌推倒.預設引導學生回答只要滿足（1）將第一塊骨牌推倒；（2）每一塊骨牌都能碰到后一塊骨牌，則所有的骨牌都能推倒.從而能得到關于自然數命題的證明方法——數學歸納法. 設p（x）是關于自然數的命題，若①（奠基）p（1）成立；②（歸納）假設p（k）成立可以推出p（k+1）成立，則p（k）是對一切自然數n均成立.但是課堂上學生的表現出乎意料，一個頑皮的學生說，“像打水漂一樣的，只要1能夠得著3，3能夠得著5，……，同時2能夠得著4，4能夠得著6……就行了.”這實際上是跳躍式數學歸納法的雛形.當時我馬上想起以前一位學生的話——“數學歸納法沒有一點生命活力，我最討厭學這個”.怎樣讓數學歸納法“活”起來？怎樣讓學生有興趣學？這是否是一個契機呢？于是我針對以上想法把這類數學歸納法作了簡單的介紹，學生學習的興趣立即提上來了，原來數學歸納法是這樣玩出來的.于是更多更奇特的想法如雨后春筍般冒出來，我也不急于去阻止，只是告訴他們，他們的想法中還有很多是我們數學歸納法的雛形，引導學生課后上網查資料，讓學生去了解雙重數學歸納法、蹺蹺板數學歸納法、反向數學歸納法的類型，讓數學歸納法充滿活力.

總之，課堂教學是動態生成的過程，是師生共同成長的過程.走進學生內心和學生一起成長是教師的責任，教師要從學情出發，用銳眼捕捉契機，善于利用，并按照需要隨時做出有創意的教學調整，使課堂在動態過程中生成亮點，閃耀精彩，演繹高潮迭起的數學課堂，讓學生真正成為教學的主體，讓學生的思維空間得以拓展，思維品質得以提升.

參考文獻：

[1] 汪曉勤.中學數學中的數學史[M].北京：科學出版社，2002.