生活中的對稱及對稱性的刻畫

余永麗

【摘 要】文章通過對一些具體的對稱對象進行分析，得到了對對稱的基本特性的認識，并給出了對稱的精確刻畫。

【關鍵詞】對稱 結構 變換

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.04.096

對稱是自然界普遍存在的一種現象，無論是靜止的還是變化事物往往都呈現出各種各樣的對稱性。掌握好對稱的一些基本知識有便于提高人們的審美素質，也能在科學領域里得到廣泛的應用，例如對稱的一些基本原理能用于化學中晶體結構的研究、藝術中作品的構造、生物中物種進化研究等等。而對對稱的認識往往都只在于表面，文章通過從一些特殊的對稱對象出發，經過循序漸進的分析得到了對稱的一般定義。

一、直觀的圖形對稱

形體的對稱在自然界幾乎隨處可見，如樹葉的對稱、蝴蝶的對稱，自然風景的對稱等等。對稱總給人以美感，人們欣賞對稱的美，而且對稱也給人的生活帶來很多的方便，于是人們在繪畫創作中追求對稱，在建筑和機械設計中都講究對稱美。數學作為一門高度抽象了的科學，在對稱方面的體現更是精確和美麗。人們從小學到現在所學的幾何圖形中見得最多的都是對稱的圖形。

不管是在生活中還是在高度抽象的數學中，很多對稱都如天平一樣左右關于某一直線或平面分開而能重合，具體的說：一個物體，即空間構形，如果在關于給定直線E（或平面）的一個反射下變為其自身，我們就說它關于E是對稱的。取垂直于E的任意直線l以及l上的任意一點P，那么此時在l上（在E的另一邊）就存在一點P‘（也只有這么一點P‘）與E有同樣的距離。僅當P在E上，點P‘才與P重合。

關于E的反射是空間到其自身上的映射ψ：P→P‘，這一映射把任意點P變為關于E的鏡像P‘（如圖）。用人們的話來說，就是左和右關于對稱直線（或平面）反射可完全重合，這里左和右是一個相對的概念，即是在人為規定下得到的，這樣的物體的空間結構兩邊是完全相同的。

那么空間結構又怎樣去描述呢？可以從重合這里開始，重合實際上是對于任意的兩點A、B∈S在映射ψ作用的前后A、B的距離d（A，B）沒有發生改變，這樣我們可以看到圖形的對稱實際上是在反射的作用下保持空間結構不變且回到自身的一種特性。

二、裝飾上的對稱

一個在平移L下不變的圖形顯示了裝飾藝術中的所謂“無限關聯”，即圖案以一定的周期在空間中規則的重復，而且我們如果記Li為L在相同方向上平移i次，則圖案在L1，L2，L3，…，Ln，…下也是不變的，如果L平移圖案的長度為a，那么Ln平移它的量為na，從這個意義上來說，將直線上的一個給定的具有無限關聯的圖案，仍映為其自身的所有平移，就是基本平移a的倍數na，而且這一周期也可以和反射對稱結合起來。如果這樣的話，那么相鄰的反射中心之間的距離為1/2a。這樣所謂裝飾中的無限關聯就是具有在平移的作用下保持空間結構不變且回到自身的一種特性。

三、抽象的數式的對稱

類似于圖形的對稱，也可以看到整數集Z={…，-n，…，-1，0，1，…，n，…}關于0對稱，有理數集、實數集等都具有對稱性；

對于Z={…，-n，…，-1，0，1，…，n，…}作映射Ψ1：k→k，（k∈Z），Ψ2：k→-k，（k∈Z），這樣Z在Ψ1，Ψ2的作用下是不變的；

我們所熟悉的n個變元x1，x2，…，xn的n元多項式中也存在著不易發現的對稱性，如： F（x1，x2，…，xn）=x1+x2+…+xn、f（x1，x2，…，xn）=x1x2…xn ，任意交換xi，xj（1≤i，j≤n）的位置，不改變多項式的結構，這類似于在置換：

Ψ：（1，2，…，n）→（i1，i2，…，in），（i1，i2，…，in是1，2，…，n）的一個全排列）的作用下f（x1，x2，…，xn）的結構沒有發生改變，為了下面討論的方便記Ψ：（1，2，…，n）→（i1，i2，…，in）= 。

由此可見在很多地方對稱都散發著它的光彩。

四、對稱的進一步歸納

以上的反射、平移、置換都是一個映射。所以對稱就是對象在某個映射下有保持其結構不變且回到自身的一種特性，而對于不同的對象其結構有著不同的含義，在這里只關注對象在變換下保持不變，其結構的本質意義并不是我們所討論的重點內容，為了研究的方便，統一把這些結構叫關系，記作“*”。例如在平面中d（A，B）=A*B.另外上面中的映射都有著他們特殊的性質，就是保持結構不變且回到自身，即保持元素間關系不變，這樣就可以給出如下的定義：

定義1：設集合M有一個到自身的映射Ψ，M的元素間定義了某種關系“*”，滿足 ，就稱Ψ是保持了集合的關系“*”的一一變換。這樣一個集合S的對稱實際上就可以如下的描述：

定義2：設M是一個給頂的集合，S是M的一個子集，如果M存在一一變換Ψ（非恒等），使得 ，則稱集合S是對稱的。

可以說S是對稱的，是指S存在一個非恒等一一變換，使得S保持結構不變且回到自身的一種屬性。不對稱集合S對于任意的非恒等一一變換，都不能回到自身。

以上給出了對稱的定義。只要在其變換下保持不變的事物都具有著對稱性，而從上面的例子中可以看到反射、平移、平移后反射、旋轉變換下的對稱，但是對稱的形式很多，并不只局限于以上幾種。

參考文獻

[1]魏爾著.對稱性[M].上海：上海翻譯出版社，1990：3.

[2]王仲春等著.數學思維與數學方法論[M].北京：高等教育出版社，1989：66，67.