五味俱全的一節公開課

周衡

【摘要】新課程教學中如何使數學課生動、活潑的展現在學生面前.

【關鍵詞】數學教學中的數學味；研究味；應用味；文化味；生活味等味道

要開《橢圓及其標準方程》這節公開課.一說起這節課，就使人想到公式、證明、推理，計算、解題，給人以嚴肅抽象、枯燥乏味的感覺.許多老師上過很多次課.很難上出新意.其實，數學完全可以以生動、形象、鮮活的面孔展現在學生面前，只要教師在平時的教學中多加點“調味料”，使學生在學習的時候，真正感受到學習數學的“酸甜苦辣咸”，從而激發學生對數學學習的“食欲”.

一、教學目標

知識目標：探究橢圓的定義及有關概念；弄懂橢圓的標準方程的形式，能區分橢圓的焦點在X軸與Y軸上的不同；能夠根據給定的條件求橢圓的標準方程.

能力目標：培養學生試驗、觀察、分析、抽象概括的能力；滲透數形結合和分類討論等數學思想方法.

情感目標：通過讓學生探究定義的形成，鼓勵學生積極、主動的參與教學，激發其求知的欲望，同時在教學的過程中帶領學生體會數學的對稱美和簡潔美，并對學生進行學法指導和愛國主義教育.

二、教學重點、難點

重點：橢圓的定義和標準方程的形式、特點； 焦點坐標的對應關系.

難點：（1）標準方程的推導，這過程涉及適當的坐標系的建立和無理方程的變形.

（2）橢圓定義中焦距與長軸的大小關系以及橢圓焦點分別在X軸和Y軸上時的方程的標準形式的區別與聯系，這也是教學中的重點.

三、教學過程

1.新課導入——辣的生活味

案例在學習《橢圓及其標準方程》時，介紹如下事件：“嫦娥”一號飛船2007年10月24日18時5分，我國在西昌衛星發射中心用長征三號甲運載火箭將嫦娥一號衛星成功送入太空.“嫦娥一號”衛星它的近月點工作軌道是200公里，遠月點高度8 6 0 0公里以月球的球心為一個焦點 的橢圓形軌道.已知月球半徑約3475公里.

“嫦娥二號”于2010年十月初奔月、在距離月球100公里的軌道工作、降落到距月球只有15公里處的軌道，對未來“嫦娥三號”月球著陸點探測地形地貌.

師：你能求出“ 嫦娥二號”衛星運行的軌跡方程嗎？

在我們實際生活中，同學們見過橢圓嗎？能舉出一些實例嗎？

（任何學科的教學都應體現生活味，可以說生活中處處有數學.我國著名的教育家陶行知先生曾提到“生活即教育”“社會即學校”“沒有生活做中心的教育是死教育”.的確如此，實際生活是教育的中心，教育要通過生活才能產生力量而成為真正的教育.在數學教學中要有時代性并帶有生活中味道，而數學和社會息息相關，因此如何將具有現代特征的、新聞類的知識充斥到數學教學課堂中去顯得非常重要，尤其是在當今這個信息“爆炸”的社會中.讓學生感到數學無處不在.大大調動了學生學習數學的興趣，提高參與程度，為后續學習做好準備.并激發學生的愛國熱情，調動起好奇心，激發起學生的學習本課的興趣.效果頗佳.寓教于樂，其樂無窮！）

2.概念透析——苦的研究味

1.學生分組試驗

2.分組討論概括橢圓上的點滿足什么條件

師問1：如果我把繩子縮短一些呢？

問2：如果我把繩子短到什么程度就不能畫出橢圓？此時畫出什么圖形？

問3：如果繩子比定點短呢

有學生得出結論，一起歸納橢圓的概念

（1）復習求曲線的方程的基本步驟

（2）如何選取坐標系？

師問1：我們已經學習圓的標準方程那么如何建立坐標系使圓的方程看起來簡潔漂亮

問2：橢圓與圓具有相同的對稱性，如何建立坐標系，

以過F1，F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為Y軸，建立平面直角坐標系.

