利用微分的理論方法證明定積分等式和不等式

趙薩日娜

【摘要】本文給出利用微分中值定理和單調(diào)性證明定積分等式和不等式的方法.

【關(guān)鍵詞】微分中值定理；可變上（下）限積分函數(shù)；單調(diào)性不等式

本文為吉林省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2014年度立項課題“民辦本科院校提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)有效性的研究與實踐”的階段性成果，批準(zhǔn)號為：GH14662

微分和積分是高等數(shù)學(xué)最核心、最重要的兩個基本概念.微分和積分是對立且互逆的，微積分基本公式把這兩者完美統(tǒng)一地結(jié)合在了一起，成為事物的兩個方面，可以互相轉(zhuǎn)化.這啟發(fā)我們在研究微分問題時，可以考慮用積分的理論方法加以解決，如常微分方程中有的方程就是用積分方法求解；反之，當(dāng)我們研究積分問題時，可以考慮用微分的理論方法去加以解決.

本文就是在這種對立統(tǒng)一的辯證思維啟示下，總結(jié)出利用微分的理論方法證明定積分等式和不等式的兩種方法.

一、利用微分中值定理證明定積分等式和不等式

1.方法總結(jié)

微分中值定理是研究函數(shù)變化和性態(tài)的理論.用微分中值定理證明定積分等式和不等式，關(guān)鍵是把證明的定積分等式和不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式.所以，首先根據(jù)要證明的形式設(shè)出函數(shù)，然后對所設(shè)函數(shù)用微分中值定理去討論論證.

2.典型例題

二、利用單調(diào)性證明不等式的方法證明定積分不等式

1.方法總結(jié)

用單調(diào)性證明不等式主要是三步

（1）設(shè)函數(shù)（往往利用移項方法）；（2）求導(dǎo)確定單調(diào)性；（3）與端點值比較形成不等式.

用單調(diào)性證明不等式的方法證明定積分不等式，關(guān)鍵把要證明的形式中的定積分變易為積分上（下）限函數(shù)，按用單調(diào)性證明不等式的三步法討論論證.

2.典型例題

評注除了可用微分中值定理和單調(diào)性證不等式的方法證明定積分等式和不等式，還常用定積分的比較原理，積分中值定理，積分中值定理，定積分的估值定理等理論方法證明定積分等式和不等式，在此筆者多述.

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