函數對稱性和周期性的幾個重要結論

古麗尼沙汗·卡司木

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）15-00-03

函數的對稱性和周期性是函數重要的兩大性質，而函數的性質是高中數學函數部分的一個重點內容。歷年高考和競賽題重點考察內容之一也是函數的定義域、值域、解析式、奇偶性、單調性、對稱性、周期性、圖像、極值和最值等性質。函數的對稱性和周期性不僅廣泛存在于數學問題之中，在我們的日常生活中也能經常遇見，而且利用對稱性和周期性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱性和周期性關系還充分體現數學之美。本文就函數的對稱性和周期性之間的關系加以探討。

一、函數的對稱性

（一）函數對稱性的定義

函數的對稱有自對稱和互對稱。自對稱是指同一個函數圖像的對稱（中心對稱或軸對稱），圖像是其本身；互對稱是指兩個函數圖像上的點一一對應，且對應點相互對稱（中心對稱或軸對稱）。函數對稱還有軸對稱和點對稱。

（二）函數自對稱的相關結論

結論1：函數的圖像關于點A（a，b）對稱的充要條件是。

上述關系式也可以寫成或。

簡證：設點在上，即，通過可知，，所以，所以點也在上，而點與關于點對稱。得證。

特別地：函數的圖像關于原點（0，0）對稱的充要條件是f（x）+f（-x）=0。即：a=b=0

推論1：如果函數滿足，則函數的圖象關于點對稱

推論2：若，即：，則的圖像關于點對稱。

推論3：若，則的圖像關于點對稱。（注：當a=b=c=0時，函數為奇函數。）

證明：在函數上任取一點，則。點關于點（，）的對稱點為（，c-），當時，，即點（，c-）在函數的圖象上。由于點為函數圖象上的任意一點可知，函數的圖象關于點（，）對稱。

結論2：函數的圖像關于直線x=a對稱的充要條件是或或。（即：可以改寫成或。）

特別地：函數的圖像關于y軸（x=0）對稱的充要條件是f（x）=f（-x）。即：a=0。

推論：函數滿足的充要條件是的圖象關于直線對稱。（注：當a=b=0時，該函數為偶函數。）

注：假設函數關于對稱，即關于任一個值，都有兩個y值與其對應，顯然這不符合函數的定義，故函數自身不可能關于對稱。但在曲線c（x，y）=0，則有可能會出現關于對稱。比如：圓它會關于y=0對稱。

（三）函數互對稱的相關結論

結論1.函數與關于x軸對稱。換種說法：與若滿足，則它們關于對稱。

結論2.函數與關于y軸對稱。換種說法：函數與若滿足，則它們關于對稱。

結論3.函數與的圖像關于直線x=y成軸對稱圖形。

結論4.函數與的圖像關于直線x=a成軸對稱。換種說法：函數與若滿足，則它們關于對稱。

結論5.函數與關于直線對稱。換種說法：與若滿足，則它們關于對稱。

結論6.函數的圖象與的圖象關于直線對稱。

證明：在函數上任取一點，則，

點關于直線對稱點（，）。由于，故點（，）在函數上。由點是函數圖象上任一點，因此與關于直線對稱。

結論7.函數與函數的圖像關于直線對稱。

結論8.函數與關于直線對稱。

結論9.函數與的圖象關于點對稱。換種說法，函數與若滿足，則函數它們關于點對稱.

結論10.函數與的圖象關于點對稱。換種說法，函數與若滿足，則它們關于點對稱.

結論11.函數與函數的圖像關于點對稱。換種說法，函數與函數若滿足，則它們的圖像關于點對稱。

結論12.函數與的圖像關于點A（a，b）成中心對稱。換種說法：與若滿足，則它們關于點（a，b）對稱。

下面的幾個結論用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程來理解：

結論13.曲線與曲線關于直線對稱。

結論14.曲線與曲線關于直線對稱。

結論15.曲線與曲線關于直線對稱。

結論16.曲線與曲線關于點對稱。

二、函數的周期性

（一）周期性：對于函數，如果存在一個不為零的常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有成立，那么就把函數叫做周期函數，不為零的常數T叫做這個函數的周期。如果所有的周期中存在一個最小的正數，就把這個最小的正數叫做最小正周期。

（二）周期性的相關結論

結論1：對于非零常數T，若函數，則函數必有一個周期為2T。

證明：

∴函數的一個周期為2T。

結論2：對于非零常數T，若函數，則函數必有一個周期為2T。

結論3：對于非零常數T，若函數滿足，則函數必有一個周期為2T。

結論4：對于非零常數T，若函數滿足或，則函數的一個周期為2T。

結論：5：若函數滿足（），則是以為一個周期的周期函數。

結論：6：函數對任意實數，都有（），則4T是f（x）的一個周期.

