從兩道例題談起

傅雨春

在數學教學中，為了加深對所學過的概念、公式、定理等基礎知識與相關的數學思想方法的理解掌握，離不開對例題的學習與思考。那么，面對一道例題，是跟隨著教材中的思路與解答過程進行簡單地分析講解，還是帶著思考的眼光對問題進行一番打量審視.不同的教學取向，將會得到不同的效果。

本文僅以蘇教版《必修5》第44-45頁中的兩道例題為例，為在例題教學時，提出幾點建議，供參考。

例1.某劇場有20排座位，后一排比前一排多2個座位，最后一排有60個座位，這個劇場共有多少個座位？

這是第44頁中的一道例題，教材中提供了如下一種解答：

解：這個劇場個排座位數組成等差數列{an}，其中公差d=2，項數n=20，且第20項是a20=60。

由等差數列的通項公式，得60=a1+（20-1）×2，所以a1=22。

答：這個劇場共有820座位。

從上述解答過程可以看出，這道例題是為了考查等差數列的求和公式的應用而安排的。

大家知道，等差數列的求和公式有兩種表達形式，即

顯然，教材中給出這種解法是基于公式①來思考的。因為在本題中，是利用公式①來求劇場的座位總數，其中的n=20，a20=60，只有a1未知，為此，在公差d=2時，利用an=a1+（n-1）d求出a1。

上述解法，不僅省去了直接求出a1的運算過程，簡化了運算過程，還體現了推導等差數列前n和公式時所用的倒序相加的思想方法。

在教學過程中，若能引導學生這樣去審視本題，則對這個例題的理解就會更加深刻。

再看第45頁中的一道例題：

例2.某種卷筒衛生紙繞在盤上，空盤時盤芯直徑40mm，滿盤時直徑120mm（如圖），已知衛生紙的厚度為0.1mm，問：滿盤時衛生紙的總長度大約是多少米（精確到1m）？

對于本題，教材中給出的解法是：

解：衛生紙的厚度為0.1mm，可以把它繞在盤上的衛生紙近似地看做是一組同心圓，然后分別計算各圓的周長，再求總和。

由內向外各圈的半徑分別為20.05，20.15，…，59.95，

因此，各圈的周長分別為40.1π，40.3π，…，119.9π，

答：滿盤時衛生紙的長度約為100m。

不難看出，本題是一個與我們的日常生活密切關聯，且饒有趣味的實際問題。教材中的呈現的解法，顯然是將思維固化在等差數列的視角上。其解題的思維分析以及計算過程顯得不是那么輕松。是否有更加簡明一些的求解方法？回答也是肯定的！其前提是，不要固化我們的思維視角，即未必把問題非看成數列問題。這樣，就可以從把問題視為立體幾何中的等體積問題來求解，請看以下方法：

設卷筒衛生紙的高度為hmm，衛生紙的總長為xmm。

顯然，卷筒衛生紙的體積等于衛生紙拉伸舒展后的體積。

也即，滿盤時衛生紙的長度約為100m。

由上述解法，我們很快可以得出以下問題的一般性結論：

上述解法，由于思維視角不落窠臼，揭示了問題之本質，從而使得問題的求解過程異常簡潔明了，給人以耳目一新之感！

透過以上兩道例題的分析思考，我們不難得到以下對例題教學的幾點啟示：

其一，要清楚問題考查什么。

教材中例題的設計有不同的意圖。如果是新授課后的例題，一般是為了鞏固加深對所學過的概念、公式與定理等數學基礎知識而安排的，如例1，考查的是理解知識與運用知識的能力。這類例題一般難度不大，但可以從所學知識的不同變式去理解問題；但有的例題，也常常是綜合性的問題，既涉及基礎知識與基本技能，也可能牽涉到數學思想方法，如例2，這類例題所考查的是較綜合的分析問題與解決問題的能力。對于這類例題的學習理解，要注意不拘泥當前所學的知識與方法的束縛，用聯系的視角看問題。

其二，要關注思路能否優化。

一個數學問題往往可從不同的角度去審視理解，從而得到解決問題的不同思維路徑，而沿著不同的思維路徑所演繹出來的不同的問題求解方法，可以是迥然不同的，或迂回繁瑣，或明快簡潔。鑒于此，在例題的學習中，要養成對同一道例題的不同思維路徑所達成的解題過程的繁簡程度，進行必要評估比較的習慣。從評估比較的過程中，發現優劣、總結得失，達到增強優化解決問題的思維視角意識，不斷積累解題的得失經驗，提高自己的數學思維水平。

其三，要考慮問題可否變通。

眾所周知，一個數學概念、公式與定理，可以有不同的變式。同樣，一個數學問題也可以做出各種各樣的變通，或轉換問題條件，看結論之變化；或保持結論不變，再搜尋應具備的條件；或透過問題的特殊性，尋覓它的一般性等等。總之，在例題的學習過程中，重視對問題的各種可能的變通進行一番思量探究，不但可以加深對所學例題的理解與內化，還可以起到舉一反三的作用，這對于加深理解掌握所學的數學知識技能以及數學思想方法，無疑是大有裨益的。

編輯 魯翠紅