復數領域的發現

鮑祥平

【摘要】隨著現代科學技術的日新月異，往往有些東西需要我們反復的探討研究重新去發現他的價值及正確性。如多維復數是否存在，復數的運算法則怎么來的，復變函數導數的幾何意義是什么，又如復數指數函數是怎么回事，特別是其定義很抽象很難懂，所以有必要給出一個形象直觀的描述。

【關鍵詞】復數的四則運算 連續，光滑，可導，可微 導數的幾何意義 復數的復數指數函數 復數E 多維復數

㈠預備知識：

（N維）復數包含兩部分：一個是模，另一個是復角信息；復數包含兩個層面：一個是”數值”層面，一個是數字層面。我們把只關系到”數值”層面的表達式a+bi稱為向量表達式；而數字層面關系到模及所有復角，其表達式為指數表達式或三角表達式ea+bi，a（cosα+isinα）。Z=x（cosα+isinβ）.復數的四則運算與向量法則有關，與i無關，但i在一般情況下可做替代運算。復數的加法一般用向量法則進行，但有時為了需要我們必須分析它的復角在加法中的變化。下面給出一種帶復角的復數加法運算：ex[cos（α+2kπ+2nπ）+isin（α+2kπ+2nπ）]+ey[cos（β+2nπ）+isin（β+2nπ）]=ex+i2nπ[cos（α+2kπ）+isin（α+2kπ）]+ey+i2nπ[cos（β）+isin（β）]=ez[cos（γ+2kπ+2nπ）+isin（γ+2kπ+2nπ）]，x，y，z為實數。加數無論復角有多大，真正起作用的是”運算主值”面的角（0--2π），與加數所含有的周期數無關；得數與被加數含有的周期數一致，再加上主值里面的角度因加數而產生的變化。被加數稱為原始量，加數被稱為影響因子，得數稱為相對于原始量的改變量，加法運算時原始量逆向旋轉，角度增大，減法順時針旋轉，角度減小。函數也分為數值式和數字式，數值式只考慮復角0到2π，至于數字式這里不做介紹。之所以做這樣的規定是為復數的乘法定律做鋪墊，為復變函數的研究，比如復數的復數指數形式的研究提供據依據。

乘法定律：我們把這樣一類求復數的倍數或者求等分或者求旋轉一個角度的復數加減法的組合形式的特殊運算叫復數的乘法或者除法；見《論三維復數的存在性》。

㈡ 復變函數光滑可導的定義

如果一元函數在其定義域里每點導數連續我們稱其連續光滑。如果f（x，y）在定義域里兩個偏導數（或者方向導數）存在且連續我們稱f（x，y）是連續光滑的。（有導數不存在點時，函數也有可能是連續光滑的）

復變函數光滑可導的定義：復變函數f（z）=u+vi自變量以任意方向（光滑路徑）趨近定義域里的某一點時，那么復變函數FZ趨向相應點的充分小的鄰域里的路徑也是光滑的，都近似直線或是直線，則稱其在該點是光滑的，如果復變函數在該點偏導數dx（u），dy（v），dx（v），dy（u）存在且dx（u）=dy（v），dx（v）=-dy（u）稱復變函數在該點光滑可導，如果在復變函數有定義的區域里每一點都是光滑的，且偏導數dx（u），dy（v），dx（v），dy（u）存在且dx（u）=dy（v），dx（v）=-dy（u）則稱復變函在該定義域數光滑可導。

㈢復變函數導數的幾何意義

下圖只畫了一個曲面的其中一條空間曲線，方向導數等于dz/（dx?+dy?）?。隨著ae與X軸的夾角的變化，其方向導數也在不斷變化。方向導數和偏導數的關系：dz/（dx?+dy?）?=[dx（z）+dy（z）]/（△x?+△y?）?=[dx（z）+dy（z）]/（△x?+[f′（x）△x]?）?=△x[fx（z）+fy（z）f′（x）]÷|△x|[1+|f′（x）|]?。

三維圖形切線方向導數如下圖：

u，v的方向導數存在且連續dx（u）=dy（v），dx（v）=-dy（u）那么f′（z）的復角為定值。f（z）可導導數復角必為定值。

虛擬定義：我們建立如下坐標系：把Z的復平面當做X軸，F（z）所處的復平面當做Y軸建立坐標系，稱復數四維空間虛擬簡化坐標系。復變函數F（z）的導數Fˊ（z）表示在四維空間里復變函數的圖形上的“切線的斜率”。我們把形如F（z）=z1×z稱為線性復函數。必須用復數的眼光來看待復變函數隨復數自變量的變化規律，沒有真實的四維圖形，我們看四維空間的圖形，其實是看的那種規律。