三、函數對稱性和周期性的聯系

（一）奇偶函數對稱性和周期性的聯系

1.如果奇函數滿足（a0）（即關于x=a成軸對稱），則函數是以4a為周期的周期函數。

2.如果偶函數滿足（a0）（即關于直線x=a成軸對稱），則函數是以2a為周期的周期函數。

3.如果奇函數滿足，則可以推出其周期為2T，且可以推出對稱軸為；又根據可以找出其對稱中心為（以上）。

4.如果偶函數滿足，則亦可以推出周期為2T，且對稱中心為；又根據可以推出對稱軸為（以上）。

（二）其它函數對稱性和周期性的聯系

1.如果函數同時關于直線x=a和x=b對稱，即函數滿足且（其中）同時成立，則可推出函數是以2|a-b|為周期的周期函數。

因為有：

。

2.若函數關于直線x=a成軸對稱，同時關于點成中心對稱，即在R上同時滿足，且（其中），則函數是以4|a-b|為周期的周期函數。

3.若函數在R上有兩個對稱中心點（a，c）和（b，c），即函數在R上滿足，且（其中），則函數是以2|a-b|為周期的周期函數。

特別地：若的圖像有兩個對稱中心和（），即函數在R上滿足，且（其中），則函數是以2|a-b|為周期的周期函數。

以上三個結論可歸納出以下總結：

如果函數在定義域內有兩條垂直于x軸的對稱軸或縱坐標相等的兩個對稱中心點或一條垂直于x軸的對稱軸和一個對稱中心點，則該函數一定是周期函數。

（三）運用以上總結時應注意的兩點：

1.以上歸納出的結論一不小心就容易簡化為：“若一個函數有兩個對稱性（不管是軸對稱還是中心對稱），則它一定為周期函數。”

如果有一個判斷題是如此講述，那就是大錯特錯，函數有兩條對稱軸，不一定就具有周期性，除非加上這兩條對稱軸都垂直于x軸，也就是形如x=a這樣的對稱軸；一個函數有兩個對稱點，那也不一定就具有周期性，除非這兩個對稱點的縱坐標都相等。有一個最簡單不過的例子就是函數y=x，如圖：

很容易知道，圖象上的每一個點都是函數的對稱點，顯然，該函數沒有周期性。該圖象的任何一條法線（即垂直于y=x的直線）都是函數的對稱軸，該函數沒有周期性。這是我們在理解對稱性與周期性時需要注意的。

2.注意變化后的對稱性和周期性條件

永遠把握住“同號看周期，異號看對稱”這一句話，結合前面的結論，便可以解決這一類問題。只要題目當中給出，那基本上都是間接告訴你該函數的周期；若給出，那基本上也是間接告訴你函數對稱性的。這就需要我們對給出的條件進行化簡，使之變成與周期性和對稱性有關的式子。一般的方法是在與中的x同時加上|a-b|，多化簡幾步，自然就能化簡出來。

如：函數對任意x滿足。這條件是同號的，和周期有關。我們對括號里同時加上|2-0|=2得到：，將帶入化簡得到：，還是沒有得到我們想要的結果，那就進一步對括號里的同時加上|4-0|=4，得到：。說明該函數是以8為周期的周期函數。

又如：函數對任意，滿足。這條件是異號的，和對稱有關。直接可得到函數是關于x=3對稱的對稱性函數。

又如：函數滿足。這條件是異號的，和對稱有關。可得到函數是關于點（1，0）（即：關于（，0））對稱的對稱性函數。

四、函數對稱性和周期性的應用舉例

1.設函數在（，）上滿足，，且在閉區間[0，7]上，只有。

（1）試判斷函數的奇偶性；

（2）試求方程在閉區間[-2005，2005]上的根的個數，并證明你的結論。

解：（1）由，得函數的對稱軸為，。由前面的知識可知函數的一個周期為2|a-b|，即：T=10。

因為函數在[0，7]上只有，

可知，

又∴

而且，則可得，。

因此，函數既不是奇函數，也不是偶函數。

（2）由，可得，故函數在[0，10]和[-10，0]上均有兩個解（1，3和-7，-9）滿足；從而可知函數在[0，2005]上有402個解，在[-2005，0]上有400個解。所以，函數在[-2005，2005]上共有802個解。

2.定義在R上的非常數函數滿足：為偶函數，且，則一定是（ ）

（A）是偶函數，也是周期函數

（B）是偶函數，但不是周期函數

（C）是奇函數，也是周期函數

（D）是奇函數，但不是周期函數

解：∵為偶函數，∴。

又有。∴有兩條對稱軸x=5與x=10，因此是以2|10-5|=10為一個周期的周期函數，∴x=0，即y軸也是的一個對稱軸，因此還是一個偶函數。故選（A）。

3.已知函數是定義在上的周期函數，周期T=5，函數是奇函數。又知在[0，1]上是一次函數，在[1，4]上是二次函數，且在x=2時函數取得最小值-5.

（1）求證：；（2）求的解析式；（3）求在[4，9]上的解析式。