洞察學生思維狀況，提升數學思考能力

黃榮楣

【摘要】數學思考是2011年版《義務教育數學課程標準》的四大目標之一，其在促進學生終身發展中的重要作用已經被廣大教師所重視。因此，我們要深入了解學生的思維狀況，及時發現學生思考中存在的問題，對癥下藥，使學生逐步學會數學思考的方法，養成良好的思考習慣，不斷提高學生的數學思考水平。

【關鍵詞】思維狀況 數學思考 分析推理能力 自我取舍能力 自主建構能力

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）12-0111-02

數學思考是2011年版《義務教育數學課程標準》的四大目標之一，其在促進學生終身發展中的重要作用已經被廣大教師所重視。但在實際教學中，我們仍然能發現學生淺層思考、被動思考等現象——正如著名教育家肖川先生所指出，如今的課堂“想一想”多了，而真正獨立、深刻、富有創造的“思考”卻較少。面對這種現象，部分教師卻缺乏關注及應對之策。因此，在教學時，我們要深入了解學生的思維狀況，及時發現學生思考中存在的問題，對癥下藥，使學生逐步學會數學思考的方法，養成良好的思考習慣，不斷提高學生的數學思考水平。

一、透視“做對”背后的問題——解決思維的盲點，培養學生分析推理能力

小學生面對新的數學問題時，目標往往就是解決問題，“做對”即可，不關注過程和方法是他們常見的心理特點。作為教師不僅要關注學生解決問題的結果，更要關注學生解決問題過程中是否深入思考分析，有效地培養學生分析推理的能力。

1.質疑變式，將學生淺層的思考引向深入

蘇教版五年級下冊《解決問題的策略——轉化》的綜合復習中，有這樣一道題：比較圖中兩個陰影部分面積。如圖：■。備課時，我預計這道題會是一個教學難點?？稍跈z查作業中，發現同學幾乎都做對了。倍感欣慰之余，特意請一位學習程度中等的學生說說怎么想的，他為難了半天說道：“老師，我是用尺子量出長和寬，算出來的。”而這種方法居然是班上大多數孩子的方法。多么出乎意料的答案，雖然能解決問題，但與提高數學思考能力的目標卻相差甚遠。于是，我先肯定了這位學生的做法，隨即指出：“剛才量的結果只針對這幅圖，如果將這個圖形隨意拉長，變短，結果陰影部分是不是還是一樣呢？”說完，我利用課件將圖形分別拉扁、拉高。突如其來的質疑，促使大家開始反思這種方法的局限性。通過幾分鐘的獨立思考和相互交流，學生們發現：因為長方形的對角線，把長方形平分了，外邊的大三角形一樣大，里邊兩組小三角形也一樣大，相減剩下的部分自然一樣。無論怎么變化，只要里邊的結構不變，結果都一樣。在上述的教學環節中，學生最初的測量只是停留在淺層的直觀判斷，他們的思考依賴于數據的直接計算，而沒有真正觸及問題的本質。而此時學生們自己并末意識到這個思維盲點。正是因為老師的有效追問、質疑，才使學生深入思考，透過現象看本質，將直觀的判斷和嚴密的推理相結合，數學思維品質真正得以提高。

2.類比歸納，將學生單一的思考有效提升

教學中，常常出現如：“圓的半徑擴大2倍，則周長擴大2倍，面積擴大4倍”等此類知識點改編的選擇題、判斷題或填空題，有部分的學生往往用舉出一個例子的方法，直接填寫答案，而且在作業、考試中屢試不爽，正確率高，學生也因此而沾沾自喜，認為找到了解決問題的捷徑。隨著學生認知水平的逐步提升，如果學生始終滿足于停留在低層面的單一舉例，將大大阻礙學生思維能力的提升；同時隨著計算的難度加大，問題的復雜化（如探究圓錐的半徑和高的變化，體積如何變化等問題），舉例的方法也會出現數據不容易計算，因此正確率下降等諸多局限。此時，教師應適時根據學生的思維水平，給學生充裕的時間，讓喜歡舉例的學生多舉出一些例子。通過一系列豐富的數學素材的觀察比較、分析異同，發現其中的數學規律；最后，在規律的應用體會規律的普適性。這樣學生學習到的不是單一的數學知識，而是獨立探究后的數學規律。學習后，引導學生在反思中領悟到：通常在單一的例子中，產生了初步的判斷后，我們不能就此滿足，更應該對這一結論進行分析、演繹、論證，逐步學會利用已有知識經驗，科學嚴謹地詮釋自己發現的結論。

