數形結合思想在高考中的應用

王新宏

數形結合思想是解答高考數學試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時往往能發揮奇效，因此重視對有關數形結合題型的分析，將有助于提高解題的能力和速度. 下面就2014年高考中出現的數形結合題型進行淺析，希望引起更多讀者對數形結合思想的重視.

數形結合在圓中的應用

例1 在平面直角坐標系中，[A，B]分別是[x]軸和[y]軸上的動點，若以[AB]為直徑的圓[C]與直線[2x+y-4=0]相切，則圓[C]面積的最小值為（ ）

A. [45π] B. [34π] C. [（6-25）π] D. [54π]

分析 涉及直線與圓的位置關系式，應多考慮圓的性質，利用平面幾何知識直觀求解.

[ 圖1] 解 如圖1，以線段[AB]為直徑的圓[C]必過原點O（[∠AOB=90°]），要使圓[C]的面積最小，只需圓[C]的半徑或直徑最小. 又圓[C]與直線[2x+y-4=0]相切，所以由平面幾何知識知，圓[C]的直徑的最小值為點[O]到直線[2x+y-4=0]的距離，此時[2r=45]，得[r=25.]因此，圓[C]面積的最小值為[S=πr2=45π].

答案 A

點撥 本題考查考生靈活運用所學知識分析問題，解決問題的能力；仔細琢磨、分析，動圓[C]的圓心的軌跡是一條拋物線，其中[O]為頂點，直線[2x+y-4=0]為準線. 此時也就不難理解為什么原點[O]到直線[2x+y-4=0]的距離為直徑的最小值，設計獨特.

數形結合在向量中的應用

例2 在平面直角坐標系[xOy]中，已知向量[a，b，|a|][=|b|=1，a?b=0]，點[Q]滿足[OQ=2（a+b）]. 曲線[C={P|OP=acosθ+bsinθ，0≤θ≤2π}]，區域[Ω={P|0

A.[1

C.[r≤1

分析 因為[a=b=1，a?b=0]，即[a]與[b]為單位向量，且相互垂直，所以把[a]與[b]作為平面直角坐標系的基底. 從而可使點[Q]坐標化，曲線[C]與[Ω]具體化，問題明朗化、簡單化.

解 設[a=（1，0），b=（0，1）]則[OP=（cosθ，sinθ）]，[OQ=（2，2）]. [ 圖2] 以曲線[C]是單位圓，區域[Ω]為圓環（如圖2），要使得[C?Ω]為兩段分離的曲線，就要使得[Ω]圓環的大小圓與單位圓[C]都相交即可. ∵[|OQ|=2]，∴[1

答案 A

點撥 此題把向量、集合、三角函數、平面幾何、解析幾何融合交匯，側重幾何意義的考查，綜合性較強，重視對數學語言的運用與轉化，顯示出命題人的巧妙構思，起著一定的把關作用.

數形結合在函數中的應用

例3 已知函數[f（x）=ax3-3x2+1]，若[f（x）]存在惟一的零點[x0]，且[x0>0]，則[a]的取值范圍是（ ）

A. [（2，+∞）] B. [（1，+∞）]

C. [（-∞，-2）] D. [（-∞，-1）]

分析 在研究含參數的函數零點問題時，借助導數，利用[f（x）]與[f（x）]的圖象，數形結合分類討論，可快速準確地解題.

解 （1）[a=0]時，有兩個零點，不滿足題意.

[ 圖3]（2）[a<0]時，[f（x）=ax3-3x2+1]，[f（x）=3ax2-6x=0]，得[x=0]或[x=2a]，由[f（x）]的草圖如圖3可知，

當[x∈（-∞，2a）]時，[f（x）<0]，[f（x）]為減函數；

當[x∈（2a，0）]時，[f（x）>0]，[f（x）]為增函數；

當[x∈（0，+∞）]時，[f（x）<0]，[f（x）]為減函數.

故得滿足題意[f（x）]的草圖為圖4： [圖4]

因為[f（x）]存在唯一的零點[x0]，

所以[f（2a）>0]，得[a>2]或[a<-2].

故此時[a<-2].

（3）[a>0]時，[f（x）=3ax2-6x=0]，

得[x=0]或[x=2a]，由[f（x）]的草圖如圖5可知：

[ 圖5] [圖6]

當[x∈（-∞，0）]時，[f（x）>0]，[f（x）]為增函數；

當[x∈（0，2a）]時，[f（x）<0]，[f（x）]為減函數；

當[x∈（2a，+∞）]時，[f（x）>0]，[f（x）]為增函數.

故此時滿足題意[f（x）]的草圖為圖6.

因為[f（x）]存在唯一的零點[x0]，但顯然[x0<0]，不滿足題意.

綜上得：[a<-2].

答案 C

點撥 此題考查了含參數的零點討論、轉化與化歸、數形結合、分類討論的數學思想的應用，畫圖很好地為解題搭建了思路，邏輯思維方面，步步為營，環環相扣，層層遞進. 雖然背景質樸熟悉，但考生不易求解或由于思維不嚴謹而容易出錯.

例4 已知函數[f（x）]是定義在[R]上的奇函數，當[x≥0]時，[f（x）=12（|x-a2|）+|x-2a2|-3a2.]若[?x∈R，f（x-1）][≤f（x），]則實數[a]的取值范圍為（ ）

A. [[-16，16]] B. [[-66，66]]

C. [[-13，13]] D. [[-33，33]]

解析 當[x≥0]時，[f（x）=-x， 0≤x≤a2，-a2， a2

又[f（x）]為奇函數，可得[f（x）]的圖象如圖7所示，觀圖象可知，要使[?x∈R， f（x-1）≤f（x）]成立，則需滿足[4a2-（-2a2）≤1]，解得，[-66≤a≤66].

[圖7]

答案 B

點撥 本題考查考生應用數形結合思想、綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力，充當小題把關的重要角色，題目設置新穎，算的不多，但想的很多且還要想到位，這需要足夠的知識儲備與數學靈氣.