直尺、圓規將圓五等分的討論

劉清華 蔣力

【摘要】 機械制圖的幾何作圖部分往往會涉及圓周被等分的問題，許多搞制圖的人也都知道圓周五等分的尺規作圖方法. 但是，該方法是如何來的，其中原理又是什么，卻為一般人所不知了. 本文將利用數學的知識來討論其中的原理.

【關鍵詞】 尺規作圖；圓五等分

直尺、圓規作圖是機械制圖中必學的一種幾何作圖方法，但有些尺規作圖方法的原理并未給出. 探究其中的原理對于利用直尺、圓規作更復雜的圖形有一定的指導作用. 本文利用數學的知識討論了圓五等分的尺規作圖方法的原理.

若想準確地將一個圓五等分，其中有兩個關鍵點：如何選取弦長的大小？如何截取該弦長的線段？

1. 弦長大小的計算

我們知道，圓五等分分出來的弦所對的圓心角是72°（圖1），現假設圓的半徑為1，利用余弦定理：

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

則有：弦長的平方 = 2 - 2cos 72°，為此要先確定cos72°的值.

因為sin 360° = sin5 × 72° = 0，利用兩角和公式、二倍角公式及平方關系：

sin（α + β） = sin α cos β + cos α sin β

sin2α = 2sin α cos α

cos2α = 1 - 2sin2α

cos2α = 1 - sin2α

不妨計72° = α，則有：

sin5α = sin（α + 4α） = sin α cos 4α + cos2sin4α =

sin α（1 - 2sin22α） + cos α × 2sin2 αcos 2α =

sin α - 2sin α（2sin α cos α）2 + 2cos α × 2sinαcosα（1 - 2sin2 α） = 16 sin5α - 20sin3α + 5sinα = 0.

∵ sin α ≠ 0，∴ 16sin4α - 20sin2α + 5 = 0，

sin2α = = （舍負取正）.

∴ sin2α = .

進而cos272° = 1 - sin272° = .

∴ cos72° = = = = .

進一步：弦長的平方 = 2 - cos 72° = .

2. 弦長線段的構造方法

如何準確地截出平方為的線段？勾股定理啟發我們，應利用直角三角形解決此問題.

將變形為：1 + =1 + = 12 + 2 = 12 + - 2.

為此，只需構造一個兩直角邊分別為1和 - 的直角三角形，其斜邊即是所要截取的弦長了.

長為 - 的線段，同樣利用直角三角形進行構造，根據勾股定理，正好是直角邊分別為1和的直角三角形的斜邊.

3. 圓五等分尺規畫法

有了上面的理論分析，圓五等分的尺規畫法如下：

① 作圓的半徑OA，將圓規的一腳放在A點上，通過圓心O畫半圓，并與圓交于兩點E，F. 連接EF與OA相交于C點，此C點即為半徑OA的中點，|OC| = （假設圓的半徑為1），如圖2.

② 作與半徑OA垂直的半徑OB，連接BC，則|BC| = ，將圓規的一腳放在C點上，以|BC|為半徑作另一個圓，交OA所在的直線于點D，則|DC| = ，|DO| = - ，如圖3.

③ 連接BD，在Rt△BOD中，|OB|2 + |DO|2 = 12 + - 2，則|BD|2 = ，即|BD|為圓五等分所分出的弦長. 將B點視為圓五等分的第一個分點，將圓規的一腳放在B點上，以|BD|為半徑作圓，交圓于兩點G，H，這兩點是圓五等分的第二、三個分點，如圖4.

④ 將圓規的一腳分別放在G，H點上，同樣是以|BD|為半徑交圓于另外兩點I，J，這兩點就是圓五等分的最后兩點，如圖5.

【參考文獻】

[1]藍汝銘.機械制圖[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]劉正中.五等分圓周作圖題的幾種證法[J].數學教學研究，1983（2）：2-3.