突破M>>m的緊箍咒

蘇清水

摘 要：《探究加速度與力、質量的關系》這個實驗是高中力學中很重要的一個實驗，也是高考頻考的一個知識點。這個實驗的一個很重要的特色是需要小車質量遠大于砂桶的質量（M>>m）這個限制條件，如何突破這個緊箍咒，實現實驗設計的創新？這是近幾年高考在這個實驗上著重考查的地方。本文從實驗方法角度突破這個限制改進實驗，以幫助學生更好地提高實驗設計能力。

關鍵詞：加速度與力、質量的關系；牛頓第二定律；實驗；M>>m

《探究加速度與力、質量的關系》這個實驗是高中力學中很重要的一個實驗，也是高考頻考的一個知識點。這個實驗的一個很重要的特色是需要小車質量遠大于砂桶的質量（M>>m）這個限制條件，如何突破這個緊箍咒，實現實驗設計的創新？這是近幾年高考在這個實驗上著重考查的地方。本文試著從實驗方法角度突破這個限制改進實驗，以幫助學生更好地提高的實驗設計能力，迎接高考的檢驗。

1 《實驗探究報告》編寫組編寫的實驗內容

（1）實驗目的：探究加速度與力、質量的關系

（2） 實驗原理：利用砂及砂桶通過細線牽引小車做加速運動的方法，采用控制變量法研究上述兩組關系。

（3） 實驗步驟

①用天平測出小車和小桶的質量M和m，并把數據記錄下來。

②安裝好實驗裝置如圖1所示。

③平衡摩擦力：將長木板的不帶定滑輪的一側抬起適當的角度，小車一端系上紙帶，另一端不掛小桶，輕推小車，小車所帶動的紙帶打點均勻，說明小車剛好能沿斜面向下勻速。

④小車一端系上紙帶，另一端通過細線掛小桶，先接通電源再無初速釋放小車，小車帶動紙帶運動，打點計時器在紙帶上打下一系列的點，利用紙帶求出小車加速度a。

⑤讓小車的質量保持不變，通過改變小桶中的沙的質量而改變車所受牽引力，重復步驟④，將記錄的數據填寫在事先設計好的表格內 [1 ]。

⑥建立直角坐標系，縱坐標代表小車加速度，橫坐標代表小車所受合外力，在坐標系上描點，畫出相應的圖線以探究a與F的關系。

⑦讓小桶（含其中的沙）的質量保持不變，通過在小車上增減砝碼而改變小車的質量，重復上述步驟⑤、⑥探究a與的關系。

2 實驗困境和《實驗探究報告》編寫組對困境的處理

平衡摩擦后，將砂桶通過細繩系在小車上，接通電源放開小車，使系統做加速運動：

對砂桶：繩拉力T=mg-ma…① 對小車：T=Ma…② 對系統：mg=（m+M）a…③

困境Ⅰ：因為砂桶和小車一起勻加速，由①式可知，T

困境Ⅱ：由③式可知，雖然作用力mg可以保持不變，可以探究a隨M的變化關系，但a與不成正比，實驗數據的處理比較麻煩，結論也很難得出。

教材對困境的解決：由①②式可知a=，T=Ma==

當M>>m時，T≈mg 對車來說：T≈mg=Ma

故可通過改變砂桶中細砂的質量來改變拉力的大小，從而探究加速度與拉力的關系；在小車上添加砝碼來改變小車的質量，從而探究加速度與質量的關系。

從教材對該實驗的處理可以看出，當M>>m時，接近于零，M對T的影響可以忽略，這種突出主要因素，忽略次要因素的思想也是物理學科的一種很重要的思想方法。但是在描繪a-圖像時（圖2），隨著的增大，M逐漸減小，減到一定程度就不再滿足M>>m，此時不能在忽略，T不再近似等于mg， a-圖像不再是一條直線，實驗存在較大誤差。

從以上的分析可以看出，按教材編寫組的設計，這個實驗要成功必須要滿足M>>m這個前提條件。M、m相差較小時，實驗就會存在較大的誤差。要突破M>>m的限制，可以從改進實驗儀器著手，如圖3所示，將一個拉力傳感器水平固定在小車上，細繩拉力的大小F可直接從拉力傳感器上讀出，a與F的關系很容易探究，但在中學階段的學生實驗，傳感器的使用還不是很普遍，因此本文重點從改進實驗方法入手，創新實驗方案，這樣也更能訓練學生的實驗思維和能力。

