例談中學數學中的最值問題

蘇金陽

【摘要】在中學數學的學習中，常遇到有關求最值的問題，在大多數情況下，這類問題可以歸結為幾種常見求最值的方法----映射與反演、幾何性質、函數、均值不等式。由于這類問題涉及的知識面廣，綜合性強，解題方法靈活，因而對于培養學生的數學能力具有極為重要的作用，現舉例說明最值問題的常見類型及常用解法共同探討。

【關鍵詞】求最值 數學能力 常用方法 映射與反演 幾何性質 函數 均值不等式

引言：在中學數學中，最值問題一直以來都是一個比較重要的問題。不僅涉及到一些著名的數學問題，還廣泛應用于現實生活中。因此處理好最值問題對于研究其它問題有很大的幫助。那么怎樣來處理最值問題呢？

徐治利先生曾說過：“如果誰能對于一些重要的關系結構巧妙地引進非常游泳且具有可行性反演 的可定映射 ，就能作出比較重要的貢獻。”

在此主要談談如何利用“映射反演”的方法來處理中學數學中一些常見的最值問題。所謂的“映射”作為廣義講，就是指實現化難為易的某種對應方法或變換手段；而“反演”就是把變換后求得的解答再轉換為原來問題要求的解答。

中學數學中的最值問題一般常見的可分為三類：

（一）與函數直接相關的。常見的有二次函數、三角函數求最值的問題。對于一些比較常見的一般來說都可以用下列方法解決：利用函數單調性、判別式法、換元法及導數極值的應用。

例1：求 在R上的最值。

法一：利用函數單調性，易知函數在 為增函數，在 為減函數，所以函數只有最大值既 時 ；

法二：利用判別式法，把y看成常數既方程 在R上有解即 ；

法三：利用導數求極值，易知函數在R上是連續的。即極值點為 為極值點，又 則 在 取得最大值。

對于一些比較簡單的最值問題，以上的方法一般來說都可以解決，而且做法也比較簡單。但對于一些比較復雜的問題就比較困難，這時候如果采取“映射反演”的方法把這些問題轉化為上述比較簡單的問題或一些比較簡單的做法，做起來會事半功倍的。

例2：

以上的問題對于這一類型最值問題主要的方法在于尋求一個數學模型，然后把相應的最值問題進行變形，變形為簡單常見的求函數最值情形。

（二）均值不等式的應用。對于均值不等式類型的最值問題一般來說主要把對應的最值問題轉化為均值不等式的模型。

對于例5來說直接做比較困難，對于 三項之和雖然為定值但是等號取不到也就是說按照這種構造行不通。對于這個問題如果把這個式子兩邊同時平方，這時候 三項之和為定值，且等號能取到。由此對于一般的均值不等式的如果能夠轉化為上述模型解決起來會事半功倍。

（三）一些重要的幾何性質的應用：利用映射與反演把一些比較復雜的有關幾何的最值問題轉化為一些比較簡單的幾何問題。如：三點共線、兩點間線段最短、對成問題等等。

例4：立體幾何問題 平面幾何問題

（1） （2）

圖1-1

從圖1-1可以看出圓臺側面與扇環 的點與點之間存在一一對應關系。圓臺側面上最短的細繩即為扇環內 的長度。因此對于立體幾何的問題如果能轉化為平面幾何問題，此時對應的問

題會更簡單更易于入手。除了立體幾何與平面幾何的轉換外，又如：

兩線段的和最小的問題 點與點的共線與對稱問題

例5：

由此可見對于中學數學中的最值問題，如果能利用映射與反演的方法來做，往往都會使問題簡單化、明了化，更易于入手。但并不是所有的最值問題都可以按照這種方法來做。要應用映射與反演原則來解題一般要考慮以下幾點：

1、能否在同一關系結構中構造出該問題的模型；

2、能否用另一知識、知識系統中的語言來改述與解決這個問題；

3、能否用特殊的技巧將題設或結論變形，從而找到某種對應手段，把問題映射到其他領域中去解決，然后再反演回原來的系統得出結果。

【參考文獻】

[1]《數學教學中培養中學生閱讀能力的實驗與思考》許世紅 羅華《數學教育學報》2001.2第10卷底1期

[2]《身邊的數學》梁智勇 黃孟宜 潘欣等《中學生數學》2000.7

[3]《數學步步高同步學案》王朝銀2010.5