一道積分不等式的多種證明方法

趙琳

【摘要】從單調連續函數的性質出發，利用積分中值定理、積分不等式性質、構造函數等方法給出一道積分不等式的五種證明方法。

【關鍵詞】不等式；中值定理；單調；連續

數學分析中有這樣一道題目：設函數 在 上單調遞增且連續，證明

證法一：因為函數 在 上單調遞增且連續，根據積分第一中值定理^【1】，存在 ，使

所以 .

證法二：因為函數 在 上單調遞增且連續，根據積分第二中值定理^【1】，存在

，使

所以 .

證法三：因為函數 在 上單調遞增且連續，所以

，

于是

所以 .

證法四：因為函數 在 上單調遞增且連續，所以

于是

從而

即

所以 .

證法五：因為函數 在 上單調遞增且連續，令函數

則 ，在 上可導，且

所以函數 在 上單調遞增且連續，于是

取 ，則 .

令 ，得

參考文獻：

【1】華東師范大學數學系.數學分析（上冊）【M】.3版，北京：高等教育出版社，2010，217-224.