談超靜定結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算的方法

黃志剛

摘 要：超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的求解既是結(jié)構(gòu)力學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)問題，更是一個(gè)難點(diǎn)問題。由于其求解復(fù)雜，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中倍感費(fèi)勁。結(jié)合筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從結(jié)構(gòu)對稱性的利用和力法與位移法混合應(yīng)用兩個(gè)方面來談?wù)劤o定結(jié)構(gòu)內(nèi)力簡化計(jì)算的方法，使得學(xué)生對超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的求解有一個(gè)更好地理解和掌握。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)力學(xué) 超靜定 簡化 對稱 混合應(yīng)用

中圖分類號：O342；TU311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：1674-098X（2015）06（c）-0251-01

一個(gè)結(jié)構(gòu)，如果它的支座反力和各截面的內(nèi)力不能完全由靜力平衡不能完全由靜力平衡條件唯一地加以確定，就稱為超靜定結(jié)構(gòu)[1]。超靜定結(jié)構(gòu)包括超靜定梁、超靜定剛架、超靜定桁架、超靜定組合結(jié)構(gòu)以及超靜定拱。由于超靜定結(jié)構(gòu)具有良好的力學(xué)性能和抵抗突然破壞的能力，其強(qiáng)度、剛度以及穩(wěn)定性等都要比靜定結(jié)構(gòu)更好，因此，超靜定結(jié)構(gòu)是土木工程中經(jīng)常用到的結(jié)構(gòu)[2]。

由于超靜定結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，在地方性應(yīng)用型本科院校的《結(jié)構(gòu)力學(xué)》課程教學(xué)過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)到這部分內(nèi)容時(shí)，常常感到十分迷惑，困難重重。利用結(jié)構(gòu)的對稱性和某些特點(diǎn)，有時(shí)可以達(dá)到簡化計(jì)算的效果[3]。在此對超靜定結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算的方法進(jìn)行歸納和探究，以使得學(xué)生更好地掌握超靜定問題的求解，并將其應(yīng)用到實(shí)際工程中，下面就予以介紹。

1 對稱性的利用

在實(shí)際工程中，很多結(jié)構(gòu)具有對稱性，利用對稱性可以使計(jì)算工作得到簡化。超靜定結(jié)構(gòu)的對稱性包括兩方面：（1）幾何形狀和支承對稱；（2）桿件截面和材料性質(zhì)也對稱。對稱性利用包括以下幾種方法。

1.1 選取對稱的基本結(jié)構(gòu)

如圖1（a）中的對稱結(jié)構(gòu)，在一般荷載作用下有三個(gè)多余未知力；若荷載為正對稱，則可以取圖1（b）的基本體系，此時(shí)有兩個(gè)多余未知力；若荷載為反對稱，則基本體系如圖1（c），此時(shí)只有一個(gè)多余未知力X1。可見，取對稱的基本結(jié)構(gòu)可以使未知力的個(gè)數(shù)減少。

1.2 選取半邊結(jié)構(gòu)

作用于對稱結(jié)構(gòu)上的任意荷載，可以分為對稱荷載和反對稱荷載兩部分分別計(jì)算。在對稱荷載作用下，變形是對稱的，彎矩圖和軸力圖是對稱的，而剪力圖是反對稱的。在反對稱荷載作用下，變形是反對稱的，彎矩圖和軸力圖是反對稱的，而剪力圖是對稱的。利用這些規(guī)則，計(jì)算對稱的超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，只需計(jì)算這些結(jié)構(gòu)的半邊結(jié)構(gòu)。

選取半邊結(jié)構(gòu)的原則如下。

（1）奇數(shù)跨對稱剛架在對稱荷載作用下，對稱軸處簡化為一定向支座。

（2）奇數(shù)跨對稱剛架在反稱荷載作用下，對稱軸處簡化為一豎向鏈桿。

（3）偶數(shù)跨稱剛架在對稱荷載作用下，當(dāng)不考慮中柱軸向變形時(shí)，對稱軸的截面無位移，簡化為固定支座。

（4）偶數(shù)跨稱剛架在反對稱荷載作用下，原結(jié)構(gòu)簡化為半邊結(jié)構(gòu)，且中柱的慣性矩減半。

以下圖2～圖7為幾種典型對稱結(jié)構(gòu)的半邊結(jié)構(gòu)。

1.3 中心對稱結(jié)構(gòu)