復變函數導數分析：選定一點z0，當z趨近z0時F（z）趨近F（z0），z充分趨近z0時，z，F（z）以輻射的（近似）直線分別光滑趨近z0，F（z0），如（圖一）。這時|Fˊ（z）|等于F（z）在F（z0）點的改變量的模|F（z）-F（z0）|相對于Z在Z0點的改變量的模|z-z0|的比值，或模變化率。它相當于Z在z0點以α+δ=β的α角度變化時F（z）的模的變化量[|F（z）|-|F（z0）|]相對于Z的改變量的模|z-z0|的比值。|Fˊ（z）|cosδ等于當Z在z0點以角度α=β變化時F（z）的模的變化量[|F（z）|-|F（z0）|]相對于Z的改變量的模|z-z0|的比值，或軸向變化率。|Fˊ（z）|sinδi等于當z在z0點以角度α=β變化時F（z）在F（z0）點繞（0，0）點做旋轉的圓周速度。F'（z）復角δ表示dF（z）在F（z0）點的變化方向與Z在Z0點的變化方向的角度之差。他隨著z以角度α趨近z0時的呈現“保角性”，（令α=x+2kπ）argF'（z）+α叫做z以角度α趨近z0時dF（z）在F（z0）的變化方位角，如果F（z）在z0的函數值F（z0）的復角為β，（β=xˊ+2kπ）那么argF'（z）+α-β為dF（z）在F（z0）點的變化方位角與F（z0）點的復角之差，稱 dF（z）相對于F（z0）的相對變化角。γ為z0復角，γ在范圍[2Nπ，2（N+1）π]里變化，β在另一個范圍[2Kπ，2（K+1）π]里變化）。

下面提供一個從自變量復平面上其中一條路徑分析復變函數圖

㈣復數的復數指數函數

由于復數的復數指數函數本身沒有實際意義，針對這個問題我們可以建立復數的復數指數函數與復數的一種對應，以滿足復數運算的需要，賦予它一種抽象的意義，從而闡明它存在的價值。

定義：如果z0z有意義，那么其取值在復數域里，我們把f（z）=z0z=e（x+yi）（a+bi）稱為復數的復數指數函數一般表達式，并且和復數有著唯一的一一對應關系，求導法則和實數域里一樣。

下面來說明這種對應的存在性和唯一性，以及求導性質。

存在性：首先從特殊形式分析，我們先假定F（z）=ez=ex+yi，令F（z）=ez=ex+yi有意義，那么其值必定在復數域里，假設ez=Z1=a1+b1i，存在F（z）=ez=ex+yi滿足指數函數的運算性質，F（Z1）F（Z2）=F（Z1+Z2）=ez1+z2=ez1ez2，那么ex+yi可以唯一展開成exeyi這種形式的兩部分之積（一部分只含有x的項，另一部分只含有yi的項），那么就應該有Z1=f（x）f（yi）=ex+yi=exeyi我們知道復數Z1=a1+b1i可以變形為ex1（cosy1+isiny1）且ex1=（a1?+b1?）?，cosy1=a1/（a1?+b1?）?，siny1=b1/（a1?+b1?）?。那么x1與y1是不是我們所求的ex+yi中的x與y呢？下面令F（z）=ex（cosy+isiny），F（z）=ez=ex+yi我們只需證明它們有連續的N階導數且相等，那么它們的泰勒級數展開式相同了，故而一定是同一函數，因此x1與y1是我們所求的ex+yi中的x與y。dx[ex（cosy+isiny）]/dx=ex（cosy+isiny），dyi[ex（cosy+isiny）]/dyi=ex（cosy/dyi+isiny/dyi）=ex（cosy+isiny），另外dxex+yi=eyiex=ex+yi=ex（cosy+isiny），dyiex+yi=exdyieyi=exeyi（e△yi-1）/△yi由假設F（z）=ez=ex+yi=ex（cosy+isiny）所以（e△yi-1）/△yi=[（cos△y+isin△y）-1]/△yi=1（分子分母同趨于零，所以上下同時求導得1，或者利用等價無窮小也得一）所以exeyi（e△yi-1）/△yi=ex+yi[（cos△y+isin△y）-1]/△yi=ex+yi=ex（cosy+isiny）。（注意：以前ex+yi與ex（cosy+isiny）的關系是通過ex+yi對y求導然后分析其泰勒級數展開式得來的，實際上F（z）=ez=ex+yi對y求導沒關系，yi是一個整體，在求導過程中一般沒必要單獨只對y求導）。用同樣的方法可以證明 d（x+yi）[ex（cosy+isiny）]/d（x+yi）=ex（cosy+isiny）=ex+yi=dx+yiex+iy/d（x+yi）。