（在引入橢圓的概念時， 我準備了必要的工具， 大膽地請學生上來畫橢圓，由學生自己進行實踐和研究，通過把繩子縮短一點， 再短一點，再短一點所畫 出的不同圖形，由學生自己發現定義的不完整， 并補充完整.這是發現法，發現的結果會讓學生記憶深刻.但它最大的缺點在于太耗費時間，所以在橢圓標準方程的推導上， 我采取了學生口述， 我來板書的方式， 將講授法與發現法結合起來， 這樣不但大大提高了課堂效率，也給了不同層次的學生互相學習的機會.注重概念形成過程.通過讓學生親自動手，分組討論，從感性認識自然過渡到理性認識，培養學生的觀察、歸納、概括能力.讓學生充分體會研究的苦味）

3.推導方程——咸的數學味

以過F1、F2的直線為X軸，線段F1F2的垂直平分線為Y軸，建立平面直角坐標系.

設M（x，y）是橢圓上任意一點，橢圓的焦距│F1F2│為2c（c>0）、正常數為2a，則F1（-c，0）、F2（c，0）

根據橢圓的定義可得：│MF1│+│MF2│=2a（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a

（問3：這也是橢圓的方程式，但是繁，不美規，想一想：下面怎樣化簡？使漂亮點）

（1）學生在下面進行運算，教師一邊巡視，一邊給予指導和提示，然后選出1～2名學生的推導過程利用實物投影儀展示出來，并請學生本人作簡要陳述.

x2[]a2+y2[]a2-c2=1.

（2）b的引入

師問方程雖然簡單些，但是橢圓有對稱美，解析式也有對稱美

橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1a>b>0.

（3）如果橢圓的焦點在y軸上，并且焦點為F1（0，-c），F2（0，c），則橢圓方程為y2a2+x2b2=1a>b>0，這也是橢圓的標準方程，

2.兩種類型的橢圓方程的比較：

歸納注意點

（學會建立適當的坐標系，構造數與形的橋梁，體會數學的對稱美.通過練習來強化理解，深化知識點的掌握，突出重點、難點.開拓學生的思維，訓練學生思維的嚴謹性.讓學生參與到問題的解答中，體驗方程推導的全過程，培養運算能力.以問題驅動展開教學活動.“ 問題是數學的心臟”，是引發學生積極思考的動力.按照教學活動的展開程序， 設計了層層遞進的系列問題， 引導學生積極有序地開展思維、 探究活動.同時也教給學生提出問題、 研究問題的學習方法， 調動學生主動參與學習，學會學習.是數學的原味，充滿了辛勤汗水的.）

4.嘗試應用——甜的應用味

1.下列方程哪些表示的是橢圓，如果是，判斷它的焦點在哪個坐標軸上？

（1）x2[]25+y2[]16=1

（2）9x2-25y2-225=0

（3）-3x2-2y2=-1

（4）x2[]m2+y2[]m2+1=1

注意：分母哪個大，焦點就在哪個坐標軸上，反之亦然.

2.寫出適合下列條件的橢圓的標準方程

兩個焦點的坐標分別是（-4，0）、（4，0），橢圓上一點到兩焦點距離的和等于10；

變式一：將上題焦點改為（0，-4）、（0，4）， 結果如何？

變式二：將上題改為兩個焦點的距離為8，橢圓上一點P到兩焦點的距離和等于10，結果如何？

（學生直接搶答）

（以例代練，充分讓學生動手、動腦.及時反饋，強化知識點的學習，也起到激發學生學習數學的興趣的作用.運用變式訓練， 促進各層學生的發展.書上例題偏難， 缺乏臺階， 教師重新設計了模仿練習和綜合 練習， 層層遞進， 有機結合，適應了各層學生的學習 需求.）

一節課綜合了有數學味、研究味、應用味、文化味、生活味.在整節課的實施過程中，學生切實體驗到了從實踐中發現問題，是學生主動探索、 合作交流的過程.用數學方法解決問題， 從而獲得數學知識的過程.就是有數學原味的.學生在探究過程中， 滲透著分類討論的思想， 培養了學生動手的實踐能力.通過討論交流以及發現的種種問題， 因勢利導.在學生體驗成功快樂的同時， 提煉了總結能力.橢圓形象樸實而平凡， 卻華貴雍容.不但優美而且頗多含有樸素的唯物主義思想和科學道理，值得我們去回味和理解，也有助于對書本知識的理解.用詩詞裝點數學，在為數學服務的時候，增強了學生閱讀、理解數學題目的能力.將文學和數學結合就是文理結合，真是美妙的結合.這樣，還有誰覺得乏味呢？