平面向量知識點解讀及常考題型分析

喬國穎

平而向量是高中數學的重要內容，是高中數學中數形結合思想的典型體現。近幾年高考對平面向量知識的命題，既充分體現自身知識結構體系命題形式的多樣化，又保持與其他知識交匯的命題思路，充分彰最平而向量知識的交匯價值。

一、知識點解讀

1.向量的有關概念

（1）向量：既有大小又有方向的量。向量的大小叫做向量的模。

（2）零向量：長度等于O的向量，其方向是任意的。

（3）單位向量：長度等于1個單位的向量。

（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量。規定：0與任一向量共線。

（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量。

（6）相反向量：長度相等且方向相反的向量。

2.向量的線性運算

求兩個向量和的運算（或幾何意義）：三角形法則或平行四邊形法則。求a與b的相反向量-b的和的運算叫做a與b的差。

3.共線向量定理

向量a（a≠0）與b共線的充要條件是存在唯一實數λ，使得b=λa。

4.平而向量基本定理

如果e₁，e₂是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平而內的任意向量a，有且只有一對實數λ₁，λ₂使a=λ₁e₁+λ₂e₂，其中不共線的向量e₁，e₂叫做表示這一平面內所有向量的一組基底。

5.平面向量共線的坐標表示

設a=（x₁y₁），b=（x₂，y₂），其中b≠0，當且僅當x₁y₂-x₂，y₁=0時，向量a，b共線。

6.兩個向量的夾角

已知兩個非零向量a和b，作OA=a，OB=b（圖略），令∠AOB=θ（0°≤θ≤180°），則θ叫做向量a與b的夾角。當θ=0°時，a與b同向；當θ=180°時，a與b反向；如果a與6的夾角是90。，我們說a與b垂直，記作a⊥6。

7.兩個向量的數量積的定義

已知兩個非零向量a與b，它們的央角為θ，則|a||b|cosθ叫做a與b的數量積（或內積），記作a.b，即a·b=|a||b|cos0。規定零向量與任一向量的數量積為O，即O·a=0。

8.向量數量積的幾何意義

數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的積。

9.向量數量積的性質

設a，b都是非零向量，e是單位向量，θ為a與b（或e）的夾角。

（l）e·a-a·e=|a|cosθ。

（2）a⊥b<=>a·b=0。

（3）當a與b同向時，a·b=|a||b|；當a與b反向時，a·b=-|a||b|。特別地，a·a=|a|²或者

（5）|a·b|≤|a||b|。

10.向量在平面幾何中的應用

平面向量在平面幾何中的應用主要是川向量的線性運算及數量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題。

（1）證明線段平行、點共線或相似問題，常用共線向量定理：a∥b<=>a=λb（b≠0）<=>x₁y₂-x₂y₁=0

（2）證明垂直問題，常用數量積的運算性質：a⊥b<=>a·b=0<=>x₁x₂+y₁y₂=0。

（3）利用夾角公式，求夾角：（θ為a與b的夾角）。

二、?？碱}型分析

1.平面向量的基本概念

與平面向量的概念有關的命題的真假判斷問題，其關鍵在于理解平面向量的概念，還應注意兩個向量相等滿足的條件及零向量的特殊性。

例1，下列說法正確的是（）。

A.方向相同或相反的向量是平行向量

B.零向量是0

C.長度相等的向量叫做相等向量

D.共線向量是在一條直線上的向量

解：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，A錯誤。零向量的表示方法是0，B正確。方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，而長度相等的向量不一定是相等向量，C錯誤。方向相同或相反的非零向量又叫共線向量，D錯誤。應選B。

跟蹤練習1：對于非零向量a，b，下列命題中正確的是（）。

A.a∥6=>a在b上的投影為|a|

B.a·b=O=>a=0或b=0

C.a⊥b=>a·6=（a·b）²

D.a·c=b·c=>a=b

提示：a在b上的投影為當a∥b時，cosθ=±1，可得|a|cosθ=±|a|，A錯誤。a，b是非零向量，顯然B錯誤。a⊥b=>a·b=0=>a.b=（a·b）²，C正確。向量的數量積中消去律不成立，D錯誤。應選C。

2.平面向量的線性運算

三角形法則和平行四邊形法則是向量線性運算的主要方法。共起點的向量，和用平行四邊形法則，差用三角形法則。

側2設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，則|AM|=（）。

A.8

B.4

C.2

D.l

解：因為，而，所以。應選C。

跟蹤練習2：在△ABC中，AE=2EB BC=，則=（）。

A.