d（x+yi）ex+yi=ex+yi﹙e△（x+yi）-1）/△x+yi=ex+yi﹙e△xe△yi-1）/△（x+yi）=ex+yi（e△xcos△y+e△xisin△y-1）/△（x+yi）=ex+yi△（x+yi）/△（x+yi）=ex+yi

dx+yi[ex（cosy+isiny）]/dx+yi=﹛ex+△x[cos（y+△y）+isin（y+△y]-ex（cosy+isiny）﹜/△（x+yi）=ex+yi（e△xcos△y+e△xisin△y-1）/△（x+yi）=ex+yi=ex（cosy+isiny）（e△x∝1+△x，cos△y∝1-?△y?，sin△y∝△y）因此ex+yi與ex（cosy+isiny）N階連續偏導數存在且分別相等，那么它們的泰勒級數展開式相同了，因此是同一函數。證明了它們是同一函數之后還需分析其四則運算的一致性，因為它們同時也代表一個具體的數，但這點很直觀，容易證明，（證明略）存在性得證。

至于Z1=a1+b1i=ex1（cosy1+isiny1）其它形式的變形，要么就是ex1（cosy1+isiny1）的等價變換最終化簡還是ex1（cosy1+isiny1）這種形式；要么就是其它類型的函數，那么與ex1（cosy1+isiny1）是不同函數，則與F（z）=ez=ex+yi也是不同的函數，所以對應無法建立。唯一性得證。

通過前面預備知識復數有兩個層面，當用數字層面運用到復數的指數形式或對數形式時，就不會有多值的問題，分析問題會相對簡潔。

對于一般形式z1x+yi由于可能不可導（除F（z）=ez=ex+yi外）所以按同樣的方法做對應不成立，所以唯一可以把z1x+yi變形為e（x+yi）（a+bi）的形式去求出對應關系。所以這種對應關系是唯一的一一對應關系。

復變函數F（z）=ez=ex+yi=ex（cosy+isiny）他們之間相互關系可以用實變函數F（y）=x×x=x?加以比較。ez=ex+yi描述ex（cosy+isiny）是怎么得來的；x×x描述x?怎么得來的。

F（z）=ez=ex+yi=ex（cosy+isiny）

F（y）=x×x = x?

復數領域的E=（1+△x+△iy）1/△x+△iy=[e（△x+△iy）]1/△x+△iy（1+△x+△iy與e（△x+△iy）是等價無窮小）

對[e（△x+△iy）]1/△x+△iy取對數

ln[e（△x+△iy）]1/△x+△iy

=1/（△x+△iy）ln[e（△x+△iy）]

=（△x+△iy）/（△x+△iy）=1

則（1+△x+△iy）1/△x+△iy

=[e（△x+△iy）]1/△x+△iy=e

1+△x+△iy與e（△x+△iy）是等價無窮小，由泰勒級數可以推導出。

e（x+iy）=f（0）/0！+[f′（0）/1！]（x+yi）+[f′′（0）/2！]（x+yi）2+…+[fn（0）/n！]（x+yi）n+Rn（x+yi）

當x，y同時趨近0時

e（△x+i△y）=f（0）+（△x+△iy）+1/2（△x+△iy）2+…[fn（0）/n！]（△x+△yi）n+Rn（△x+△yi）≈f（0）+（△x+△iy）=1+（△x+△iy） ㈤有關三維復數及多維復數

對于三維復數見有關《論三維復數的存在性》下面給出四維復數的表達式，N維的依此類推：z4=（a?+b?+c?+d?）?cosα+（a?+b?+c?+d?）?sinα（icosβ+jsinβcosγ+lsinβsinγ）