多項式相乘的矩陣形式

黃嘉威

【摘要】本文把多項式相乘的過程分解為矩陣形式，簡化多項式相乘的運算.并引進從給定條件把矩陣簡化為方陣的方法，使得分母有理化和極小多項式問題一般化.

【關鍵詞】多項式；分母有理化；極小多項式

1.多項式相乘的矩陣形式

（ax+b）（cx+d）=acx2+ad+bcx+bd就是一個多項式相乘的簡單例子.雖然多項式相乘可以用卷積來計算，可是卷積的性質還是沒有矩陣那么好.

（ax+b）（cx+d）=acx2[]+bcx+adx+bd=x2x1a0ba0bcd.

如是者不管兩個多項式有多長，都能分解成三個矩陣的乘積.

ax2+bx+cdx+e=x3x2x1a0bacb0cde.

以下會用到矩陣的逆和特征多項式來求解問題，但是用到這些性質之前先把矩陣化成方陣.這里首先說明矩陣上消元的方法.這相當于在x2=2時，

把（ax+b）（cx+d）=ad+bcx+bd+2ac也表達成矩陣乘積的問題.

x2x1a0ba0bcd=x1ba0+2ab+2×0cd=x1ba2abcd=x1bc+ad2ac+bd.

我們看到第二步已經把中間的矩陣化為方陣，最后算出來的與結果一致.

2.分母有理化

將11+232+334表為1，32，34的線性組合.對于這個問題在《近世代數》中提供了四種解法，當中用了輾轉相除法、待定系數法、線性方程組求解.其中解2不能避免多項式相乘的復雜運算.[1]以下用書中的解2求解上述問題.

a3=2，1+2a+3a2x+ya+za2=1，則x+ya+za2為問題所需要的解.

1aa2a3a4100210321032003=1aa2a3100216321032=1aa2164216321.于是就得到解2中的線性方程組，求解之，問題就解決了.這里就用到了矩陣的逆.

1aa2164216321xyz=1aa2100，

xyz=164216321-1100=-18911161.

此解法也適用于書[1]中的例7，即a3=a-1，8+6a+a2x+ya+za2=1.

800-6801-6801-6001→800-68-11-6901-6→8-16-69-71-69，8-16-69-71-69-1100=1427394727x+ya+za2=142739+47a+27a2.

于是對于分母有理化問題就轉化成了求多項式相乘方陣的逆的問題.

3.極小多項式

這里先引入一個簡單的問題：若x2+ax+b=0，u=cx+d，構造u的極小多項式.

假設關于u的方程有u1=cx1+d，u2=cx2+d兩個解.

u1=cx1+d，u2=cx2+d.u1+u2=c（x1+x2）+2d=2d-ac.u1u2=（cx1+d）（cx2+d）=c2x1x2+cd（x1+x2）+d2=bc2-acd+d2.

關于u的方程為u2+ac-2du+bc2-acd+d2=0，方程左邊就是極小多項式.

如是者，所有關于u的基本對稱多項式都要求出來，這樣會很麻煩.但事實上，只需要計算u在多項式相乘時的方陣，并求出其特征多項式，問題就一下子解決了.

c0dc0d→d-acc-bcd，

λ-d-ac-cbcλ-d=λ2+2d-acλ+d2-acd+bc2.

以下證明：設x為多項式方程的根，u（x）在多項式相乘時的方陣為U，U的特征多項式為fλ，則fu（x）=0.

對∑n-1r=0k2，rxr=u（x）∑n-1r=0k1，rxr進行矩陣分解：

xn-1xn-2…1k2，n-1k2，n-2…k2，1T=xn-1xn-2…1Uk1，n-1k1，n-2…k1，1Tu（x）=u（x）×1，u（x）2=u（x）×u（x），u（x）m=u（x）×u（x）m-1，如此類推：

u（x）m=xn-1xn-2…1Um00…1T

設U的特征多項式為fλ=∑nm=0cmλm，則有fU=∑nm=0cmUm=0.

fu（x）=∑nm=0cmu（x）m=xn-1xn-2…1∑nm=0cmUm00…1T=0.

問題得證，于是通過特征多項式就能構造出一個關于u的方程.這個方程不一定是極小的，但一般都是極小的.

再以書[1]中習題5-3第4題為例：設a是x3-2x+2的根，求a2-1的極小多項式.

100010-1010-1000-1→010101-2-1000-1→101-2100-2-1，λ-10-12λ-1002λ+1=λ3-λ2-λ-3結果就是a2-13-a2-12-a2-1-3=0.

于是對于極小多項式問題就轉化成了求多項式相乘方陣的特征多項式的問題.

【參考文獻】

[1]韓士安，林磊.近世代數[M].北京：科學出版社，2009.