B

C

D

提示：，應選A。

3.共線向量定理及其應用

共線向量定理的條件和結論是等價關系，既可以證明向量共線，也可以由向量共線求參數。利用兩向量共線證明三點共線要強調有一個公共點。

側了 已知A，B，C是直線l上三點，M是直線l外一點，若，則x，y滿足的關系是（）。

A.x+y=O

B.x+y>1

C.x+y<1

D.x+y=l

解：因為A，B，C是直線l上三點，所以A，B，C三點共線，則（k∈R）。。由以上三個式子聯立可以得到，整理可得，而已知條件中有由此可得x=l+k，y=-k，所以x+y=l。選D。

跟蹤練習3：已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c=ta+（1-t）b，若b·c=0，則t=_____。

提示：由c=ta+（l-t）b，得b·c=ta·b+（1-t）bz=0，即得tla llblcos 60.+（1 t）lbl-=0，化簡得.所以t=2。

4.平面向量基本定理的應用

應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算，其中共線向量定理的應用起著至關重要的作用。當基底確定后，任一向量的表示都是唯一的。

例4 如圖1，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C為弧AB上的一個動點。若，則x+4y的取值范圍是____。

解：過點C作CE∥OB，交OA于點E，再作CF∥OA，交OB于點F。

由四邊形OECF是平行四邊形，可得

由與是共線向量且與是共線向量，可得。

由OE與OA同向，OF與OB同向，可得x=

x、y均為正數且x+4y中y的系數較大，點C沿弧AB由點A向點B運動的過程中，變短而變長。當點C與點A重合時，x=1達到最大而y=0達到最小，此時x+4y有最小值為1；當點C與點B重合時，x=0達到最小而y=1達到最大，此時有最大值為4。所以的取值范圍足[1，4]。

跟蹤練習4：若α，β是一組基底，向量，則稱為向量y在基底α，β下的坐標。已知向量a在基底p=（1，-1），q=（2，1）下的坐標為（-2，2），則向量α在另一組基底m=（-1 .1），n=（1.2）下的坐標為（）。

A.（2.0） B.（O，-2） C.（-2，0） D.（O，2）

提示：由條件可得a=-2p+2q=（-2，2）+（4，2）=（2，4）。

設a=lm+mn=l（-1，1）+m（1，2）-（-l+m，l+2m）.則-l+m=2，l+2m=4，解得l=0，m=2。

所以向量α在另一組基底m=（-l，1），n=（l，2）下的坐標為（0，2），選D。

5.平面向量的坐標運算

利用向量的坐標運算解題，主要就是根據相等向量的坐標相同這一原則，通過列方程（組）進行求解；在將向量用坐標表示時，要看準向量的起點坐標和終點坐標，也就是要注意向量的方向，不要寫錯坐標。