二、尋找“被學習”的原因——調整教學策略，培養學生自我取舍的能力

1.激發興趣，喚起學生的內在學習需求

教學五年級下冊“轉化的策略”一課時，有道習題：“小明看書，已經看了全書的3/7，還有48頁沒看完，小明已經看了幾頁？”這類問題學生已經會用分數的方法解決。問題一旦解決，思維的惰性就隨之而來。此時教師如果直接引導學生思考：將條件“已經看了全書的3/7”轉化成“已看的是未看的3/4”，再思考一種新的方法：7-4=3，48×3/4=36。這樣的學習，于無形中學生被老師強迫學習了。都說“興趣是最好的老師”，此時教師不妨激一激學生：這樣的題目你不是會了嗎？那好咱們來現場比賽，看誰快？學生發現老師最快。老師到底用了什么方法呢？在這學習的“憤”“悱”狀態，老師引導學生觀察題中條件，想想會有什么新方法呢？學生的學習目的從“解決問題”，轉向了“解決此問題有什么好方法”上，方向明確，熱情高漲。此時，老師再引導學生抓住問題“小明已經看了幾頁？”利用已看完、未看完和全書頁數之間關系，把條件轉化成“已看的頁數就是未看的3/4，問題即求48頁的3/4是多少？”問題解決后，引導學生進行反思對比，總結轉化方法與其他方法的異同，體會該方法的優越性及轉化時的注意點。這樣的學習過程，學生的探究需求強烈，方向明確，自主性強，自然印象深刻，有利于在今后解決問題中舉一反三。

2.學會等待，留給學生選擇和感悟的機會

“被學習”不僅來自老師，也常常來自反應快、成績好的孩子。尤其是在方法多樣化的時候，好孩子越說越有勁，舉一反三，觸類旁通。可苦了那些一知半解的孩子，本來還有點理解，結果越說越亂。教學是為了每個孩子的發展，而不僅僅是一節課堂教學的完整、成功。此時，即便有時出現一些低思維層次的方法，如果學生無法當場進行優化，教師不能放任自流也不能急于求成，而需要給學生不斷體驗與感悟的機會。

例如：蘇教版教材第十冊有這樣一道習題：有三種書原來各有120本，現在《動物王國》還剩1/4，《植物世界》還剩下1/3，《地球故事》還剩2/5。哪種書賣出的本數最多？練習后匯報時，出現兩種典型的解法：①直接比較每種書剩下的幾分之幾的大小，得出哪種書剩下的本數最少，再推想出這種書賣出的本數最多。②先算120÷4=30（本）120÷3=40（本）120÷5×2=48（本），再做比較。一般來說，第一種方法比較高效、簡約、成熟。但在選擇“你最喜歡的方法”時，出乎意料的是，在大部分學生選擇方法1的時候，還有小部分學生在再三猶豫后選擇了第二種，覺得后者好算。經過老師的仔細詢問，了解到：原來，本題的120恰好是3、4、5的公倍數，幫助學生省略了通分時求公分母麻煩。對于部分學困生而言，比較1/3和1/4時，同分子分數的比較大小還未曾熟練；三個數通分，公分母又比較難找；把分數化成小數，計算相對繁瑣。再加上此題還要逆向思考，剩下的越多，則賣出的越少。這么多思維活動讓他們頗感吃力。所以看似幼稚、不成熟的解法二成了他們的最佳選擇。此時，教師不要急于求成，而應留待學生在今后的學習中繼續探究。如果相關的知識基礎一一掌握并熟練化了，這時優化方法真正成為學生的一種內在需要，就會收到水到渠成的效果。因此，老師在教學時，不急于面面俱到，要給學生選擇和感悟的機會。對于個體而言，別人的方法再好，如果不是學生自己主動建構的結果，沒有觸及學生的思維和情感領域，對學生的發展能起的作用都不大。