前述所講的結(jié)構(gòu)都是軸對稱結(jié)構(gòu)，還有一種對稱結(jié)構(gòu)是中心對稱結(jié)構(gòu)。中心對稱結(jié)構(gòu)是指結(jié)構(gòu)的一半繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°后與另一半完全重合，如圖8所示結(jié)構(gòu)為中心對稱結(jié)構(gòu)，對稱中心是C點(diǎn)。

中心對稱結(jié)構(gòu)的荷載也分成正對稱和反對稱。正對稱荷載是指：對稱中心一側(cè)的荷載繞中心旋轉(zhuǎn)180°后與另一側(cè)的荷載完全重合，如圖8（a）；反對稱荷載是指：對稱中心一側(cè)的荷載繞中心旋轉(zhuǎn)后與另一側(cè)荷載位置重合，大小相等，但方向相反，如圖8（b）。

對于中心對稱結(jié)構(gòu)，有如下一些相關(guān)結(jié)論：

（1）中心對稱結(jié)構(gòu)，在正對稱荷載作用下，M圖、FQ圖、FN圖以及位移都為正對稱。圖9（a）、（b）、（c）、（d）即為圖8（a）對應(yīng)的彎矩、剪力、軸力圖和變形圖。

（2）中心對稱結(jié)構(gòu)，在反對稱荷載作用下，M圖、FQ圖、FN圖以及位移都是反對稱，圖10（a）、（b）、（c）、（d）即為圖8（b）對應(yīng)的彎矩、剪力、軸力圖和變形圖。

（3）中心對稱結(jié)構(gòu)，在正對稱荷載作用下，對稱中心處反對稱的未知力為零，如圖11（a）。

（4）中心對稱結(jié)構(gòu)，在反對稱荷載作用下，對稱中心處正對稱的未知力為零，如圖11（b）。

2 力法與位移法的混合應(yīng)用

某些結(jié)構(gòu)若用一般的力法或位移法求解，會(huì)有多個(gè)（一般不少于3個(gè)）基本未知量，這樣采用手算就不太方便。如果結(jié)構(gòu)具有如下特點(diǎn)就可以考慮聯(lián)合應(yīng)用力法和位移法進(jìn)行簡化求解：結(jié)構(gòu)的一部分結(jié)點(diǎn)位移多、外部約束少，而結(jié)構(gòu)的另一部分結(jié)點(diǎn)位移少、外部約束多。對于結(jié)點(diǎn)位移多、外部約束少的部分可以采用力法進(jìn)行求解，而對于結(jié)點(diǎn)位移少、外部約束多的部分則可以采用位移法進(jìn)行求解。

如圖12（a）所示鋼架的彎矩圖。可以先將原荷載分解為正對稱和反對稱荷載，并分別取半邊結(jié)構(gòu)計(jì)算，圖12（b）用位移法計(jì)算比較方便，只有一個(gè)基本未知量，而圖12（c）用力法計(jì)算更方便，也只有一個(gè)基本未知量。

3 結(jié)語

超靜定結(jié)構(gòu)的求解既是結(jié)構(gòu)力學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)問題，更是一個(gè)難點(diǎn)問題，并且其求解方法種類眾多。如何進(jìn)行簡化計(jì)算更是使很多學(xué)生摸不著頭腦。實(shí)踐證明，如果能夠很好的運(yùn)用以上方法，進(jìn)行系統(tǒng)的總結(jié)歸納并加以練習(xí)，那么對學(xué)生掌握其內(nèi)容將起到很好的促進(jìn)作用。

參考文獻(xiàn)

[1] 龍馭球，包世華.結(jié)構(gòu)力學(xué)Ⅰ——基本教程[M].2版.北京：高等教育出版社， 2006：206-207.

[2] 成浩.超靜定結(jié)構(gòu)的經(jīng)典方法——力法和位移法[J].內(nèi)蒙古電大學(xué)刊，1988（11）：

19-21.

[3] 于波.對稱性在超靜定結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用[J].科技傳播，2011（3）：190.