3 實驗創新方案

（1） 方案一

①實驗裝置如圖4，用天平測出小車質量M和鉤碼質量m

②長木板帶有光滑輕質定滑輪的一端下面墊上一薄墊塊，小車一端同時連著紙帶和細線，紙帶與打點計時器相連，細線通過定滑輪掛上鉤碼。

③通過改變墊塊的位置適當調整長木板的傾角，將細線一端通過定滑輪掛上鉤碼，使得輕推小車后，與車相連的紙帶上打點均勻分布（小車沿木板向下勻速）。

④不改變長木板的傾角，先取下細繩和鉤碼，再無初速釋放小車，使小車能沿長木板向下勻加速。通過紙帶上的打點情況求出小車的加速度a [2 ]。

⑤小車質量M保持不變，改變鉤碼質量m，重復步驟③和④，求出對應的a-F（F=mg）圖像。

⑥鉤碼質量m保持不變，改變小車質量M，重復步驟③和④，求出對應的a-圖像

說明：由步驟③知，因為系統勻速，所以mg=T=Mgsinθ-μMgcosθ

由步驟④知，Mgsinθ-μMgcosθ=Ma，聯立得mg=Ma

從推導過程可以看出，該方案的優點是：繩的拉力一定等于鉤碼的重力，并不需要M>>m這個前提條件。缺點是：長木板的傾角θ需滿足mg=Mgsinθ-μMgcosθ，每次改變M或m時，就要重新調整木板的傾斜角以使系統勻速。

在這個方案中，先掛鉤碼讓系統勻速，然后撤去鉤碼，讓小車勻加速。而原方案中，先讓小車單獨向下勻速，然后掛上鉤碼，讓系統勻加速。兩個方案相比，只是兩個步驟的順序換了一下，但結果卻大為不同。

（2） 方案二

實驗裝置如圖5：小車上固定一個盛有沙子的盒子，不可伸縮的輕細繩一端連著小車，一端通過光滑輕質滑輪連著沙桶，小車的總質量（包括車、盒子及盒內沙子質量）記為M，沙桶的總質量（包括桶以及桶內沙子質量）記為m [3 ]。

①平衡摩擦力：調整長木板傾角，直到輕推小車（不掛沙桶），小車剛好在長木板上勻速向下。

②從盒子中取出一些沙子，裝入沙桶中，稱量并記錄沙桶的總重力mg，將該力視為合外力F。將沙桶通過細繩系在小車上，先接通電源再無初速釋放小車，使小車運動，打下紙帶并利用紙帶求出小車的加速度a。

③從盒子中再取出一些沙子，裝入沙桶中，重復步驟②，即改變F并測出對應的a。

④以系統所受合外力F（F=mg）為橫軸，以加速度a為縱軸，畫出a-F圖象。

說明：對系統分析，mg=（m+M）a，因桶內的沙子取自小車中，所以當m改變時，系統的總質量（M+m）保持不變，a與F（即mg）成正比，很容易得到探究結論。

在這個方案中，質量的改變只在系統內部之間進行，系統的總質量保持不變，因此就可以直接利用系統來探究加速度與力、質量的關系，不再需要M>>m這個前提條件。而原方案中，小車質量不變，改變砂桶的質量時，系統的質量發生改變，方程mg=（m+M）a兩邊都出現變化，沒辦法用限制變量法探究a-F關系。

（3） 方案三

裝置如圖6：A為小車，連接在小車后面的紙帶穿過電火花打點計時器B，它們均置于水平放置的一端帶有定滑輪的足夠長的木板上。P為重物， C為豎直放置的彈簧測力計，不可伸縮的輕細線一端連著小車，一端通過定滑輪和動滑輪和C相連 [4 ]。

①平衡摩擦力：撤去細線，調整長木板的傾角，直到輕推小車（不掛沙桶），小車剛好在長木板上勻速滑下。

②按圖6安裝各器件，無初速釋放小車，讀出測力計的示數F，利用紙帶測出小車的加速度a。

③在小車質量M不變的情況下，改變P的質量m，讀出測力計不同讀數F，建立坐標，畫出相應的圖線以探究a與F的關系。

在這個方案中，繩子的拉力用測力計的示數來體現，不管小車運動狀態如何，在忽略滑輪摩擦阻力和測力計各器件間摩擦阻力的情況下，繩子的拉力大小總等于測力計讀數，不需要滿足M>>m這個條件。這個方案的缺點是裝置比較麻煩，而且以上這些摩擦阻力也很難完全忽略掉。

參考文獻：

[1] 《實驗探究報告冊》編寫組. 《實驗探究報告》物理必修1（配山東科技版） [M] . 北京：北京教育出版社， 2008：53-55.

[2] 徐志長. 提煉方法 升華能力——高三物理后階段有效復習談[J]. 教學月刊：中學版（教學管理），2013（3）：24-28.

[3] 扈炳芳.用“轉移鉤碼法”驗證牛頓第二定律[J].物理通報，1997（4）：33-34.

[4] 李金坡.牛頓第二定律實驗研究與改進[J].物理通報，1999（12）：37-39.