三、彈性對待“難處”——把握學習起點，培養學生自主建構的能力

1.溝通知識的內在聯系，突破學習中的負遷移

小學生在思考問題時，有時容易受到已有知識經驗的影響產生負遷移，而在學習中又無法實現自我突破。此時就需要教師精心設計，溝通知識間的內在聯系，比較異同，巧妙地幫助學生理解新知。例如：一位老師在教學三年級下冊《認識分數》一課，設計了以下教學環節：①復習舊知：用分數表示圖中的涂色部分：■。當學生能準確說出用1/3后，教師變動其中的陰影部分的位置，讓學生再次說出分數。②變化圖形：出示■，通過引導，使學生清晰、順利形成“把幾個物體看做一個整體”的概念■，并意識到把“一些物體看成一個整體”和“一個物體”一樣，平均分成幾份，每份就是它的幾分之一?！鄢霈F矛盾沖突：當解決完■每份是整體的1/4后，教師出示了■。現在涂色部分是整體的幾分之一呢？題目從原先的“一份就是一個”變成“一份有兩個”該怎么思考呢？學生的答案很多樣： 1/8（最多）、2/8、1/4；學生的想法也有些混亂：a.一份分子就是1，總數是8，所以分母為8，得出1/8；b.平均分4份，分母依然是4，但分子由1個變2個了，就是2/4……由于在前面的教學中，老師已經引導學生準確理解并表述：“把一個整體平均分成4份，每份就是它的1/4”，所以當產生各種新答案時，教師并不急于糾正，而是引導學生利用前面的知識來分析：把8個看成一個整體，平均分成4份，分母就是4；表示其中的一份，分子就是1。比較兩題題目有什么不同，在方法上呢？在對比反思中，學生悟出：原來不論總數幾個，平均分幾份分母就是幾；不論每份是幾個，取幾份分子就是幾。教師引導學生舉出幾個類似的例子，完善新知，清晰建立知識結構，把握分數意義的本質。

2.適時提升，完善學生的認知結構

學生的學習起點有邏輯起點和現實起點。教材多是從學生的邏輯起點出發進行編寫。但教材所認為的“難”，有時并非是學生真正存在的“難點”。因此，教師還要讀懂學生：對于每節課的知識，學生已經知道了什么？什么地方學生誤解了還不自知？還有哪些困惑？最想知道什么，哪些是有能力研究，哪些需要教師扶持幫助？對于后續學習，當下可以做哪些訓練……這樣，教學時才能以教材為載體，卻不囿于教材，真正為學生發展服務。例如：蘇教版數學五年級有這樣的習題：找出每組數的最小公倍數

8和2 3和9 5和7 8和3

5和10 4和8 9和10 1和5

你發現什么？和大家交流。（教參中明確指出不要求學生對此題中的規律做進一步的抽象）教學中，學生經過觀察發現：左邊的四組最小公倍數都是較大的數，右邊的最小公倍數都是它們的乘積。但若就此而止，學生的思維并沒有真正得到發展，體現不了規律的價值性，反而導致學生亂用規律的現象。此時，學生最想知道的規律是：什么情況下，最小公倍數都是較大的數？什么情況下最小公倍數都是它們的乘積？因此，發現結論后，老師讓學生模仿舉例，通過大量的例子驗證，學生總結得出：兩個數是倍數關系時，較大的數就是它們的最小公倍數。右邊相對復雜，也分類說了一些情況：相鄰的兩個自然數；1和任何數；兩個素數；一個素數，另一個不是它的倍數；相鄰兩個奇數……學生在觀察、猜想、舉例驗證中，激烈碰撞，不斷完善自我發現。思維活躍者創新發現，不足者通過傾聽、質疑、領悟，個個都顯得十分興奮。最后應用自己的發現完成練習，明確什么情況下具體用什么方法，使知識結構得以完善。最后在學習到最大公因數這一知識時，簡化為“兩個數的最大公因數是1，則它們的最小公倍數是它們的乘積?！边@條規律本身具有可探究性，規律的發現對學生的學習也有著舉足輕重的作用，雖然教參不要求抽象，但多數學生有能力研究、有興趣研究、對于后續學習又有必要研究，此時教師能及時引導學生探究，無論是對學生知識的完善，還是思維的提升都不無裨益。

總之，學生數學思考能力的提升是一個循序漸進的過程。作為教師一定要時刻關注學生的思維狀況，敏銳地洞察存在的問題，科學引導，使學生的思維得到持續地發展和深化。