矩陣可逆的一個充分必要條件的幾種講法

劉艷花

摘要：本文主要介紹了矩陣可逆的一個充分必要條件即矩陣A可逆的充分必要條件是A的行列式不等于零的三種講法，并對其進行了一定的對比分析。其中第一種講法最為常見，很多新教師也常用，就是直接按書中順序講授這個充分必要條件，直接教授學生知識；而第二種講法則是引導學生探究這個充分必要條件得來的過程，最終得到該充分必要條件；第三種講法基于矩陣的初等變換，得到一系列矩陣可逆的充分必要條件，而該充分必要條件是前面幾個充分必要條件的直接推論。這三種講法各有優劣，可根據不同情況適當選取。

關鍵詞：矩陣可逆；行列式；充分必要條件；講法

中圖分類號 ： O1 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）09（B）-0000-00

不論是在線性代數的教學中還是高等代數的教學中，矩陣的相關內容都是十分重要的。而其中矩陣可逆的部分又是要重點講授的，因為逆矩陣在討論研究矩陣問題時有重要作用。在矩陣可逆的這部分內容中，矩陣可逆及逆矩陣的定義是必然要介紹的，而矩陣可逆的條件中有一個充分必要條件即一個方陣可逆的充分必要條件是它的行列式不等于零是一定會講授的，也是應用較多的，因此要求同學們一定理解掌握。

而就這一個充分必要條件不同的教師有不同的講法，本文根據自己的體會，介紹了這一個充分必要條件的三種講法并進行了一定的對比分析。

第一種講法是非常常見的，很多教師都采用，特別是剛開始教線性代數的新教師。我在第一次教這部分時也用的是這種講法。首先介紹了矩陣可逆的定義[1]，即設A為n階方陣，如果存在n階方陣B，使得AB=BA=E（E是n階單位矩陣 ），則稱方陣A是可逆的，而B稱為A的逆矩陣。在同學們知道理解了矩陣可逆及逆矩陣概念后，就引入介紹矩陣可逆的條件，我們主要介紹矩陣可逆的一個常用的充分必要條件。而為了介紹這個充分必要條件，首先需要介紹一個相關的內容，那就是伴隨矩陣的相關概念[2]。對于伴隨矩陣首先介紹伴隨矩陣的定義：

設矩陣A，則稱矩陣為A的伴隨矩陣，其中Aij 是矩陣A中元素aij的代數余子式。

接著介紹伴隨矩陣的一個重要性質：

同時給出其證明：事實上，由代數余子式的性質

同理可得，所以。

這樣準備工作已做好，就來講最重要的矩陣可逆的充分必要條件。

定理（矩陣可逆的充分必要條件）矩陣A可逆的充分必要條件是，且。

證明：（必要性）若，且，則，故A可逆且。

（充分性）若A可逆，，那么，因此。

以上是第一種講法的基本過程，當然這其中還有很多教師的引導講解，這里未體現。但這種講法的講授思路和順序基本按照教材中給出的順序來講，其實就是直接教授給學生們概念和結論，讓學生們去理解應用，缺乏探究這些結論的過程。而第二種講法恰恰是由矩陣可逆的定義出發按照正常的推理過程得到了矩陣可逆的充分必要條件。

第二種講法首先仍是介紹矩陣可逆的定義，接著就探究矩陣可逆的充分必要條件。探究過程如下：

由矩陣可逆的定義，要想方陣A可逆，首先得找出同階方陣B，使得AB=E，再看BA是否也等于E。那么我們假設A=，B=，那么由矩陣乘法，AB的第i行第j列（i，j=1，2，…，n）元素應該是