例5 在平面直角坐標系中，0為坐標原點，設向量，其中a=（3，1），b=（l，3）。若，則點C的所有可能位置區域用陰影表示正確的是（）。

解：，令，可知點C對應區域在直線y=x的上方，應選A。

跟蹤練習5：已知兩點A（1，O），B（1，），0為坐標原點，點C在第二象限，且∠AOC=120°，設，則λ=（）。

A. -1

B.2

C.l

D. -2

提示：由條件知0A=（1，0），OB=（1，），

由已知條件∠AOC=120°，可得cos∠AOC=

所以，解得λ=1，應選C。

6.平而向量共線的坐標運算

向量共線問題中，一般是根據其中的一些關系求解參數的值。如果向量是用坐標表示的，就可以利用兩個向量共線的等價條件列出方程，求解其中的參數值。

例6 已知向量a=（2.3），b=（-1，2）.若ma+nb（mn≠0）與a-2b共線，則m/n等于（）。

解：因為ma+nb=（2m-n，3m+2n）.a-2b=（4，-l），所以（2m-n）×（-l）-（3m+2n）×4=0，可得，應選A。

跟蹤練習6：已知向量，則

A.-4

B.-9

C.-3

D.-l

提示：由向量，得

由，得（-l）=0，解得λ=-3。應選C。

7.求向量的數量積

在求向量的數量積的過程中，要充分利川共線向量定理和平面向量基本定理以及解三角形知識。

例7 設0是△ABC的三邊中垂線的交點，a.b，c分別為角A，B，C對應的邊長，已知，則BC·AO的取值范圍是____。

解：O是△ABC的三邊中垂線的交點.則O是△ABC外接圓的圓心。

如圖2所示，延長AO交外接圓于點D。由AD是⊙0的直徑，可知∠ACD=∠ABD=90。。因為cOs，所以

因為，所以O

令，所以當時，有最小值。因為.所以，可知的取值范圍是

跟蹤練習7：如圖3，已知O為△ABC所在平面上一點，若，則0為△ABC的（）。

A.內心

B.外心

C，垂心

D.重心

提示：由，可得

因為，可得OB⊥AC，所以點O在AC邊上的高BE上。

同理可得，點0在BC邊上的高AF和AB邊上的高CD上。

所以點O是△ABC三條高線的交點，因此點0是△ABC的垂心，選C。

8.平面向量的模

常見解法有：①把向量放在適當的坐標系中，給有關向量賦予具體坐標求向量的模。②不把向量放在坐標系中，可利用向量的運算法則及其幾何意義或應用向量的數量積公式求向量的模。

例8 已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個命題：

其中的真命題是（）。 解：由1，得2+2cosθ>1， cosθ>，可知o≤θ<

由1，得2-2cosθ>l，cosθ<，可知

應選A。

跟蹤練習8：已知直角梯形ABCD，AD∥13C，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，求的最小值。

提示：以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，建立如圖4所示的直角坐標系xDy。

由題設可知A（2，0），設C（0，c），P（0，y），則B（l，c），。由，可得，當且僅當時等號成立，所以當時，有最小值5。

9.平面向量共線與垂直問題

平面向量的坐標表示可使平面向量的運算完全代數化，從而可以利用“方程的思想”破解向量共線與垂直問題。

例9 已知向量與的夾角為120°，且若，且，則實數λ的值為____。

解：由向量與的夾角為l20°，且可得

由，得，即，所以，即，解得

跟蹤練習9：已知向量a=（-1，3），b=（x+1，-4），且（a+b）∥b，則x=（）。

A.3

B.1/3

c.-3

D.-1/3

提示：由a=（-1，3），b=（x+1，-4），可得a+b=（x，-1）。又（a+b）∥b，所以-4z+x+1=0，解得x=1/3。選B。

10.平面向量與其他知識的交匯問題

平面向量與其他知識的交匯問題是高考的常考題型，值得大家重視。

例10 函數.f（x）=2sin（ωx+ψ）（）的圖像如圖5所示，則

A.8

B.-8

解：由圖像可知，，所以T=π，可得ω=2。

又，得。

所以。

從而點，于是，可得，選C。

跟蹤練習IO：已知非零向量a，6滿足a⊥b，則函數是（）。

A.奇函數又是偶函數

B.非奇非偶函數

C.奇函數

D.偶函數

提示：由a⊥b，可得a·b=0，所以，可知為偶函數，選D。

11.平面向量中的新定義問題

這類問題的特點是背景新穎，信息量大。解答這類問題，首先需要分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質弄清楚，然后應用到具體的解題過程中

例11 （2014年高考安徽卷）已知兩個不相等的非零向量a，b，兩組向量，和均由2個a和3個b排列而成。記S=表示S所有可能取值中的最小值。下列的正確命題是____（寫出所有正確命題的編號）。

①S有5個不同的值。

②若a⊥b，則Smin與|a|無關。

③若a∥b，則Smin與|b|無關。

④若|b|>4|a|，則Smin>0。

⑤若|b|=2|a|，Smin=8|a|²，則a與b的夾角為π/4。

解：S可能的取值有3種情況：，所以S最多只有3個不同的值。

因為a，6是不相等的向量，所以以，可得

對于①，可知明顯錯誤。

對于②，當a⊥b時，Smin與|a|無關，知②正確。

對于③，當a∥b時.Smin與|b|有關，知③錯誤。

對于④，設a，b的夾角為θ，則，所以0，知④正確。

對于⑤，可得，又，可知，知⑤錯誤。答案為②④。

跟蹤練習11：在邊長為1的正六邊形ABCDFF中，記以A為起點，其余頂點為終點的向量分別為；記以D為起點，其余頂點為終點的向量分別為。若，m.M分別為（的最小值和最大值，其中則m，M滿足（）。

A.m=O，M>O

B.m<0，M>O

C.m<0，M=O

D.m<0，M

提示：如圖6，只有，其余均有，應選D。