（1）

此時引導學生從已有知識中尋找與該問題類似或相關的內容來解決現在的問題。

（1） 式與我們之前學過的

（2）

（其中Aij 是矩陣A中元素aij的代數余子式）類似。

對照上兩式可發現它們相差無幾，那么由矩陣乘法，（2）式也可看成是矩陣A與另一個矩陣乘積的第i行第j列元素。

若令該矩陣為D，則易知D是這樣的一個矩陣

那么由（2）式易得

還可驗證（學生計算驗證），即

（3）

該式與定義中AB=BA=E相差不多，只是單位矩陣前多了detA這樣一個數。

那么若，由（3）式及矩陣的數乘運算可得。

因此由矩陣可逆的定義，A可逆，是A的逆矩陣，即，則AB=BA=E。

這樣我們知道當矩陣A可逆時，它的逆矩陣可由矩陣D表示，那么把由矩陣A的元素的代數余子式按一定順序排成的矩陣D稱為A的伴隨矩陣，記為，即，且。

這樣伴隨矩陣的概念及性質很自然的就引出來了。下面就繼續討論。

由上可知，若，則A可逆且其逆矩陣是。

反過來，若A可逆，A的行列式如何？

若A可逆，，那么，因此。

那么由上面的一系列探討可得矩陣可逆的充分必要條件：矩陣A可逆的充分必要條件是，且。

這樣矩陣可逆的充分必要條件由此就推導出來，而伴隨矩陣的相關概念也在其中自然的得到，學生也能知道為什么會有伴隨矩陣、伴隨矩陣為什么是那樣組成。整個過程重在引導學生自主探究，不是直接就把知識擺在學生面前，這對學生能力的培養更符合現在教育的要求。

下面介紹第三種講法[3]。第三種講法不是直接得出這個矩陣可逆的充分必要條件，而是由另外的一些充分必要條件推導得出它的。這種講法首先是在同學們知道矩陣的初等變換的基礎上，接著介紹初等矩陣及初等變換與初等矩陣的關系后，開始討論矩陣可逆的充分必要條件。首先要介紹兩個引理。

引理1：設對矩陣施行一個初等變換后得到矩陣，則可逆的充分必要條件是可逆。

引理2：一個矩陣總可以通過初等變換化為以下形式的一個矩陣，，其中是r階單位矩陣，表示的零矩陣，r是的秩。

這兩個引理在介紹時也要講解其證明，這里省略了。

由引理2，當是一個n階矩陣時，是一個對角矩陣。那么由這兩個引理，n階矩陣是否可逆決定于對角矩陣是否可逆。然而對角矩陣是否可逆是容易看出的。當（是n階單位矩陣）時，可逆；當時，不可逆。

由此得到矩陣可逆的充分必要條件1：n階矩陣可逆的充分必要條件是可通過初等變換化為單位矩陣。

由充分必要條件1可得到充分必要條件2。

矩陣可逆的充分必要條件2：n階矩陣可逆的充分必要條件是可寫成初等矩陣的乘積。

這里可以證明充分必要條件2。

事實上，由充分必要條件1，n階矩陣可逆的充分必要條件是可通過初等變換化為單位矩陣。而可通過初等變換化為單位矩陣的充分必要條件是存在初等矩陣，使得。因為初等矩陣都可逆且其逆矩陣仍是初等矩陣，那么上式可寫為

這樣證明了矩陣可逆的充分必要條件2

由矩陣可逆的充分必要條件1和初等變換不改變矩陣的秩可得矩陣可逆的充分必要條件3。

矩陣可逆的充分必要條件3：n階矩陣可逆的充分必要條件是矩陣的秩等于n。

由秩的定義我們知道n階矩陣的秩等于n的充分必要條件是的行列式不等于零即。所以由此立刻可得矩陣可逆的充分必要條件4。

矩陣可逆的充分必要條件4：n階矩陣可逆的充分必要條件是。

以上是第三種講法，不是直接就討論我們所說的這個充分必要條件，而是通過前面幾個充分必要條件自然推導出的。

綜上，這三種講法各有裨益。第一種講法知識結構清晰，有利于知識的的掌握，但缺乏對知識的探究過程。相比較，第二種講法更注重對知識學習過程的探究，應用舊知識探究新知識，且更易知整個推理過程的來龍去脈，有助于學生探究能力的培養和學習興趣的激發。這種講法更符合現代教學的理念。而第三種講法是從另一個角度出發，以矩陣的初等變換為基礎，得出多個矩陣可逆的充分必要條件，而我們所說的那一個是前面幾個的直接推論，這是順理成章的。

總之，同一教學內容可有多種講法，而對于這三種講法我們可以根據教材，學生的水平，學科要求等條件來適當選用，把這部分內容真正讓學生理解掌握。

參考文獻

[1]王海清，額爾敦布和.線性代數[M].呼和浩特：內蒙古大學出版社，2012.

[2]北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]張禾瑞，郝鈵新.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2007.